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    “三角形分類”中的化解疑問教學(xué)

    2021-09-30 09:52:24張紅勤張小燕
    教學(xué)月刊(小學(xué)版) 2021年26期
    關(guān)鍵詞:個角銳角三角鈍角

    □張紅勤 張小燕

    對三角形進行分類是進一步認識三角形的方法。三角形按角的特征可以分為直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形;按邊的特征可以分為等腰三角形(包括等邊三角形)和不等腰三角形。人教版教材通過安排學(xué)生操作,在按角分類中認識直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形的特征和名稱,并用集合圖對這3類三角形進行表征。認識等邊三角形和等腰三角形則通過觀察邊的特征來實現(xiàn)。

    分析發(fā)現(xiàn),教材只給出了這些三角形的名稱,而沒有給出其定義。不過在實際教學(xué)中,教師一般會對按角分類的3種三角形給出“口頭定義”,如“有1個角是直角的三角形叫作直角三角形”。那么,學(xué)生對于按角分類得到的3種三角形的名稱以及這樣的“口頭定義”會有疑問嗎?課題組開展了本次化解疑問教學(xué)的實踐研究。

    一、問卷設(shè)計與意圖解讀

    問卷只針對按角分類的三角形進行調(diào)查,分為3個板塊。

    第一板塊:

    三角形有3個角,有3條邊。給三角形分類,可以按角的特征分,也可以按邊的特征分。如果按角的特征對三角形進行分類,可以根據(jù)三角形的3個角分別是什么角來分。

    圖1中有7個三角形,按角分類,可以分成3類。第一類:②⑦,3個角,1個是直角,2個是銳角,這類三角形叫作直角三角形。第二類:③⑥,3個角,1個是鈍角,2個是銳角,這類三角形叫作鈍角三角形。第三類:①④⑤,3個角,都是銳角,這類三角形叫作銳角三角形。

    圖1

    第二板塊:

    直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形是這3類三角形的名稱,《數(shù)學(xué)辭?!分惺沁@樣定義它們的:直角三角形指有1個角是直角的三角形;鈍角三角形指有1個角是鈍角的三角形;銳角三角形指3個角是銳角的三角形。

    第三板塊:

    當你仔細閱讀完上面關(guān)于“三角形的分類”的材料之后,心中有什么疑問嗎?想一想,把你的疑問大膽地寫下來吧!

    問卷首先呈現(xiàn)7個三角形,接著將7個三角形按角的特征分成3類,詳細介紹了每類三角形的特征和名稱,這與一般的教學(xué)流程一致,目的是讓學(xué)生清晰地認識這3類三角形,然后給出《數(shù)學(xué)辭?!分袑@3類三角形的數(shù)學(xué)定義,目的是讓學(xué)生認識到這樣的定義是規(guī)范科學(xué)的,最后讓學(xué)生在對上述內(nèi)容進行閱讀和思考的基礎(chǔ)上,寫下自己內(nèi)心的疑問,目的是看看學(xué)生對這樣的分類、取名、定義會存在什么疑問。

    二、測試分析與疑問確定

    (一)測試分析

    測試在2個班級共81名學(xué)生中展開,通過對學(xué)生寫下的疑問進行分類歸并,去掉與本節(jié)課內(nèi)容無關(guān)的疑問,發(fā)現(xiàn)學(xué)生對三角形按角分類的疑問主要有以下3種。

    (1)對3類三角形的名稱存在疑問。有19人提出了此種疑問,占測試總?cè)藬?shù)的23.5%。典型表述如下:

    (2)對3類三角形的定義存在疑問。有11人提出了此種疑問,占測試總?cè)藬?shù)的13.6%。典型表述如下:

    (3)對三角形的類別存在疑問。有23人提出了此種疑問,占測試總?cè)藬?shù)的28.4%。典型表述如下:

    (二)疑問確定

    深入分析上述3種不同指向的學(xué)生疑問后不難發(fā)現(xiàn),這些疑問雖看上去不一樣,但疑問的本質(zhì)是一致的。如“直角三角形有2個銳角,為什么不叫銳角三角形”,學(xué)生是從角的類型的數(shù)量上考慮三角形的名稱,其實就是對三角形角的本質(zhì)屬性存在疑問;又如“為什么直角和鈍角只要1個就好了,銳角卻要3個”“有沒有1個角是銳角,1個角是直角,1個角是鈍角的三角形呢”,同樣是學(xué)生對三角形角的本質(zhì)屬性存在疑問。

    看來,僅通過按角分類得出3類三角形的名稱及定義,學(xué)生對這樣獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論是存在疑問的。因此,在“三角形分類”的教學(xué)中,可將“三角形按角分類為什么這樣取名和定義”確定為學(xué)生疑問。

    三、疑問分析與“化疑”實施

    (一)疑問分析

    1.教學(xué)價值分析

    三角形的3個角有3種情況:3個銳角,1個直角+2個銳角,1個鈍角+2個銳角。也就是說,任何一個三角形至少有2個銳角??梢?,僅從數(shù)量上講,有2個銳角是三角形的共同屬性,而非某一個三角形的本質(zhì)屬性。因此,有1個直角、有1個鈍角才是這類三角形的本質(zhì)屬性,故用直角三角形、鈍角三角形取名及定義時只講1個直角、1個鈍角,是抓住了這類三角形的本質(zhì)屬性,是科學(xué)的、簡潔的。當然,銳角三角形則必須說全3個銳角。也有這樣的方法,可以用三角形中的最大角來取名,如最大角是直角就是直角三角形,不難發(fā)現(xiàn),這其實也是抓住了一個三角形中最多只有1個直角這一本質(zhì)屬性,當最大角是銳角時,即3個角都是銳角。

    那么,學(xué)生為什么會對按角分類的取名和定義有疑問呢?這是因為,學(xué)生剛開始認識這3類三角形時,對三角形3個角的各種組合是不明白的,即對三角形角的本質(zhì)屬性不了解。因此,學(xué)生會認為要說全3個角分別是什么角才能把這個三角形的特征說清楚。由此,就造成學(xué)生對3類三角形的取名和定義心存疑問,甚至認為還有別的三角形。

    顯然,在探究“為什么直角和鈍角只要1個就好了,銳角卻要3個”這樣的疑問時,自然會觸及三角形角的本質(zhì)屬性。正視學(xué)生的這些疑問,在學(xué)生的疑問處開展教學(xué),直擊按角分類的3類三角形的本質(zhì)屬性,實現(xiàn)更為深刻的理解。

    2.可行性分析

    也許有教師會想,當學(xué)生學(xué)過三角形的內(nèi)角和是180°之后,自然能清楚一個三角形中最多只能有1個直角或1個鈍角。但“三角形內(nèi)角和”教學(xué)中牽連的這個問題,更多指向?qū)?80°的運用,而非對三角形角的本質(zhì)屬性的解讀,因此對于化解學(xué)生疑問而言,效果會不明顯。特別是,即使學(xué)生沒有學(xué)過三角形的內(nèi)角和是180°,化解“三角形按角分類為什么這樣取名和定義”這個疑問也是可行的,即可以讓學(xué)生通過畫圖的方式,借助幾何直觀理解各種三角形3個角的特征,進而認識三角形角的本質(zhì)屬性。而且,這樣的操作活動正是學(xué)生在頭腦中構(gòu)建三角形的過程,是培養(yǎng)空間觀念的好時機和好手段。

    由此,形成化解這個疑問的設(shè)想:先讓學(xué)生按角的特征對7個三角形進行分類,然后觀察并描述3類三角形的特征并取名,接著呈現(xiàn)3類三角形的定義,引發(fā)學(xué)生認知沖突,暴露學(xué)生的疑問,最后進行探究化解。

    (二)“化疑”實施

    課始教師板書“三角形的分類”。通過討論,學(xué)生知道三角形可以按角或邊的特征分類。在明確先按角分類后,教師為每位學(xué)生提供7個三角形,學(xué)生得出兩種分類情況,一是按有無直角分為2類,二是按有直角、有鈍角、都是銳角分成3類。對兩種分法作肯定反饋之后,師生討論認可分成3類更為精確。

    師:我們再來看看這3類三角形,它們的角到底有什么特征呀?

    (根據(jù)學(xué)生回答,板書:1個直角、2個銳角;1個鈍角、2個銳角;3個銳角)

    師:分類完成了,如果要給這3類三角形取個名稱,你會怎么取名呢?

    生:1個直角、2個銳角的三角形叫直角三角形;1個鈍角、2個銳角的三角形叫鈍角三角形;3個角都是銳角的三角形叫銳角三角形。

    (學(xué)生認可這樣的名稱,教師對應(yīng)板書)

    師:現(xiàn)在,你們知道什么叫直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形了嗎?

    (同桌先互相說一說,然后教師請一名學(xué)生回答。學(xué)生在說3類三角形的意義時,都是把3個角說完整的)

    師:同學(xué)們,語文學(xué)習(xí)中我們要想知道對一個詞語解釋得好不好,可以查一查辭典。在數(shù)學(xué)中,我們也可以查!

    (教師PPT出示《數(shù)學(xué)辭?!贩饷?,之后出示直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形的定義,如圖2,學(xué)生齊讀)

    圖2

    師:同學(xué)們,讀了《數(shù)學(xué)辭?!分械亩x,再看看黑板上我們剛才的研究,現(xiàn)在你心里有什么疑問嗎?

    (一開始舉手的學(xué)生不多,只一會兒,就有近一半的學(xué)生舉手了)

    生:為什么直角三角形和鈍角三角形只說1個角,而銳角三角形卻要說3個角?

    師:呀,真的,好奇怪!哪些同學(xué)心里也有這個疑問?

    (一半以上的學(xué)生舉手了)

    師:再思考一下,你心里還有什么疑問嗎?

    生:直角三角形有2個銳角,比1個直角多1個,為什么叫直角三角形而不叫銳角三角形呢?

    師:呀,也好奇怪,明明銳角數(shù)量多,為什么卻用數(shù)量少的直角取名?

    生:除了這3類,還有沒有其他的三角形?

    師:哦,我們只研究了7個三角形,世界上有無數(shù)個三角形,還有別的三角形嗎?你真會思考。

    師:大家有這么多疑問,這可怎么辦?怎么解決呢?要不,你們自己先選一個疑問,然后想辦法解決!老師建議你們可以在白紙上畫一畫,在小組里討論討論。

    (學(xué)生嘗試在紙上畫一畫,同桌進行交流,然后反饋)

    生:我知道了,一個三角形中不可能有2個直角,只能有1個直角,另外2個角一定是銳角,所以《數(shù)學(xué)辭?!防镏恢v1個直角。

    師:什么意思?我沒聽懂。你們聽懂了嗎?

    (教師請學(xué)生在實物展臺上邊演示邊解釋,如圖3)

    圖3

    師:我現(xiàn)在聽懂了,你們呢?

    生:就是說1個三角形中不可能有2個直角,如果有2個直角,就組不成三角形了。

    生:我也畫了,有1個直角,另外2個角一定是銳角。

    生:更不可能有1個直角和1個鈍角。

    生:可以有1個鈍角。如果有1個鈍角,另外2個肯定是銳角。

    師:原來如此!現(xiàn)在你們明白《數(shù)學(xué)辭海》為什么這樣定義直角三角形和鈍角三角形了嗎?同桌互相交流一下。

    生:只要講1個直角或1個鈍角就夠了,另外2個角一定是銳角,講都不用講。

    師:哦,直角和鈍角才是直角三角形和鈍角三角形真正的特征,銳角不是?,F(xiàn)在我真正明白了。不過,2個銳角其實講了也可以,就是有點什么感覺?

    生:啰唆。

    師:那么銳角三角形呢?

    生:銳角三角形只說1個銳角不行,它有可能是直角三角形,也有可能是鈍角三角形。

    (學(xué)生紛紛表示贊同)

    師:為什么呀?

    生:因為直角三角形和鈍角三角形都有2個銳角,你只講1個銳角,就不能確定了。

    生:我發(fā)現(xiàn)三角形至少有2個銳角,所以銳角三角形必須要把3個銳角都說出來才知道。

    師:同學(xué)們,研究到現(xiàn)在,這些疑問你覺得解決了嗎?

    生:我覺得為什么叫直角三角形和鈍角三角形我已經(jīng)明白了,因為雖然2個銳角數(shù)量上多,但直角和鈍角才是特征。

    生:《數(shù)學(xué)辭?!分袨槭裁催@樣定義我也明白了。

    師:看來前面兩個疑問我們都解決了。那么,除了這3類三角形,還有其他類型的三角形嗎?

    (大部分學(xué)生認為沒有了,也有少數(shù)學(xué)生認為有)

    師:不管有沒有,講理由。

    生:我都畫過了,沒有了。

    生:剛才不是說了嘛,最多只能有1個直角或1個鈍角,那就不可能再有別的三角形了。

    師:確實,三角形按角分類,只有這3類。

    (幾何畫板演示:拖動三角形的1個點,不管怎么動,都是黑板上這3類三角形中的1種)

    師:所以,三角形按角分,可以分成3類,直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形。

    (教師用集合圖表征這3類三角形,略)

    ……

    教學(xué)至此,本課化解疑問的教學(xué)已經(jīng)完成。后續(xù)接著研究按邊的特征分類以及完成一些相應(yīng)的練習(xí)。

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