“三角形分類”中的化解疑問教學(xué)

□張紅勤 張小燕

對三角形進行分類是進一步認識三角形的方法。三角形按角的特征可以分為直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形；按邊的特征可以分為等腰三角形（包括等邊三角形）和不等腰三角形。人教版教材通過安排學(xué)生操作，在按角分類中認識直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形的特征和名稱，并用集合圖對這3類三角形進行表征。認識等邊三角形和等腰三角形則通過觀察邊的特征來實現(xiàn)。

分析發(fā)現(xiàn)，教材只給出了這些三角形的名稱，而沒有給出其定義。不過在實際教學(xué)中，教師一般會對按角分類的3種三角形給出“口頭定義”，如“有1個角是直角的三角形叫作直角三角形”。那么，學(xué)生對于按角分類得到的3種三角形的名稱以及這樣的“口頭定義”會有疑問嗎？課題組開展了本次化解疑問教學(xué)的實踐研究。

一、問卷設(shè)計與意圖解讀

問卷只針對按角分類的三角形進行調(diào)查，分為3個板塊。

第一板塊：

三角形有3個角，有3條邊。給三角形分類，可以按角的特征分，也可以按邊的特征分。如果按角的特征對三角形進行分類，可以根據(jù)三角形的3個角分別是什么角來分。

圖1中有7個三角形，按角分類，可以分成3類。第一類：②⑦，3個角，1個是直角，2個是銳角，這類三角形叫作直角三角形。第二類：③⑥，3個角，1個是鈍角，2個是銳角，這類三角形叫作鈍角三角形。第三類：①④⑤，3個角，都是銳角，這類三角形叫作銳角三角形。

圖1

第二板塊：

直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形是這3類三角形的名稱，《數(shù)學(xué)辭?！分惺沁@樣定義它們的：直角三角形指有1個角是直角的三角形；鈍角三角形指有1個角是鈍角的三角形；銳角三角形指3個角是銳角的三角形。

第三板塊：

當你仔細閱讀完上面關(guān)于“三角形的分類”的材料之后，心中有什么疑問嗎？想一想，把你的疑問大膽地寫下來吧！

問卷首先呈現(xiàn)7個三角形，接著將7個三角形按角的特征分成3類，詳細介紹了每類三角形的特征和名稱，這與一般的教學(xué)流程一致，目的是讓學(xué)生清晰地認識這3類三角形，然后給出《數(shù)學(xué)辭?！分袑@3類三角形的數(shù)學(xué)定義，目的是讓學(xué)生認識到這樣的定義是規(guī)范科學(xué)的，最后讓學(xué)生在對上述內(nèi)容進行閱讀和思考的基礎(chǔ)上，寫下自己內(nèi)心的疑問，目的是看看學(xué)生對這樣的分類、取名、定義會存在什么疑問。

二、測試分析與疑問確定

（一）測試分析

測試在2個班級共81名學(xué)生中展開，通過對學(xué)生寫下的疑問進行分類歸并，去掉與本節(jié)課內(nèi)容無關(guān)的疑問，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對三角形按角分類的疑問主要有以下3種。

（1）對3類三角形的名稱存在疑問。有19人提出了此種疑問，占測試總?cè)藬?shù)的23.5%。典型表述如下：

（2）對3類三角形的定義存在疑問。有11人提出了此種疑問，占測試總?cè)藬?shù)的13.6%。典型表述如下：

（3）對三角形的類別存在疑問。有23人提出了此種疑問，占測試總?cè)藬?shù)的28.4%。典型表述如下：

（二）疑問確定

深入分析上述3種不同指向的學(xué)生疑問后不難發(fā)現(xiàn)，這些疑問雖看上去不一樣，但疑問的本質(zhì)是一致的。如“直角三角形有2個銳角，為什么不叫銳角三角形”，學(xué)生是從角的類型的數(shù)量上考慮三角形的名稱，其實就是對三角形角的本質(zhì)屬性存在疑問；又如“為什么直角和鈍角只要1個就好了，銳角卻要3個”“有沒有1個角是銳角，1個角是直角，1個角是鈍角的三角形呢”，同樣是學(xué)生對三角形角的本質(zhì)屬性存在疑問。

看來，僅通過按角分類得出3類三角形的名稱及定義，學(xué)生對這樣獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論是存在疑問的。因此，在“三角形分類”的教學(xué)中，可將“三角形按角分類為什么這樣取名和定義”確定為學(xué)生疑問。

三、疑問分析與“化疑”實施

（一）疑問分析

1.教學(xué)價值分析

三角形的3個角有3種情況：3個銳角，1個直角+2個銳角，1個鈍角+2個銳角。也就是說，任何一個三角形至少有2個銳角?？梢?，僅從數(shù)量上講，有2個銳角是三角形的共同屬性，而非某一個三角形的本質(zhì)屬性。因此，有1個直角、有1個鈍角才是這類三角形的本質(zhì)屬性，故用直角三角形、鈍角三角形取名及定義時只講1個直角、1個鈍角，是抓住了這類三角形的本質(zhì)屬性，是科學(xué)的、簡潔的。當然，銳角三角形則必須說全3個銳角。也有這樣的方法，可以用三角形中的最大角來取名，如最大角是直角就是直角三角形，不難發(fā)現(xiàn)，這其實也是抓住了一個三角形中最多只有1個直角這一本質(zhì)屬性，當最大角是銳角時，即3個角都是銳角。

那么，學(xué)生為什么會對按角分類的取名和定義有疑問呢？這是因為，學(xué)生剛開始認識這3類三角形時，對三角形3個角的各種組合是不明白的，即對三角形角的本質(zhì)屬性不了解。因此，學(xué)生會認為要說全3個角分別是什么角才能把這個三角形的特征說清楚。由此，就造成學(xué)生對3類三角形的取名和定義心存疑問，甚至認為還有別的三角形。

顯然，在探究“為什么直角和鈍角只要1個就好了，銳角卻要3個”這樣的疑問時，自然會觸及三角形角的本質(zhì)屬性。正視學(xué)生的這些疑問，在學(xué)生的疑問處開展教學(xué)，直擊按角分類的3類三角形的本質(zhì)屬性，實現(xiàn)更為深刻的理解。

2.可行性分析

也許有教師會想，當學(xué)生學(xué)過三角形的內(nèi)角和是180°之后，自然能清楚一個三角形中最多只能有1個直角或1個鈍角。但“三角形內(nèi)角和”教學(xué)中牽連的這個問題，更多指向?qū)?80°的運用，而非對三角形角的本質(zhì)屬性的解讀，因此對于化解學(xué)生疑問而言，效果會不明顯。特別是，即使學(xué)生沒有學(xué)過三角形的內(nèi)角和是180°，化解“三角形按角分類為什么這樣取名和定義”這個疑問也是可行的，即可以讓學(xué)生通過畫圖的方式，借助幾何直觀理解各種三角形3個角的特征，進而認識三角形角的本質(zhì)屬性。而且，這樣的操作活動正是學(xué)生在頭腦中構(gòu)建三角形的過程，是培養(yǎng)空間觀念的好時機和好手段。

由此，形成化解這個疑問的設(shè)想：先讓學(xué)生按角的特征對7個三角形進行分類，然后觀察并描述3類三角形的特征并取名，接著呈現(xiàn)3類三角形的定義，引發(fā)學(xué)生認知沖突，暴露學(xué)生的疑問，最后進行探究化解。

（二）“化疑”實施

課始教師板書“三角形的分類”。通過討論，學(xué)生知道三角形可以按角或邊的特征分類。在明確先按角分類后，教師為每位學(xué)生提供7個三角形，學(xué)生得出兩種分類情況，一是按有無直角分為2類，二是按有直角、有鈍角、都是銳角分成3類。對兩種分法作肯定反饋之后，師生討論認可分成3類更為精確。

師：我們再來看看這3類三角形，它們的角到底有什么特征呀？

（根據(jù)學(xué)生回答，板書：1個直角、2個銳角；1個鈍角、2個銳角；3個銳角）

師：分類完成了，如果要給這3類三角形取個名稱，你會怎么取名呢？

生：1個直角、2個銳角的三角形叫直角三角形；1個鈍角、2個銳角的三角形叫鈍角三角形；3個角都是銳角的三角形叫銳角三角形。

（學(xué)生認可這樣的名稱，教師對應(yīng)板書）

師：現(xiàn)在，你們知道什么叫直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形了嗎？

（同桌先互相說一說，然后教師請一名學(xué)生回答。學(xué)生在說3類三角形的意義時，都是把3個角說完整的）

師：同學(xué)們，語文學(xué)習(xí)中我們要想知道對一個詞語解釋得好不好，可以查一查辭典。在數(shù)學(xué)中，我們也可以查！

（教師PPT出示《數(shù)學(xué)辭?！贩饷?，之后出示直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形的定義，如圖2，學(xué)生齊讀）

圖2

師：同學(xué)們，讀了《數(shù)學(xué)辭?！分械亩x，再看看黑板上我們剛才的研究，現(xiàn)在你心里有什么疑問嗎？

（一開始舉手的學(xué)生不多，只一會兒，就有近一半的學(xué)生舉手了）

生：為什么直角三角形和鈍角三角形只說1個角，而銳角三角形卻要說3個角？

師：呀，真的，好奇怪！哪些同學(xué)心里也有這個疑問？

（一半以上的學(xué)生舉手了）

師：再思考一下，你心里還有什么疑問嗎？

生：直角三角形有2個銳角，比1個直角多1個，為什么叫直角三角形而不叫銳角三角形呢？

師：呀，也好奇怪，明明銳角數(shù)量多，為什么卻用數(shù)量少的直角取名？

生：除了這3類，還有沒有其他的三角形？

師：哦，我們只研究了7個三角形，世界上有無數(shù)個三角形，還有別的三角形嗎？你真會思考。

師：大家有這么多疑問，這可怎么辦？怎么解決呢？要不，你們自己先選一個疑問，然后想辦法解決！老師建議你們可以在白紙上畫一畫，在小組里討論討論。

（學(xué)生嘗試在紙上畫一畫，同桌進行交流，然后反饋）

生：我知道了，一個三角形中不可能有2個直角，只能有1個直角，另外2個角一定是銳角，所以《數(shù)學(xué)辭?！防镏恢v1個直角。

師：什么意思？我沒聽懂。你們聽懂了嗎？

（教師請學(xué)生在實物展臺上邊演示邊解釋，如圖3）

圖3

師：我現(xiàn)在聽懂了，你們呢？

生：就是說1個三角形中不可能有2個直角，如果有2個直角，就組不成三角形了。

生：我也畫了，有1個直角，另外2個角一定是銳角。

生：更不可能有1個直角和1個鈍角。

生：可以有1個鈍角。如果有1個鈍角，另外2個肯定是銳角。

師：原來如此！現(xiàn)在你們明白《數(shù)學(xué)辭海》為什么這樣定義直角三角形和鈍角三角形了嗎？同桌互相交流一下。

生：只要講1個直角或1個鈍角就夠了，另外2個角一定是銳角，講都不用講。

師：哦，直角和鈍角才是直角三角形和鈍角三角形真正的特征，銳角不是?，F(xiàn)在我真正明白了。不過，2個銳角其實講了也可以，就是有點什么感覺？

生：啰唆。

師：那么銳角三角形呢？

生：銳角三角形只說1個銳角不行，它有可能是直角三角形，也有可能是鈍角三角形。

（學(xué)生紛紛表示贊同）

師：為什么呀？

生：因為直角三角形和鈍角三角形都有2個銳角，你只講1個銳角，就不能確定了。

生：我發(fā)現(xiàn)三角形至少有2個銳角，所以銳角三角形必須要把3個銳角都說出來才知道。

師：同學(xué)們，研究到現(xiàn)在，這些疑問你覺得解決了嗎？

生：我覺得為什么叫直角三角形和鈍角三角形我已經(jīng)明白了，因為雖然2個銳角數(shù)量上多，但直角和鈍角才是特征。

生：《數(shù)學(xué)辭?！分袨槭裁催@樣定義我也明白了。

師：看來前面兩個疑問我們都解決了。那么，除了這3類三角形，還有其他類型的三角形嗎？

（大部分學(xué)生認為沒有了，也有少數(shù)學(xué)生認為有）

師：不管有沒有，講理由。

生：我都畫過了，沒有了。

生：剛才不是說了嘛，最多只能有1個直角或1個鈍角，那就不可能再有別的三角形了。

師：確實，三角形按角分類，只有這3類。

（幾何畫板演示：拖動三角形的1個點，不管怎么動，都是黑板上這3類三角形中的1種）

師：所以，三角形按角分，可以分成3類，直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形。

（教師用集合圖表征這3類三角形，略）

……

教學(xué)至此，本課化解疑問的教學(xué)已經(jīng)完成。后續(xù)接著研究按邊的特征分類以及完成一些相應(yīng)的練習(xí)。