基于SOLO分類理論的數(shù)學運算分析與思考

張陽

摘? 要：數(shù)學運算素養(yǎng)是指在明晰運算對象的基礎上依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng). 根據(jù)SOLO分類理論運算等級，2020年全國新高考Ⅰ卷中的所有試題均可以按照四種層次進行分析，不同層次的數(shù)學運算源于學生對問題的表征差異，而學生的學科素養(yǎng)水平直接影響其表征能力. 在教學中，教師需要從課程標準演進中解讀數(shù)學運算，在數(shù)學學科核心素養(yǎng)中理解數(shù)學運算，依據(jù)系統(tǒng)論原則培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：新高考;數(shù)學運算;表征;系統(tǒng);流程圖

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng). 數(shù)學運算包括算理與算法兩個部分：算理指數(shù)學運算規(guī)則，如四則運算、代數(shù)式運算法則、方程與不等式的恒等變換、三角恒等變換、矩陣運算等;算法指數(shù)學運算的方案與程序，是在算理自覺運用的前提下，與所學內(nèi)容高度融合，形成某個特定問題的解題思維方法，是學生創(chuàng)新意識與綜合能力的體現(xiàn).

數(shù)學運算考查的內(nèi)容主要集中在掌握運算法則、設計運算程序兩個部分. 前者強調(diào)算理，后者體現(xiàn)算法.

一、基于SOLO分類理論的數(shù)學運算分析

以2020年全國新高考Ⅰ卷為例，對基于SOLO分類理論的數(shù)學運算進行分析. SOLO分類理論是以等級劃分的形式來描述學生思維能力目標，從而評價學生學習質(zhì)量的一種“質(zhì)性評價”方法. 按照這一分類理論將數(shù)學運算進行層次劃分，如表1所示.

2020年全國新高考Ⅰ卷共22道題，除了第20題立體幾何題第（1）小題可以用邏輯推理進行證明外（考查線面垂直關(guān)系的證明，也可以通過建立空間直角坐標系，利用向量計算的方法進行證明），其余各題都需要進行數(shù)學運算.

可以看出，數(shù)學運算是高考數(shù)學的考查重點，作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，與其他數(shù)學核心素養(yǎng)相互聯(lián)結(jié)，共同為解題服務.

1. 概念引發(fā)單一表征，考查數(shù)學運算規(guī)則（單點結(jié)構(gòu)U）

問題中的概念理解沒有難度，其表征形式單一，解題路徑唯一，僅考查數(shù)學運算中學生的算理能力. 在解題時，學生沒有歧義，方法選擇及運算均沒有困難.

【評析】問題表征對象單一，目標明確，考查學生復數(shù)的運算法則，易于操作，難度低.

2. 概念引發(fā)多元表征，形成不同運算路徑（多點結(jié)構(gòu)M）

低難度的數(shù)學題考查學生對數(shù)學基本概念、基礎知識、基本方法等數(shù)學知識的掌握情況. 此類問題的特點是概念本身引發(fā)的多元表征，學生通過表征數(shù)學問題（表征世界），映射所掌握的內(nèi)在知識（被表征世界），形成解題路徑，不同的解題路徑對應著不同的運算路徑，從而解決問題.

【評析】數(shù)學問題的表征形式相對固定，它將作為外部世界的現(xiàn)實問題，加工成圖象、圖表、表格、符號、動作、語言等初步存儲到學生的大腦，此時學生的大腦對表征結(jié)果進行了抽象化處理，主要包括數(shù)量、關(guān)系等. 表征結(jié)果與學生認知體系的對應產(chǎn)生了不同的解題路徑. 該題方案1，表征結(jié)果與學生認知體系中的立體幾何產(chǎn)生了對應，側(cè)重于邏輯推理的數(shù)學運算;方案2則是解析幾何與之產(chǎn)生對應，側(cè)重于方程的數(shù)學運算. 因此，該題更多的是考查學生對運算方案的選擇.

4. 數(shù)學學科素養(yǎng)水平，映射運算方案優(yōu)化程度（抽象擴展結(jié)構(gòu)E）

對于較為復雜的背景材料，學生要整合多個數(shù)學學科素養(yǎng)，對問題進行推理與演繹，通過分析條件和條件間的聯(lián)系，尋找不同的解題方案，進行試驗，在試驗中往往會出現(xiàn)阻礙與不暢的現(xiàn)象，需要學生不斷地調(diào)試、優(yōu)化，最終確定最優(yōu)方案. 本質(zhì)是程序設計優(yōu)化的過程.

【評析】該題的兩種方案都有依據(jù)，屬于表征后的合理聯(lián)想，但是在數(shù)學運算中算法（即運算的程序）優(yōu)化是解決問題的重要因素，所以數(shù)學運算不單是計算能力，也是思維水平的體現(xiàn)，它的高效快捷依賴于邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析的綜合應用，是學科素養(yǎng)的整合結(jié)果. 學生的數(shù)學學科素養(yǎng)水平高低，映射運算方案優(yōu)化程度不同.

二、關(guān)于數(shù)學運算的教學思考

數(shù)學是研究數(shù)學關(guān)系和空間形式的一門科學. 數(shù)學教育承載著立德樹人根本任務及發(fā)展素質(zhì)教育的功能. 培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，用數(shù)學語言描述世界，教師對數(shù)學運算的理解直接影響教學的效果與目標的達成.

1. 從我國課程標準演進中解讀數(shù)學運算

中學數(shù)學課程標準前后經(jīng)歷過四次系統(tǒng)變化，見表2.

從表2可以看出數(shù)學運算一直是課程標準的重要組成部分，但是數(shù)學運算的內(nèi)涵卻發(fā)生了一定的變化，在1952年與1963年的課程標準中用計算能力來理解數(shù)學運算，即強調(diào)了數(shù)學運算中的算理部分，要求學生精通算理、準確計算;2003年的課程標準中用運算求解能力對應數(shù)學運算，其背景是隨著計算機的普及，煩瑣的計算可以由計算機部分替代，教材內(nèi)容隨之發(fā)生變化. 例如，開根、對數(shù)表等內(nèi)容均從教材中去除. 但是此時仍強調(diào)運算求解，對算理的要求大于對算法的要求. 2017年的課程標準則明確將數(shù)學運算作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，其背景是人工智能與大數(shù)據(jù)時代的到來，對運算方案提出了更高的要求，要求學生能設計算法程序，優(yōu)化算法過程.

在課程標準的演進中，不難看出，數(shù)學運算從數(shù)學運算的重計算（算理）發(fā)展為重方案（算法）、重程序.

2. 在數(shù)學學科核心素養(yǎng)中理解數(shù)學運算

數(shù)學運算是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要組成部分，它的合理使用離不開其他五大核心素養(yǎng)的支撐，六大核心素養(yǎng)之間是相互滲透的，如數(shù)據(jù)分析與數(shù)學運算. 數(shù)學學科核心素養(yǎng)在解決問題中的作用，如圖7所示，數(shù)學運算與其他核心素養(yǎng)之間的關(guān)系，如圖8所示.

數(shù)學運算在六大核心素養(yǎng)中往往起到聯(lián)結(jié)作用，因為它們彼此間的影響強弱不同，但總體上相互關(guān)聯(lián)，所以在課堂教學中培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)需要全面培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

3. 依據(jù)系統(tǒng)論原則培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)

系統(tǒng)論認為，系統(tǒng)是由相互作用和相互依賴的若干組成部分，結(jié)合成具有特定功能的有機整體. 一切事物、現(xiàn)象和過程均可看作有機整體，成為系統(tǒng). 在系統(tǒng)中，數(shù)學運算可以看作課堂教學的目標系統(tǒng)之一，也可以看作問題解決系統(tǒng)中的一環(huán). 依據(jù)此理論，常見的解題流程圖有循環(huán)結(jié)構(gòu)（如圖9）和順序結(jié)構(gòu)（如圖10）.

循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點是重復表征、建模、推理、運算等過程，每一次都是在預設順利進行的情況下推進，當受阻時即重復解題過程. 而順序結(jié)構(gòu)則是對實際問題進行多元表征，由表征結(jié)果進行多種方案預設，再優(yōu)選方案，進行運算推理，得到數(shù)學問題的解答，再回歸實際問題結(jié)論. 兩種結(jié)構(gòu)在解決問題時優(yōu)劣與問題的難度有關(guān). 基于SOLO理論對數(shù)學問題進行分類，其中單點結(jié)構(gòu)（U）與多點結(jié)構(gòu)（M）選用循環(huán)結(jié)構(gòu)較適用，而對于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（R）與抽象擴展結(jié)構(gòu)（E）則順序結(jié)構(gòu)效率更高. 在數(shù)學教學中，應讓學生有意識地體驗兩種解題流程，感悟核心素養(yǎng)在數(shù)學解題全流程中的應用，特別是順序結(jié)構(gòu)中的表征活動與方案設計，應該作為教學的重點內(nèi)容.

參考文獻：

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