面積大小究竟是怎樣描述的？
——兼談小學數(shù)學中度量的教學

□陽海林章勤瓊王圣昌

面積是幾何學基本度量之一。對于面積的學習，是學生空間形式認識發(fā)展上的一次飛躍。[1]面積概念的理解一直是教學中的難點。在實際教學中，學生更關(guān)注“面”在哪里，而忽略對“面”的大小的描述；容易受經(jīng)驗的影響，一看到求面積，首先想到的是用尺子去度量長度，而不是找一個單位面去覆蓋它。這主要是因為學生缺乏對面積度量、面積概念的深刻理解。

一、面積的定義和大小描述

面積是幾何學基本度量（測量或計量）之一，厘清度量的內(nèi)涵，對于面積的教學有重要啟示。

（一）度量的含義

關(guān)于度量，國內(nèi)外學者對此都有研究。史寧中認為，度量是數(shù)學的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的認識數(shù)學進而認識現(xiàn)實世界的工具。度量的本質(zhì)在于表現(xiàn)事物某些指標的順序。所有度量中的量，最后一定要通過數(shù)進行表達，而且都是在1度量單位的基礎(chǔ)上進行描述。度量單位的形成大致可以分為以下兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結(jié)果；另一類是借助工具得到的，是人實踐的結(jié)果[2]。

西方學者指出，從技術(shù)上來說，測量（measurement）是一個數(shù)，用以表明測量物體的屬性，以及測量給定單位的相同屬性之間的比較。我們一般用小單位進行實測，決定被測量物體和測量單位之間的數(shù)字關(guān)系。對學校課程中測量的屬性而言，我們可以說測量的意思是屬性被相同屬性的測量單位“填滿”。為了測量某物體，必須完成三個步驟：（1）決定測量的屬性；（2）選擇該屬性的單位；（3）比較這些單位，通過填滿、覆蓋、相匹配或者其他方法，測量物體的屬性。

可見，國內(nèi)外關(guān)于度量的研究都認為，度量在數(shù)學學習和應用中有重要的意義和價值，且特別關(guān)注借助度量工具度量物體的屬性，并用一個數(shù)去描述度量對象的大小。與國內(nèi)研究不同的是，國外更加關(guān)注借助工具得到的度量，本文也是談談通過工具得到的度量。

（二）面積的含義

面積（area）是計量中的基本概念之一，空間在兩個不同方向上同時延展的可能性及程度在人腦中的反映，形成了面積的概念。平面圖形的大小，是從這個平面圖形占有空間的范圍大小的比較中產(chǎn)生的，因此表示平面圖形大小的數(shù)量也是在比較中產(chǎn)生的。[3]張奠宙認為，面積是幾何度量領(lǐng)域的概念，其具有“數(shù)”的基本屬性，即找到一個合適的數(shù)對其數(shù)學屬性進行描述。[4]244

在小學數(shù)學教學中涉及的線、面、體，它們都是平直的，這些概念的特點是看得見、說不清的。這是因為在描述的過程中無法借用其他相關(guān)概念，而小學數(shù)學中涉及的概念基本都是這樣的，這就為小學的數(shù)學教學帶來了難度。為了使這部分的教學更加生動，可以把幾何概念的理解與計數(shù)有機地結(jié)合起來。[5]

北師大版教材三年級下冊用描述性的語言直接告知學生“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”?？梢姡處熢谝龑W生理解面積含義時，舉例說明物體的表面是什么、封閉圖形是什么，并不能使學生真正理解面積的含義。

因此，在小學階段引導學生理解面積的含義，需要從度量的本質(zhì)出發(fā)，設(shè)計圖形面比較的活動，并在比較的活動中產(chǎn)生用“數(shù)”表述的需要，找到一個合適的數(shù)去描述面的大小。

（三）如何描述面的大小

學生對面積大小的理解，需要從定性認識上升到定量認識，即能用數(shù)描述面積的大小。度量一個圖形或物體表面的面積，通常使用一個邊長為單位長的正方形作為面積單位，以面積單位去度量，所得的量數(shù)，就是該圖形或物體表面的面積。一旦面積單位選定之后，表示一個圖形或物體表面的面積數(shù)就完全確定了。開展比較活動是描述面大小的基礎(chǔ)，在比較面大小任務的驅(qū)動下，學生無法直接比較面大小，于是就自發(fā)地想到用小正方形作為標準單位去度量，從而得到面的大小。

因此，描述面的大小分為不同的層次：第一，首先需要引導學生理解面的屬性，即知道面在哪里，感知面是有大小的；第二，能夠選擇不同的方法比較面的大小，比如重疊比較，這些都屬于直接比較；第三，在不能直接比較的情形下，就需要運用間接比較，即選擇一個合適的工具來度量，將待測面跟標準量進行比較，看包含了多少個標準量，通過數(shù)來表述面的大小。

二、理解面積概念的教學

“面積的認識”是人教版三年級下冊第五單元的內(nèi)容，面積概念是貫穿整個單元的核心內(nèi)容。劉加霞指出，生活中有6種常用的感官量：長度、質(zhì)量、容積、角度、面積、體積，學生對于它們的學習以及理解，通常會經(jīng)歷下以下5個階段。階段1：量的初步認識；階段2：量的間接比較；階段3：認識國際通用單位并能夠用其描述大?。浑A段4：國際通用單位體系的認識與換算；階段5：利用公式求量的大小。[6]

在人教版教材中，對面積認識的直觀感知涉及兩步：首先是認識“面”，然后是比較“面”的大小。面積大小的比較，教材編排了比較兩個長方形面積大小的活動，學生在通過重疊不能比較出大小時，試圖尋找新的工具進行比較。分析教材編排意圖，可以發(fā)現(xiàn)，其注重學生對面積概念的真正理解，以及引導學生體會度量的意義。

然而，考慮到學生用面積單位進行測量的經(jīng)驗比較少，教材使用直接提示，即“可以選用一種圖形作單位來進行測量”來替代學生思考，讓學生錯失了一次自主選擇測量工具對二維事物進行度量的契機，從而使得學生難以真正體會到面積度量的意義。學生雖然有用尺子度量長度的經(jīng)驗，但是面對二維的面，他們很難把這種經(jīng)驗遷移運用。而且，學生已經(jīng)學了周長，片面地認為“周長長的圖形，面積也大”，導致學生始終認為可以用尺子去測量面積的大小。顯然，這樣的經(jīng)驗，是不利于學生進行面積的度量的。

因此，對于理解面積含義的教學，需要從以下幾個層面進行：第一，初步認識面積的屬性，包括知道面在哪里；第二，會用觀察、重疊、剪拼等直接比較的方法來比較兩個圖形的大小，感受比較面的大小需要同時從“長”與“寬”兩個維度進行考慮；第三，在直接比較下無法確定兩個圖形的大小時，產(chǎn)生描述圖形大小的需求，并能想到用一種新的工具來度量圖形的大小，即用小正方形作為度量單位來度量。學生只有完整經(jīng)歷度量面積的過程，想辦法去度量面積，自主選擇工具去度量，對于他們理解面積的含義、滲透度量的意識才是有效的。

三、兩點教學建議

（一）關(guān)注如何描述大小，對面積的理解走向深入

為了更好地滲透度量的意識，幫助學生深刻理解面積的含義，面積的教學可以從以下3個層面展開。

1.感知“面”在哪里

為了幫助學生感知“面”在哪里，教師需注意以下兩點：一是結(jié)合學生已有的生活經(jīng)驗；二是設(shè)計多種感官活動，幫助學生積累感性經(jīng)驗。比如引導學生通過“看一看、說一說、指一指”等活動準確指出“面”所在的區(qū)域；在“涂一涂”“說一說”的活動中，可以讓學生找出哪些圖形是有面或有面積的，對“面”有全面的認識；還可以通過交流活動讓學生明確只要是封閉圖形（包括規(guī)則、不規(guī)則的），且面的大小是確定的，都是有面積的。

2.比較面的大小

數(shù)學學習需要有問題和任務驅(qū)動。學習測量，首先要解決“為什么測量”這一問題。[4]257面積教學，需要注重設(shè)計有層次的比較圖形大小的活動，讓學生掌握直接比較面的大小的方法。在面積的教學中，教師可設(shè)計給圖形大小排序的活動，引導學生根據(jù)具體的情境，靈活選擇合適的方法進行比較，體現(xiàn)比較的層次。比如有些圖形是能通過直接觀察比較的，有些圖形是需要通過重疊的方法比較的，還有些圖形是需要通過重疊一次后把多余部分剪下來再次重疊比較的。

3.描述面的大小

為了讓學生在比較活動中感悟“面積”的本質(zhì)含義，還需要設(shè)計通過“直接比較”難以獲得比較結(jié)果的圖形，借助非標準單位（中間量）進行比較，即在比較a、b的大小時，借助任意的一個c作為中間量進行比較。比如教師在教學中設(shè)計了比較兩個“L”形圖形的大小，學生發(fā)現(xiàn)無法直接進行比較時，教師引導學生轉(zhuǎn)換比較的策略“想辦法描述面的大小”，學生很自然地想到鋪的方式，用小正方形把這兩個圖形鋪滿，數(shù)出小正方形的數(shù)量，就可以知道這兩個圖形究竟有多大。

基于以上三個環(huán)節(jié)進行教學，設(shè)計豐富的、有層次的操作活動，引導學生深入感知面在哪里；學會直觀地比較面的大??；逐步過渡到用非標準單位度量，間接描述面的大小。

（二）加強操作經(jīng)驗積累，感悟度量的本質(zhì)

關(guān)于度量的教學，包含了三個方面的內(nèi)容：認識、描述、用公式計算。可以從三個角度來考慮：第一，認識它、知道它在哪里；第二，正確描述它的大小，即用非標準單位和標準單位來表達它；第三，在計算的時候，能夠理解為什么這樣計算。在教學中需要突出以下兩點：一是要加強學生自主操作、探索的機會；二是理解度量的本質(zhì)。

1.積累操作活動經(jīng)驗

對于度量教學三個方面的內(nèi)容，需要學生在具體的操作過程中去感悟、探索和優(yōu)化。明確量的屬性，學生需要通過觀察、操作、表達等活動去感受；描述量的大小，學生需要在比較量的操作活動中由“直接比較”過渡到“間接比較”，進而“生發(fā)”出描述量大??；用公式計算時，同樣要經(jīng)歷不斷操作和優(yōu)化的過程。比如面積的計算，首先是全鋪，然后只鋪一邊，再到測量長度，最后幫助學生從格子的數(shù)量過渡到“線段長度的乘積”。

2.理解度量的本質(zhì)

數(shù)本質(zhì)上是一種度量，數(shù)的本質(zhì)是大小關(guān)系，需要在比較的活動中去感悟度量對象的大小關(guān)系，進而選擇度量單位去準確描述量的大小。在教學中，首先，要明確度量的屬性是什么。例如，面積度量的屬性是指面的大小，而表示平面圖形大小的數(shù)量也是在比較中產(chǎn)生的。其次，在比較大小任務的驅(qū)動下，實現(xiàn)比較方法的優(yōu)化，由“直接比較”過渡到“間接比較”，即選擇合適的非標準單位去比較，進而掌握用標準單位度量的方法。最后，讓學生感受到，在度量單位確定后，依據(jù)度量的方法就可以度量大小，用數(shù)來描述大小。