深挖相似定理，突破問題難點(diǎn)

余春妹

[摘? 要] 二次函數(shù)與幾何是中考的考查重點(diǎn)，其中的相似三角形存在性問題尤為重要. 問題解析要關(guān)注其中的相似對應(yīng)，把握相似三角形的判定定理，從函數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián)視角切入，合理構(gòu)建解題思路. 文章將深入探究函數(shù)背景中的相似三角形問題，結(jié)合實(shí)例問題進(jìn)行探討，突破難點(diǎn)并進(jìn)行拓展探究，以饗讀者.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);幾何;相似;最值;分類討論

問題綜述

函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題十分常見，通常以探究的形式綜合構(gòu)建，如求解圖形相似時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，如三角形相似時(shí)邊長大小或直線斜率等. 對于三角形相似時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)問題，可先分析已知三角形的幾何特征，然后根據(jù)相似對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分類討論. 如若問題沒有給出三角形的邊長，則可以根據(jù)函數(shù)解析式以及直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)來表示各邊長，之后根據(jù)相似關(guān)系構(gòu)建方程. 下面結(jié)合實(shí)例加以探究.

問題探究

問題：如圖1所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖像與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），與y軸相交于點(diǎn)C.

（1）試求函數(shù)的表達(dá)式;

（2）點(diǎn)P為函數(shù)在第一象限內(nèi)圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，連接PC.

①求線段PQ的最大值;

②如果以點(diǎn)P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△CBO相似，試求點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路分析：（1）點(diǎn)A和B為拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)可將拋物線設(shè)為y=a（x+1）（x-4），整理可得a=- ，即可求出函數(shù)的解析式.

（2）①點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，PQ可視為是△PBC底邊BC上的高，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用幾何性質(zhì)推導(dǎo)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，將PQ長表示為關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù)，后續(xù)利用幾何性質(zhì)即可確定PQ的最大值.

②該問探究以點(diǎn)P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△CBO相似，其中的相似對應(yīng)未定，則需要分類討論，結(jié)合三角形相似時(shí)的等角關(guān)系或邊長對應(yīng)關(guān)系來逐步求解.

過程探究：（1）點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，可得點(diǎn)C（0，2），又知A（-1，0），B（4，0），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x+1）·（x-4），將點(diǎn)C坐標(biāo)代入其中，可得-4a=2，可解得a=- ，則函數(shù)的表達(dá)式為y=- x2+ x+2.

（2）①作PN⊥x軸于N，交BC于點(diǎn)M，如圖2所示，由點(diǎn)B和C坐標(biāo)可得BC=2 ，根據(jù)點(diǎn)B和C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=- x+2. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為t，- t2+ t+2，則可推得點(diǎn)M的坐標(biāo)為Mt，- t+2，有PM=- t2+2t. 分析可證△PQM∽△BOC，由相似性質(zhì)可得 = ，即PQ=? PM，所以PQ=- t2+? t=- （t-2）2+? ，分析可知，當(dāng)t=2時(shí)，線段PQ取得最大值，且最大值為? .

②以點(diǎn)P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，由于三角形中存在直角，則相似情形有兩種，分別為△PCQ∽△CBO或△CPQ∽△CBO，下面分類討論.

情形一：當(dāng)∠PCQ=∠OBC時(shí)，△PCQ∽△CBO，此時(shí)PC∥OB，則點(diǎn)P關(guān)于直線x= 對稱，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）;

情形二：當(dāng)∠CPQ=∠OBC時(shí)，△CPQ∽△CBO. 由于∠OBC=∠NPQ，則∠CPQ=∠MPQ，又知PQ⊥CM，可證△PCM為等腰三角形，故PC=PM，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得t2+- t2+ t2=- t2+2t2，可解得t= ，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ， ;

綜上可知，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè)，分別為（3，2）和 ， .

評析：上述是關(guān)于二次函數(shù)與幾何的綜合題，第二問分為兩小問，第11問求線段的最大值，把握動點(diǎn)軌跡，建立線段函數(shù)是突破關(guān)鍵，第22問討論三角形相似時(shí)點(diǎn)P的位置，結(jié)合相似判定定理開展條件探究，分類討論相似情形十分重要. 從圖像構(gòu)建形式來看，總體上屬于函數(shù)與幾何的動態(tài)問題，把握知識聯(lián)系，利用幾何性質(zhì)切入可降低思維難度.

解析探討

上述考題第二問中的相似三角形存在性問題是核心之問，具有一定的解析難度，突破的難點(diǎn)有兩個(gè)：一是沒有設(shè)定相似對應(yīng)關(guān)系，需要分類討論;二是三角形相似的判定定理較多，如何確定. 下面基于問題難點(diǎn)進(jìn)行深入反思.

1. 相似關(guān)系的探討

確定三角形的相似對應(yīng)關(guān)系是后續(xù)定理分析的前提，相似對應(yīng)關(guān)系不明是引出分類討論、造成問題多解的重要因素. 在不設(shè)定特殊條件的情形下需要討論三種情形，若存在特殊角度或點(diǎn)位置限制，則會減少討論情形. 上述題目中只給出△CPQ與△CBO相似，但沒有設(shè)定對應(yīng)情形，故需要結(jié)合問題進(jìn)行分類討論，但由于直角的存在，有∠PQC=∠COB，使得最多存在兩種相似情形. 若將上述問題變更如下：若△PCQ∽△CBO或△CPQ∽△CBO，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)，則由于問題的相似對應(yīng)關(guān)系確定，故無須分類討論.

2. 判定定理的探討

考題探究除了需要關(guān)注解析過程外，還需關(guān)注其中的解法定理，總體上三角形存在性問題的突破思路為假設(shè)相似存在，結(jié)合相似三角形判定定理推導(dǎo)圖像特性，根據(jù)幾何特性與函數(shù)關(guān)系進(jìn)行結(jié)論推導(dǎo). 其中確定適用的判定定理在突破時(shí)尤為重要，由教材內(nèi)容可知相似三角形有三大判定定理，其中定理1是關(guān)于三角形的兩邊與夾角，定理2是關(guān)于三角形的兩角，定理3是關(guān)于三邊比例關(guān)系. 判定定理1和2均含有對應(yīng)角相等的條件，通常探究相似三角形存在性問題從尋找一組對應(yīng)角相等入手，定理的解題步驟如下：

對于判定定理1，解題應(yīng)用分三步：第一步，探尋一組對應(yīng)角相等;第二步，分兩種情形列比例方程;第三步，解方程檢驗(yàn)，確定最終結(jié)論.

對于判定定理2，解題應(yīng)用分兩步：首先確定一組等角，然后探究另一組角相等.

判定定理3的解題應(yīng)用較為少見，需要根據(jù)三邊對應(yīng)成比例來列連續(xù)比例式，然后構(gòu)建方程組求解.

上述相似三角形存在性問題的解題依據(jù)為判定定理2，探討兩個(gè)直角三角形相似只需再確定一組等角即可. 需要注意的是，若其中一組銳角相等，則直角三角形的銳角三角比確定，可直接將其轉(zhuǎn)化為討論另一直角三角形的三角比.

拓展探究

三角形相似與三角形全等之間有著緊密的聯(lián)系，其中的對應(yīng)邊關(guān)系是兩者轉(zhuǎn)化的紐帶，即對于相似三角形，若有一組對應(yīng)邊相等則可轉(zhuǎn)化為全等三角形. 在實(shí)際探究時(shí)可以相似三角形為中間關(guān)系來探討三角形全等，即首先確定兩三角形為相似關(guān)系，再引入一組等邊.

例題：（2020年陜西中考卷）如圖3，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（3，12）和（-2，-3），與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，C，它的對稱軸為直線l.

（1）求該拋物線的表達(dá)式;

（2）P是該拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為D，E是l上的點(diǎn). 要使以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，求滿足條件的點(diǎn)P、點(diǎn)E的坐標(biāo).

解析：這里主要探究考題的第（2）問，由坐標(biāo)點(diǎn)可確定拋物線的解析式為y=x2+2x-3. 根據(jù)條件可確定點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），即AO=CO=3，則△AOC為等腰直角三角形. 由作圖過程可知∠PDE=90°，故只需PD=DE（構(gòu)建相似三角形），且長度為3（構(gòu)建全等三角形），具體如下.

如圖4，當(dāng)PD=DE=3時(shí)，以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等. 可設(shè)點(diǎn)P（m，n），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對稱軸的右側(cè)時(shí)，可得m=2，故n=5，則點(diǎn)P（2，5），可推得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，2）或（-1，8）.

而當(dāng)點(diǎn)P位于拋物線對稱軸的左側(cè)時(shí)，由拋物線的對稱性可得P（-4，5），此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)同上.

綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）或（-4，5）;點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，2）或（-1，8）.

評析：上述是關(guān)于拋物線背景下的全等三角形存在性問題，解析時(shí)充分把握三角形全等的判定定理來構(gòu)建思路，解析過程雖未直接點(diǎn)明，但本質(zhì)上是三角形相似關(guān)系的特殊性衍生. 探究學(xué)習(xí)時(shí)要關(guān)注幾何中特殊的關(guān)聯(lián)定理，深刻理解知識本質(zhì).

總結(jié)思考

函數(shù)背景中的相似三角形存在性問題存在一定的解析難度，問題的綜合性較強(qiáng)，在探究學(xué)習(xí)時(shí)需要關(guān)注以下幾點(diǎn)：一是深刻理解三角形相似的判定定理，結(jié)合函數(shù)背景探究定理的使用方法及條件的構(gòu)建思路;二是關(guān)注函數(shù)與幾何的綜合方式，把握點(diǎn)、線、面、形之間的幾何與代數(shù)關(guān)聯(lián)，即可由拋物線解析式求點(diǎn)，由點(diǎn)定線，由線解面，同時(shí)可逆向推導(dǎo).

開展綜合性考題的探究教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生掌握問題的解析方法，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，同時(shí)通過探究過程來提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，后者是教學(xué)的重點(diǎn)所在. 因此教學(xué)中要立足考題，開展思想方法的滲透，借助函數(shù)與幾何作圖過程培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，在問題的解析過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，在多情形探討中滲透分類討論思想. 教學(xué)中倡導(dǎo)設(shè)問引導(dǎo)探究，關(guān)注學(xué)生的思維活動，讓學(xué)生參與探究過程，充分提升學(xué)生的核心能力.