妙用“問題串”破難點 巧借“情境”提素養(yǎng)

張潔 劉毅

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)不能脫離問題，提出問題需要抽絲剝繭.以相似圖形為例，研究情境+問題串的教學(xué)模式，呈現(xiàn)給學(xué)生新穎的數(shù)學(xué)信息，用問題串突破教學(xué)難點.學(xué)生學(xué)以致用，舉一反三，借助延伸式問題情境提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 學(xué)習(xí)難點;問題串;情境;核心素養(yǎng)

設(shè)計思路

情境+問題串的教學(xué)模式是以情境與問題串為主線，通過數(shù)學(xué)課堂給出的數(shù)學(xué)信息，引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、類比、運用、交流.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括.教師在教學(xué)活動中把自己當(dāng)作學(xué)生活動的參與者，在活動中借助延伸式問題串提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，層層突破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點.例如，“相似多邊形”的驗證，借助網(wǎng)格中的三角形、四邊形突破證明的難點，舉一反三，提升學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

初中生有比較強烈的自我發(fā)展的意識，對“有挑戰(zhàn)性”的任務(wù)很感興趣.以情境+問題串的教學(xué)模式開展教學(xué)，教師應(yīng)當(dāng)設(shè)計指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)設(shè)計.例如：在活動中設(shè)問“相似圖形有什么特征？”“怎樣驗證兩個多邊形是相似多邊形呢？”學(xué)生在操作活動中互相交流，開闊視野，循序漸進，進而發(fā)現(xiàn)相似圖形與相似多邊形的本質(zhì)特征.

內(nèi)容解讀

1. 學(xué)情分析

九年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了圖形的全等和全等三角形的有關(guān)知識，也研究了幾種圖形的全等變換，如平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等，全等是圖形間的一種關(guān)系，相似也是圖形間的一種關(guān)系.一方面，研究相似變換的性質(zhì)與判定比全等更具有一般性，相似是全等變換基礎(chǔ)上的拓展;另一方面，又為學(xué)習(xí)“相似三角形、高中階段的圖形與空間”等知識奠定了基礎(chǔ)，是進一步研究幾何圖形的工具性內(nèi)容.本課例嘗試從實際生活到直觀想象，再從直觀想象到數(shù)學(xué)抽象，進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，并對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)幾何問題起到了較強的借鑒作用.

2. 學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）通過具體實例，認(rèn)識圖形的相似，了解形狀相同的圖形是相似的圖形，經(jīng)歷探索相似多邊形特征的過程.

（2）體會了數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認(rèn)識特殊與一般的辯證關(guān)系，提高了觀察、操作、交流、類比、歸納等方面的能力.

3. 學(xué)習(xí)重點

九年級學(xué)生已經(jīng)具備了一定的邏輯思維能力，但數(shù)學(xué)思想方法還不夠熟練.在與他人合作和探索過程中，學(xué)會在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題，并能針對提出的問題進行反思，勇于質(zhì)疑，突破難點.

教學(xué)流程

筆者從實際問題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有深度的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，結(jié)合“相似圖形”課例，談?wù)勛约旱膶嵺`認(rèn)識.

1. 觀察：以圖激趣，引入新課

環(huán)節(jié)1：建構(gòu)圖形概念

教學(xué)設(shè)計時，筆者以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為起點，讓學(xué)生對圖片有了初步的感知，并設(shè)計延伸式問題串激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維.新課伊始，師生共同觀察三幅動畫，三組圖片播放前大小完全相同.分三次播放三幅圖片，圖1和圖2中右圖畫面經(jīng)過縮小變化;圖3中右圖畫面經(jīng)過放大變化.通過觀察，讓學(xué)生對新鮮事物產(chǎn)生好奇，由此激發(fā)起挑戰(zhàn)欲望.此時，教師出示放大與縮小后的所有圖片.

問題1：下列各組圖形有什么共同的特征？

拋開圖片的內(nèi)容，教師帶領(lǐng)學(xué)生研究圖形的大小關(guān)系發(fā)現(xiàn)，三組圖中一幅是把另一幅圖形按比例放大或者縮小得到的.

教學(xué)分析：生活中的圖片對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣起到了重要的作用.這里在創(chuàng)設(shè)情境時，引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的圖片中找出共同的特征，通過觀察類比得出圖片中的共同特征.學(xué)生對圖片中反映的信息做出歸納總結(jié)，進而引出相似形的概念.

2. 操作：依托網(wǎng)格，直觀想象

筆者根據(jù)學(xué)生所得出的初步結(jié)論，出示本節(jié)課相似形的概念：形狀相同的圖形叫相似形.通過相似形的概念，筆者從生活中的圖片過渡到數(shù)學(xué)中的相似形：相似多邊形.從相似形的問題延伸出相似多邊形，相似多邊形中含有多種多邊形，筆者從特殊的三角形、特殊的正方形兩個并列的問題出發(fā)，得出延伸式問題串，如圖4所示.

環(huán)節(jié)2：網(wǎng)格之形延伸

問題2：在數(shù)學(xué)中，兩個多邊形具有怎樣的特征才能說它們是“形狀相同”，稱為相似多邊形？

筆者根據(jù)相似形的概念提出相似多邊形的問題，并從兩個正三角形入手，延伸得出問題3中的邊和角的數(shù)量關(guān)系.

問題3：如圖5，兩個正三角形“形狀相同”，它們的邊和角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

從正三角形出發(fā)，學(xué)生異口同聲地回答出正三角形的各邊成比例，各角相等的結(jié)論.

那么對于普通的三角形是否也具有類似的結(jié)論呢？筆者在黑板上展示提前準(zhǔn)備好的兩個一般三角形（這兩個三角形并不相似），此時，提問：這兩個三角形相似嗎？幾位學(xué)生立即給出了相似的結(jié)論，理由是這兩個三角形觀察得出各角相等，各邊成比例.

此時，筆者請一位學(xué)生上臺驗證他所觀察到的結(jié)論，正如預(yù)設(shè)，學(xué)生將兩個三角形各角重疊一起，很驚訝地發(fā)現(xiàn)各角不相等！筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩個三角形相似不能由觀察直接得出結(jié)論，必須要有嚴(yán)密的驗證過程.

問題4：如圖6，兩個三角形“形狀相同”嗎？它們的邊和角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

除了動手操作，教師出示問題串引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用科學(xué)的眼光看問題，證明觀察的現(xiàn)象準(zhǔn)確無誤.學(xué)生通過小組活動，很快得出兩個三角形各邊成比例，各角相等，它們是相似三角形.

教學(xué)分析：延伸式問題串的設(shè)計，學(xué)生從正三角形出發(fā)，仔細觀察，并結(jié)合問題4的證明，驗證了正三角形及一般三角形的相似關(guān)系.整個過程中，學(xué)生不僅學(xué)到新知識，更重要的是還學(xué)會用科學(xué)、求真的眼光看待問題.

3. 延伸：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理

教師根據(jù)相似三角形的概念延伸出相似四邊形的問題，并從兩個正方形入手，得出問題5中的邊和角的數(shù)量關(guān)系.

問題5：如圖7，兩個正方形“形狀相同”，它們的邊和角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題6：如圖8，兩個四邊形“形狀相同”，它們的邊和角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

本問題串類比于相似三角形，從正方形出發(fā)，學(xué)生得出正方形的各邊成比例、各角相等的結(jié)論.對于普通的四邊形，通過學(xué)生的小組討論操作，也得出類似的結(jié)論：這兩個四邊形各角相等，各邊成比例.

此時，在延伸式問題串的引導(dǎo)下，教師給出相似多邊形的概念：各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形，它們形狀相同，稱為相似多邊形.兩個三角形相似，記作△ABC∽△A′B′C′.對于相似多邊形的知識點，學(xué)生通過教師所提出的問題串引導(dǎo)，類比相似三角形的概念，驗證推導(dǎo)相似四邊形、相似多邊形的概念.

教學(xué)分析：通過類比驗證，小組合作活動，學(xué)生思考的積極性不斷增加，學(xué)生在課堂上生成的問題越來越多，這正是學(xué)生積極參與的結(jié)果.教師利用剛才總結(jié)的概念引導(dǎo)學(xué)生不斷深入學(xué)習(xí)相似圖形，為學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的發(fā)展創(chuàng)造條件.

4. 運用：學(xué)以致用，舉一反三

本節(jié)課設(shè)計新穎的信息，引導(dǎo)學(xué)生不斷深入學(xué)習(xí)相似圖形，在探究相似多邊形的定義之后，筆者設(shè)計如下應(yīng)用環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)3：培養(yǎng)高階思維

問題7：以下圖形是相似四邊形嗎？為什么？

學(xué)生比較容易利用相似多邊形的定義辨別兩組圖是否為相似四邊形.通過觀察、思考，有學(xué)生提出，可以根據(jù)相似多邊形的定義，兩組圖都不是相似四邊形，（1）中各邊不成比例，（2）中各角不相等.

問題8：如圖11，△ABC，D，E分別是AB，AC的中點.（1）△ADE與△ABC相似嗎？為什么？（2）取BC的中點F，連接DF，EF，求證：△DEF∽△ABC.

延伸式學(xué)習(xí)是在知識的生成、思維上下功夫.教師通過數(shù)學(xué)課堂給出的數(shù)學(xué)信息引導(dǎo)學(xué)生自主觀察，引發(fā)學(xué)生二次思考.學(xué)生根據(jù)問題7和問題8的展現(xiàn)，很快得出問題8的證明方法，這體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不斷提升.

教學(xué)分析：通過此延伸式問題串的形式，激發(fā)學(xué)生二次思考.根據(jù)相似多邊形的猜想—驗證，學(xué)以致用，舉一反三.學(xué)生的知識積累和認(rèn)識由量變到質(zhì)變，教師在適當(dāng)?shù)臅r候提出恰當(dāng)?shù)膯栴}串，突破教學(xué)重難點.

5. 交流：探究本質(zhì)，提升素養(yǎng)

環(huán)節(jié)4：提升核心素養(yǎng)

學(xué)生學(xué)會了舉一反三，探究了相似多邊形的本質(zhì)，教師借機提問，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與素養(yǎng).

問題9：你能畫出相似三角形、相似四邊形、相似五邊形嗎？

學(xué)生通過獨立思考，回顧本節(jié)課所學(xué)的新知識點，學(xué)以致用，畫出相似多邊形，筆者再次給出學(xué)生所出現(xiàn)的典型錯誤，如圖12.對于此問題的出現(xiàn)，學(xué)生分析其錯誤的原因，并給出正確的結(jié)論，如圖13.

教學(xué)分析：教師在適當(dāng)?shù)臅r機提出問題，學(xué)生在探究中頓悟，不斷探究，認(rèn)真思考，得出結(jié)論.學(xué)生始終處于主動地位，通過獨立思考和小組合作等學(xué)習(xí)方式完成學(xué)習(xí)任務(wù)，不斷成長.

教學(xué)感悟

1. 不憤不啟，不悱不發(fā)

教師在相似圖形的課例中，以學(xué)生為中心，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自始至終處于主動地位，自主提出問題、思考問題，讓學(xué)生主動去發(fā)現(xiàn)、去探索，教師只是在于指導(dǎo)促進.恰當(dāng)運用問題串引導(dǎo)學(xué)生循序漸進地學(xué)習(xí)相似圖形以及相似圖形的驗證過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.同時本課例也說明知識的積累和認(rèn)識由量變到質(zhì)變的飛躍，須教師恰到好處的點撥.本課例教學(xué)過程，教師展示圖形關(guān)系示意圖（如圖14），讓學(xué)生學(xué)以致用，舉一隅而三隅反.

2. 學(xué)而不厭，誨人不倦

孔子言：“默而識之，學(xué)而不厭，誨人不倦，何有于我哉！”即“把所學(xué)的知識默默地記下來，不斷學(xué)習(xí)而不厭煩，教導(dǎo)別人而不感到疲倦，對我來說，還有什么遺憾呢？”作為教育者而言，在教授知識的同時，自己也在不斷學(xué)習(xí)，不斷完善提高.教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的促進者、組織者和指導(dǎo)者，教的本質(zhì)在于引導(dǎo).教師的主導(dǎo)作用在于啟迪學(xué)生思維，引導(dǎo)思路，發(fā)展智力.教師在教學(xué)設(shè)計時，應(yīng)當(dāng)給出恰當(dāng)?shù)那榫撑c問題串，不斷啟迪學(xué)生思維能力.在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生每節(jié)課的學(xué)習(xí)情況進行自我反思，不斷完善自我教學(xué)能力.

3. 學(xué)以致用，舉一反三

“君子知至學(xué)之難易，而知其美惡，然后能博喻”，教師要憑著過硬的能力和良好的素養(yǎng)科學(xué)引導(dǎo)學(xué)生進入積極主動的思維，激發(fā)學(xué)生探究問題意識，激起學(xué)生強烈學(xué)習(xí)興趣，到達愿學(xué)、樂學(xué)、急于學(xué)的“憤、悱”階段，教師再“開其意、達其辭”，進行適時適度引導(dǎo)，使學(xué)生在探究中頓悟，在頓悟中獲取知識、鍛煉思維、增長能力、解決難題、愉悅心情、不斷成長.本課例即在學(xué)生探究中提出恰當(dāng)?shù)膯栴}串，激發(fā)學(xué)生深入探究問題，達成學(xué)習(xí)目標(biāo).通過延伸式問題串類比得出相似多邊形的概念，學(xué)生學(xué)以致用，舉一隅而三隅反，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).