囚禁離子非線性J-C模型量子態(tài)保真度

劉寶元， 孫小斌， 劉王云， 張玉虹

(1. 西安工業(yè)大學(xué) 光電工程學(xué)院, 西安 710021; 2. 安康市科技資源統(tǒng)籌中心, 安康 725000 )

1 引 言

在量子通信、量子計(jì)算和量子密碼術(shù)中，量子態(tài)是信息的載體，量子信息的存儲(chǔ)、復(fù)制和傳遞通過(guò)量子態(tài)的演化來(lái)實(shí)現(xiàn)，而量子態(tài)的演化需要考慮保真度問(wèn)題. 1994年，R.Joza首先提出保真度是表示信息在傳輸過(guò)程中保持原來(lái)狀態(tài)的程度[1]，保真度也是通信質(zhì)量的一個(gè)重要參數(shù)，且任何形式的信息編碼也要考慮保真度問(wèn)題[2]. 因此，對(duì)于保真度的研究關(guān)系到量子通信的失真度、量子計(jì)算的可靠性以及量子復(fù)制的精確度.

近年來(lái)，不少文獻(xiàn)對(duì)具體量子模型的保真度作了大量研究，如純態(tài)編碼中的保真度[3]，量子信息和量子隱形傳態(tài)理論中的保真度[4]，量子糾錯(cuò)中的保真度[5]，量子克隆術(shù)中如何提高保真度[6]以及光場(chǎng)與物質(zhì)相互作用體系中的量子態(tài)保真度[7-9]等等. 隨著腔量子電動(dòng)力學(xué)(QED)技術(shù)和囚禁離子技術(shù)的發(fā)展，人們?cè)噲D將這兩種技術(shù)方案結(jié)合起來(lái)，利用囚禁離子與腔場(chǎng)之間的相互作用來(lái)實(shí)現(xiàn)量子信息的存儲(chǔ)與傳遞，并已取得了一些令人鼓舞的成就[10-13]. 然而，囚禁離子受勢(shì)阱漲落和環(huán)境噪聲等因素影響造成所傳輸?shù)男畔⑼讼喔桑M(jìn)而出現(xiàn)一定概率失真[14]. 所以研究囚禁離子與腔場(chǎng)相互作用中的保真度是十分必要的. 然而，對(duì)于囚禁離子與駐波激光場(chǎng)相互作用系統(tǒng)中反映系統(tǒng)、腔場(chǎng)與囚禁離子保真度的演化行為討論甚少. 本文利用全量子理論研究高Q腔中單個(gè)二能級(jí)囚禁離子與單模駐波激光場(chǎng)相互作用系統(tǒng)中，當(dāng)駐波激光場(chǎng)頻率與囚禁離子第一個(gè)紅振動(dòng)邊帶呈單量子共振時(shí)，駐波激光場(chǎng)、囚禁離子以及系統(tǒng)量子態(tài)的保真度，并借助數(shù)值計(jì)算給出了離子質(zhì)心在駐波激光場(chǎng)中的位置及囚禁離子初始狀態(tài)對(duì)保真度的影響，所的結(jié)論對(duì)于量子信息的存儲(chǔ)與傳遞具有一定的參考意義.

2 理論模型及其解

如圖1所示，研究單個(gè)二能級(jí)囚禁離子與單模駐波激光場(chǎng)相互作用系統(tǒng)，囚禁離子質(zhì)心振動(dòng)頻率為ω，內(nèi)部電子態(tài)之間躍遷頻率為ω0，駐波激光場(chǎng)的頻率為ωL.當(dāng)駐波激光場(chǎng)頻率與囚禁離子第一個(gè)紅振動(dòng)邊帶呈單量子共振[15](ωL=ω0-ω)，且忽略原子衰變效應(yīng)并作旋轉(zhuǎn)波近似，在相互作用繪景中系統(tǒng)哈密頓量為[16-18](?=1)

HI=g(A+σ-+Aσ+)

(1)

圖1 囚禁于Paul阱中的單個(gè)二能級(jí)離子與單模駐波激光場(chǎng)相互作用示意圖 Fig. 1 The schematic diagram of the interaction between a single two-level ion trapped in a Paul trap and a single-mode standing-wave laser field

式中g(shù)為耦合常數(shù)，σ+、σ-為離子的贗自旋升、降算符，A+、A為諧振子的非線性產(chǎn)生、湮滅算符，且

A+=a+f(a+a),A=f(a+a)a

(2)

a+、a為囚禁離子振動(dòng)態(tài)的產(chǎn)生、湮滅算符，f(a+a)為非線性耦合算符函數(shù)，

在粒子數(shù)表象中表式為

f(a+a)=f(n)=

(3)

其中η是Lamb-Dick參數(shù)，φ表示振動(dòng)離子質(zhì)心相對(duì)于駐波激光場(chǎng)位置的初相位，確定離子質(zhì)心在駐波激光場(chǎng)中的位置，當(dāng)φ=π/2時(shí)相應(yīng)于離子處在駐波激光場(chǎng)波節(jié)處.

由(1)式可得相互作用繪景中系統(tǒng)時(shí)間演化算符為

(4)

式中AA+=(a+a+1)f2(a+a),A+A=a+af2(a+a-1).

假設(shè)初始時(shí)刻(t=0)囚禁離子與駐波激光場(chǎng)間不存在任何相互作用，離子處于相干疊加態(tài)，駐波激光場(chǎng)處于單模相干態(tài)(取其初相位為零)，即

(5)

(6)

則系統(tǒng)初始聯(lián)合態(tài)為

(7)

式中|g〉、|e〉分別表示二能級(jí)囚禁離子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)，0≤θ≤π,0≤φ≤2π.

在t>0的任意時(shí)刻，由于囚禁離子與駐波激光場(chǎng)間發(fā)生了各種交叉耦合相互作用而不再處于純態(tài)，相互作用繪景中系統(tǒng)的狀態(tài)演化為

|ψI(t)〉=UI(t)|ψ(0)〉=|C〉|e〉+|D〉|g〉

(8)

(9)

從而可得任意時(shí)刻系統(tǒng)的密度算符及腔場(chǎng)和囚禁離子子系統(tǒng)的約化密度算符

ρs(t)=|ψI(t)〉〈ψI(t)|=

(10)

ρf(t)=Tra(ρs(t))=|C〉〈C|+|D〉〈D|

(11)

ρa(bǔ)(t)=Trf(ρs(t))=

(12)

式中下標(biāo)s,f,a分別表示系統(tǒng)、腔腸和囚禁離子.

3 保真度的演化

為了描述輸入量子態(tài)ρ1和輸出量子態(tài)ρ2的偏差程度，人們提出了保真度的概念，其定義為[1]

F(ρ1,ρ2)的取值范圍在0～1之間，當(dāng)F(ρ1,ρ2)=0時(shí)，表示信息(量子態(tài))在傳輸過(guò)程中完全失真；而當(dāng)F(ρ1,ρ2)=1時(shí)，則表示理想信息傳輸過(guò)程. 一般情況下，0

根據(jù)上述定義及相互作用系統(tǒng)初始條件，可得系統(tǒng)、腔場(chǎng)和囚禁離子量子態(tài)保真度

(13)

Ff(t)=|〈ψf(0)|C〉)|2+|〈ψf(0)|D〉|2

(14)

(15)

〈ψf(0)|C〉=

〈n|D〉=

(16)

為了形象地描述保真度與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，下面將以囚禁離子在駐波場(chǎng)中位置及囚禁離子初始狀態(tài)為變量，通過(guò)數(shù)值分析討論這些變量對(duì)系統(tǒng)、腔場(chǎng)和囚禁離子量子態(tài)保真度的影響. 為便于討論取相對(duì)相位φ=0.

4 結(jié)果討論

(1)囚禁離子在駐波場(chǎng)中的位置對(duì)保真度的影響

圖2 囚禁離子在駐波場(chǎng)中不同位置時(shí)系統(tǒng)保真度隨標(biāo)度時(shí)間的演化曲線 Fig. 2 The evolution curve of system fidelity with scale time when trapped ions are at different positions in the standing wave field

圖3 囚禁離子在駐波場(chǎng)中不同位置時(shí)光場(chǎng)保真度隨標(biāo)度時(shí)間的演化曲線 Fig. 3 The evolution curve of field fidelity with scale time when trapped ions are at different positions in the standing wave field

圖4 囚禁離子在駐波場(chǎng)中不同位置時(shí)離子保真度隨標(biāo)度時(shí)間的演化曲線Fig. 4 The evolution curve of ion fidelity with scale time when trapped ions are at different positions in the standing wave field

(2)囚禁離子初始狀態(tài)對(duì)保真度的影響

圖5 囚禁離子處于不同初態(tài)時(shí)系統(tǒng)保真度隨標(biāo)度時(shí)間的演化曲線Fig.5 The evolution curve of system fidelity with scale time when trapped ions are in different initial states

圖6 囚禁離子處于不同初態(tài)時(shí)光場(chǎng)保真度隨標(biāo)度時(shí)間的演化曲線Fig. 6 The evolution curve of field fidelity with scale time when trapped ions are in different initial states

圖7 囚禁離子處于不同初態(tài)時(shí)離子保真度隨標(biāo)度時(shí)間的演化曲線Fig.7 The evolution curve of ion fidelity with scale time when trapped ions are in different initial states

5 結(jié) 論

綜上所述，本文利用全量子理論研究了囚禁于Paul阱中的二能級(jí)離子與光腔中的駐波激光場(chǎng)相互作用系統(tǒng)中量子態(tài)保真度，通過(guò)數(shù)值計(jì)算詳細(xì)討論了囚禁離子在駐波激光場(chǎng)中的位置及其初始狀態(tài)對(duì)保真度的影響，結(jié)果如下：

(1) 系統(tǒng)、腔場(chǎng)與囚禁離子的量子態(tài)保真度呈現(xiàn)出非周期性振蕩特性，隨著囚禁離子從遠(yuǎn)離駐波激光場(chǎng)波節(jié)處向波節(jié)處移動(dòng)，量子態(tài)保真度的振蕩頻率越來(lái)越快，振蕩幅度幾乎不變，且保真度到達(dá)第一個(gè)極小值所用的時(shí)間越來(lái)越短，保真度的值都不會(huì)為零，即不會(huì)出現(xiàn)信息完全失真的情況.

(2) 系統(tǒng)、腔場(chǎng)與囚禁離子的量子態(tài)保真度呈現(xiàn)出近似周期性振蕩特性，隨著囚禁離子處于基態(tài)概率的增加，量子態(tài)保真度的振蕩頻率幾乎不變，振蕩幅度越來(lái)越小，且保真度的值都不會(huì)為零，即不會(huì)出現(xiàn)信息完全失真的情況. 囚禁離子的保真度明顯優(yōu)于系統(tǒng)與腔場(chǎng)的保真度.

由此可見(jiàn)，囚禁離子保真度明顯比系統(tǒng)和光場(chǎng)的保真度大，即在量子信息傳輸過(guò)程中，囚禁離子的量子態(tài)失真要比系統(tǒng)和腔場(chǎng)量子態(tài)失真要小. 根據(jù)上述囚禁離子與駐波激光場(chǎng)相互作用時(shí)保真度的演化特性，人們可以控制離子在駐波激光場(chǎng)中合適的位置以及使得離子初始處于恰當(dāng)?shù)臓顟B(tài)來(lái)存儲(chǔ)和傳遞信息，從而使得信息以更高的保真度傳輸.