源于感性，歸于理性

趙瑩瑩 宋劼

[摘? 要] 文章以“相似三角形”的復(fù)習(xí)課為載體，通過四個(gè)篇章——“源于感性，感知理性”（即教學(xué)導(dǎo)入）“源于感性，運(yùn)用理性”“源于感性，輔于理性”（即典型問題分析）和“源于感性，歸于理性”（即課堂小結(jié)）論述了數(shù)學(xué)思維從形象認(rèn)知的感性思維到理性思維的演變過程.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué);教學(xué);感性思維;理性思維;相似三角形

數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科之一，無論是九年義務(wù)教育還是后續(xù)的職業(yè)教育或高等教育，數(shù)學(xué)都占有一席之地. 作為初中數(shù)學(xué)，需要培養(yǎng)學(xué)生什么？教會學(xué)生什么？可以用史寧中先生的一句話來描述——“數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)，是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. [1] ”初中數(shù)學(xué)起著連接小學(xué)數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的作用，小學(xué)數(shù)學(xué)注重感性認(rèn)識，而初中數(shù)學(xué)的理性思維的培養(yǎng)更為重要. 初中階段學(xué)生的工具理性大于概念理性，形象思維大于抽象思維，做好感性思維的延續(xù)和理性思維的淬煉是初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.

在初中的知識體系的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生也在慢慢改變自己的學(xué)習(xí)方式，隨著大腦不斷成熟，理性思維也開始慢慢替代感性認(rèn)識. 因此教師在傳授知識的同時(shí)，也要注重方法的引導(dǎo)，建立學(xué)生的數(shù)學(xué)世界觀.

全等到相似，不僅僅是圖形的大小由不變到變化，其中還蘊(yùn)含著解題方法、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想的變化. 下面就以一節(jié)“相似三角形”的復(fù)習(xí)課談?wù)劰P者由感性認(rèn)識發(fā)展到理性思考的幾點(diǎn)想法.

源于感性，感知理性

教學(xué)導(dǎo)入是中國數(shù)學(xué)教學(xué)所特有的一種教學(xué)方法，這里采取“溫故導(dǎo)入法”. 溫故導(dǎo)入：是指教師通過幫助學(xué)生復(fù)習(xí)與即將學(xué)習(xí)的新知識有關(guān)的舊知識，溫故而知新，從中找到新舊知識聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)，合乎邏輯、順理成章地引出新知識的一種導(dǎo)入方法 [2] .

通過回憶相似三角形的知識結(jié)構(gòu)繪制出思維導(dǎo)圖，從學(xué)生的元認(rèn)知出發(fā)，在復(fù)習(xí)相似三角形的相關(guān)知識的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生有意識地類比全等三角形和相似三角形的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，從感性的認(rèn)知中感受理性思維.

如：全等三角形的定義是“能完全重合的三角形叫全等三角形”，而相似三角形的定義是“各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫相似三角形”. 全等三角形的定義是從感性角度出發(fā)，從形象思維出發(fā)，從圖形的形狀上來定義. 而相似三角形沒有定義成“形狀相同的兩個(gè)三角形”，而是定義為“各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫相似三角形. ”相似三角形的定義從形象定義轉(zhuǎn)變成了定量定義，從形象走向了抽象，這時(shí)就需要從理性的角度去思考. 由此可見，相似三角形作為初三年級學(xué)生學(xué)習(xí)的知識點(diǎn)，從定義上已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生從形象走向抽象，從感性走向理性.

源于感性，運(yùn)用理性

課堂導(dǎo)入后，就拉開了復(fù)習(xí)課的序幕，從典型例題中復(fù)習(xí)知識點(diǎn)的應(yīng)用，為此筆者選擇以下幾道例題.

例1? 如圖2，若CD是Rt△ABC斜邊上的高，AD=3，AC=5，求AB的長.

例1是一道典型的相似三角形的問題，它可以用多種方法來解決——勾股定理、面積法等等. 但是，相比較而言發(fā)現(xiàn)，用相似三角形的方法進(jìn)行解答最方便. 只要證明△ADC∽△ACB，就能說明“ = ”，再將“AD=3，AC=5”代入，就能很容易地求出AB的長為 . 追溯解答的過程，想到△ADC與△ACB相似是解題的關(guān)鍵. 假如延續(xù)全等的思路——先找出圖形，再證明相似，學(xué)生是很難看出來這兩個(gè)三角形的形狀是相同的. 只有通過理性思維去思考，才能找到解題的方法——通過觀察已知邊AD，AC和未知邊AB所組成的三角形中有一個(gè)角——∠A是公共角，另一對角是直角，所以滿足相似三角形的判定定理——“兩角分別對應(yīng)相等，兩三角形相似”，于是就得到了相似三角形的邊成比例的比例式，從而求出了AB的長.

此時(shí)，適時(shí)地給出一道利用全等三角形解題的例題加深學(xué)生對感性思維和理性思維不同的對比，如下例：

例2? 已知：如圖3，A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)在一直線上，AF=DC，AB∥DE，且AB=DE，求證：BC=EF.

例2是用全等三角形的性質(zhì)來證明BC=EF，而具體哪一對三角形全等，在圖3中很明顯就能看到△ABC和△DEF是全等的，經(jīng)過找尋條件，就能很容易地證明它們?nèi)?，從而證明結(jié)論成立.

為了對比相似三角形和全等三角形的不同，給出了例3進(jìn)行對比分析.

例3? 如圖4，CD是Rt△ABC斜邊上的中線，過點(diǎn)D作直線AB的垂線交BC于點(diǎn)F，交AC的延長線于點(diǎn)E，請說明：DC2=DE·DF.

開始分析的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)從圖上看，找不出“形狀相同”的相似三角形，一時(shí)陷入困境. 于是筆者引導(dǎo)學(xué)生從理性思維著手：相似三角形的性質(zhì)是“對應(yīng)邊成比例”，所以可不可以將等積式DC2=DE·DF先寫成比例式 = 來考慮呢？源于相似三角形的邊成比例的性質(zhì)，所以我們可以從比例式倒推，只要證明△DCE與△DFC相似就可以證明這組比例式成立. 而從圖上看，△DCE與△DFC已經(jīng)有一組公共角了，只需要再找一組角相等就能順利地解決這個(gè)問題. 經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)很容易證明∠E與∠BCD相等，再加上一組公共角∠CDF=∠EDC，就能證明△DCE∽△DFC，從而問題得證.

例3的解決，利用的是理性的推斷和思考，它與解決全等三角形類的題目有著本質(zhì)性的區(qū)別，可以讓學(xué)生感受到從感性的量變到理性的質(zhì)變.

源于感性，輔于理性

邏輯思維、數(shù)學(xué)直覺思維、數(shù)學(xué)的想象能力、數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)方法論等數(shù)學(xué)思維不是獨(dú)立存在的，而是相輔相成的，解決一個(gè)問題也不是通過某一種思維獨(dú)立運(yùn)作就能辦到的. 對此，筆者設(shè)計(jì)了以下例題.

例4? 如圖5，在12×12的正方形網(wǎng)格中，△TAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為T（1，1），A（2，3），B（4，2）.

（1）以點(diǎn)T（1，1）為位似中心，按比例尺（TA′ ∶ TA）3 ∶ 1在位似中心的同側(cè)將△TAB放大為△TA′B′，放大后點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′.畫出△TA′B′，并寫出點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo);

（2）在（1）中，若C（a，b）為線段AB上任一點(diǎn)，寫出變化后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo).

例4的第1題解決起來很容易，通過細(xì)心作圖就能完成. 但是第二題要解決起來就比較困難，很多學(xué)生在課上甚至連思路都沒有. 這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將問題（2）往問題（1）上去對比思考：為什么第1題的解決比較簡單？關(guān)鍵是由T為位似中心畫圖，不需要考慮其他因素. 而第2題需要計(jì)算，將T的具體坐標(biāo)值考慮進(jìn)去. 而T的坐標(biāo)比較復(fù)雜，所以本題無法順利解決.

其實(shí)，學(xué)生雖然沒有思路，但是很容易感受到問題出在T的位置上. 此時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生思考：假如T的位置不是（1，1），而是（0，0），那么這個(gè)問題解決起來是不是會容易一點(diǎn)呢？學(xué)生經(jīng)過快速畫圖，并思考得出：當(dāng)T為（0，0）時(shí)，此時(shí)C（a，b）放大3倍后就變成了（3a，3b）. 得出這個(gè)結(jié)論并不難，只要畫圖后找?guī)讉€(gè)典型的點(diǎn)猜測推理下就能得到. 但是在這個(gè)感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上，如何將原題的第2小題完成呢？能通過平移的方法完成嗎？先將T（1，1）向下移動(dòng)1格，向左移動(dòng)1格到原點(diǎn)處，此時(shí)C（a，b）就移動(dòng)到C′（a-1，b-1）處，再按照之前的經(jīng)驗(yàn)，C′（a-1，b-1）放大3倍就變成了（3a-3，3b-3），然后再將放大的圖形移回到原處，也就是向上移動(dòng)1格，向右移動(dòng)1格，此時(shí)（3a-3，3b-3）就到了（3a-2，3b-2）處，也就是C′的坐標(biāo)為（3a-2，3b-2）.

所以，感性與理性是互相銜接、互相幫襯的. 理性思維不排斥感性認(rèn)知，在此題里“感性認(rèn)知”不是錦上添花，而是雪中送炭;從感性出發(fā)，走理性之路，就能做到有效思考.

源于感性，歸于理性

解決了以上例題后，可以總結(jié)出在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)的常見模型：A型圖、X型圖及K型圖等感性模型，他們本質(zhì)上都是兩角對應(yīng)相等得到的三角形相似，在理性的歸納匯總后可以進(jìn)行演變.

A型圖可以演變成反A型圖，或者反A共邊型圖.

X型圖可以演變成反X型圖，反X型圖雖然在純直線圖中不多，在圓里面用得非常頻繁.

K型圖的演變就更多了，它的本質(zhì)是一線三等角，利用一線三等角證明兩角對應(yīng)相等進(jìn)而得到三角形相似. K型圖甚至可以疊加形成射影定理的圖形.

在源于感性，歸于理性后，這節(jié)課也就進(jìn)入了尾聲. 帶著學(xué)生們將相似三角形的常見模型整理成理性思維下的數(shù)學(xué)模型，這一過程培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生思維嚴(yán)密，解題秩序化、嚴(yán)謹(jǐn)，并做到有條不紊.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是一個(gè)連續(xù)的過程，它涉及知識的重組，甚至要與以前的知識和思考方式?jīng)Q裂 [3].? 本節(jié)課屬于相似三角形的章節(jié)復(fù)習(xí)課，從梳理章節(jié)的知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生在感性中認(rèn)知，在回顧與反思中進(jìn)行理性思維的捕捉與培養(yǎng). 通過構(gòu)造具體題境，引導(dǎo)學(xué)生在直觀想象中探究問題，并以此加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中. 教育的本源與思考[M]. 北京：商務(wù)印書館，2018.

[2]張奠宙，于波.數(shù)學(xué)教育的“中國道路”[M]. 上海：上海教育出版社，2013.

[3]謝明初，彭上觀. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論的演變 [M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2020.