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    極小最大量子態(tài)區(qū)分

    2016-10-13 01:50:50張文海張夢迪
    關(guān)鍵詞:內(nèi)積量子態(tài)確定性

    張文海,張夢迪

    (淮南師范學(xué)院 電子工程學(xué)院,安徽 淮南 232038)

    極小最大量子態(tài)區(qū)分

    張文海,張夢迪

    (淮南師范學(xué)院 電子工程學(xué)院,安徽 淮南 232038)

    得到在未知先驗概率的情況下,區(qū)分三個非正交量子態(tài)的最優(yōu)概率,給出了求解這類問題的公式,同時,把這類區(qū)分和Bayesian非正交量子態(tài)的區(qū)分相比較。該方法可以推廣到N個非正交量子態(tài)問題的區(qū)分。

    量子態(tài)區(qū)分;POVM測量;確定性區(qū)分;極小最大區(qū)分

    量子力學(xué)的疊加原理指出,量子態(tài)可以是正交本征量子態(tài)的概率疊加。這也說明在量子態(tài)中,既有正交的量子態(tài),也有非正交量子態(tài)的存在。由于量子不可克隆定理的限制[1],正交的量子態(tài)可以被精確地測量,而非正交的量子態(tài)則不可能精確地測量。在量子信息科學(xué)中,量子密碼術(shù)[2]就是使用非正交量子態(tài)作為量子編碼,這樣,竊聽者就不可能精確的復(fù)制通信雙方的信息。非正交量子態(tài)區(qū)分理論[3-4]為量子密碼術(shù)的安全性提供理論支撐,是量子密碼術(shù)理論研究的核心,同時,也揭示了認識量子世界的限度。

    由于不可能被精確地測量,非正交量子態(tài)的測量方式可能會出現(xiàn)兩種。第一,可能量子測量會出錯誤,但測量著希望出錯誤的概率最?。∕inimum Error Discrimination,MED)。第二,在測量中不允許出現(xiàn)錯誤,但有時可能測量不到所需要的結(jié)果,但是,一旦測量到結(jié)果,則測量結(jié)果是明確的 (OptimalUnambiguousdiscrimination,OUD)。假設(shè)具有輸入先驗概率p1和p2=1-p1的兩個非正交量子態(tài),量子系統(tǒng)可以表示為(其中是量子系統(tǒng)的密度矩陣),根據(jù)量子力學(xué)量子系統(tǒng)的保跡性,可以有(其中Tr是求跡算符運算)。利用廣義量子測量(Generalized Measurements)或稱正定算符值測量(Positive-Operator-Valued Measures,POVM)[5-7],可以在理論上給出 MED和OUD的測量結(jié)果的最優(yōu)值。對MED測量,定義POVM元M^i滿足完全性關(guān)系(其中為單位算符)。當(dāng)測量到時可以認為輸入態(tài)是,因此MED測量可以表示為

    能夠正確判斷測量結(jié)果的概率為

    由于不允許出現(xiàn)錯誤,當(dāng)測量到O^i時輸入態(tài)一定是,這要求。當(dāng)測量到時,不能判斷輸入態(tài)。因此,能夠正確判斷測量結(jié)果的概率為

    利用POVM測量,可以得到(3)和(6)式,同時也給出POVM元M^i和O^i的具體形式。然而,由于M^i和O^i都是非正交算符,在物理實驗中不可能直接實現(xiàn),因而不能直接驗證理論的正確性。

    一般情況下,輸入量子態(tài)的先驗概率是已知的,因此,以上所述的OUD和MED測量方案都可以稱為Bayesian(貝葉斯)非正交量子態(tài)的區(qū)分。本文研究在未知先驗概率的情況下,區(qū)分三個非正交量子態(tài)的最優(yōu)概率(MUD),主要研究確定性區(qū)分。我們首先確定三個非正交量子態(tài)的一般形式,然后利用可以在物理系統(tǒng)中可以直接實現(xiàn)的幺正變換,給出了求解這類問題的公式,同時,把這類區(qū)分和Bayesian(貝葉斯)非正交量子態(tài)的區(qū)分相互比較。我們的方法可以推廣到N個非正交量子態(tài)這類問題的區(qū)分。

    1 區(qū)分兩個非量子態(tài)的測量

    假設(shè)具有輸入先驗概率p1和 p2=1-p1的兩個非正交量子態(tài),可以不是一般性的令兩個非正交量子態(tài)的內(nèi)積為,其中s∈(>0,1)和。我們首先讓輸入量子態(tài)經(jīng)過一個幺正變換,可以表示為

    下面我們求成功概率的最大值。

    從(7)式可以得到幺正變換的內(nèi)積為

    顯然,從(9)式,可以直接得到最優(yōu)測量概率為

    這可以和由(6)式的OUD測量作為比較,兩種測量方式得到的概率是一樣的,只是OUD的條件是先驗概率為p1=p2=1/ 2。下面我們求解三個非正交量子態(tài)的測量。

    2 三個非正交量子態(tài)的測量

    假設(shè)具有先驗概率 p1,p2和 p3的三個輸入非正交量子態(tài),三個先驗概率滿足p1+p2+p2=1。我們研究確定性區(qū)分,因此,三個非正交量子態(tài)必須是線性無關(guān)的[3]。區(qū)分可以是一般性的,令三個非正交量子態(tài)的內(nèi)積為,其中sij∈()0,1和。類似于兩個非正交量子態(tài)的測量,我們設(shè)幺正變換為

    下面我們來求失敗概率的最小值。從(11)式可以得到量子態(tài)的內(nèi)積為

    失敗態(tài)必須是線性相關(guān)的。反之,如果是線性無關(guān)的,可以再進行下一個幺正變換,直至失敗態(tài)線性無關(guān)為止。同時,可以設(shè)失敗態(tài)滿足

    這樣,得到求解BUD的問題為在條件下,求Q()BUD的最小值。

    我們給出幺正變換的(14)式,也是給出可以直接測量的POVM。

    在未知先驗概率時,這就意味著失敗概率不依賴先驗概率。因此,可以令qi=q≠1。在簡化條件后,可以給出Max()sij<q<1的條件。所以,求解條件為 在條件下, 求Q()MUD的最小值。

    對于BUD和MED,它們有不同的標準,這就導(dǎo)致它們有不同的約束條件,(15)和(16)式就是它們的約束條件。例如,對于BUD,條件可以是qk>sij,但對于MED,條件必須是q>Max()sij。同時,對于BUD,可以存在某個失敗概率是qk=1,這量子態(tài)不能被區(qū)分;但對于MUD,失敗概率條件q<1保證所有的輸入量子態(tài)一定能被區(qū)分。下面,我們來比較這兩種區(qū)分。

    3BUD和MUD的比較

    對于BUD,從條件Δ~()BUD=0可得,失敗態(tài)的行列式為:

    其中 α=φ12+φ23+φ31稱為 Berry相?,F(xiàn)在考慮MUD,利用(16)式,經(jīng)過計算后可得到解析式

    其中

    現(xiàn)在對BUD和MUD做一個比較。假設(shè)三個非正交線性無關(guān)的量子態(tài)內(nèi)積為 s23=0.5,s31=0.3和0≤s12≤0.976,并且cosα=1,先驗概率相同 pi=1/3。在 0<s12≤0.187 5區(qū)域內(nèi),有qi<1,則解為;在區(qū)域0.187 5≤s12≤0.6,有qi<1,則解為;在區(qū)域內(nèi),

    圖1給出BUD和MUD的比較,其中MUD意味著的解可以直接從(18)式中得到。

    圖1 BUD和MUD的比較,其中s23=0.5,s31=0.3和0≤s12≤0.976,并且cos α=1

    圖2 以cosα為參數(shù)的

    對于N≥4的情況,即:確定性區(qū)分N個線性無關(guān)的非正交量子態(tài),我們提供的方法仍然有效。假設(shè)以先驗概率pi(且滿足給出N個線性無關(guān)的非正交量子態(tài),其內(nèi)積為,則幺正變換為

    其中失敗態(tài)滿足

    4 結(jié)論

    本文研究在未知先驗概率的情況下,研究確定性量子區(qū)分。首先研究了兩個非正交量子態(tài)的區(qū)分,然后推廣到三個線性無關(guān)的非正交量子態(tài)的區(qū)分。同時,我們將BUD和MUD的兩種結(jié)果作了比較。同時,我們提供的方法可以推廣到對N個線性無關(guān)的非正交量子態(tài)的確定性分。

    [1] Wootters W K,Zurek W H.A single quantum cannot be cloned[J].Nature(London)1982,299:802-803.

    [2] Gisin N,Ribordy G,Tittel W,et al.Quantum cryptography[J],Reviews of Modern Physics,2002,4:145-195.

    [3]Chefles A.Quantum state discrimination[J].Contemporary Physics,2000,41,401

    [4] Barnett S M,Croke S.Quantum state discrimination [J].Advances in Optics and Photonics,2009,1:238

    [5] Kraus K.States,Effects and Operations[M].Number 190 in Lecture Notes in Physics,Springer,Berlin,1983.

    [6] Peres P.Quantum theory:concepts and methods[M]. Kluwer,1993.

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    [8]Helstrom C W.Quantum detection and estimation theory[J].Journal of Statistical Physics,1969,1(2):231-252.

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    [10]Dieks D.Overlap and distinguishability of quantum states[J].Physics LettersA,1988,126(5/6):303-306.

    [11]Peres A.How to differentiate between non-orthogonal states[J].Physics LettersA,1988,128(1/2):19.

    Minimax quantum state discrimination

    ZHANG Wen-Hai,ZHANG Meng-Di

    (School of Electronic Engineering,Huainan Normal University,Huainan Anhui,232038,China)

    We derive the optimal probabilities for minimax unambiguous discrimination(MUD)among three pure states without knowing a priori probabilities.We present the formulation for solving the MUD problem,and make a detailed comparison between MUD and Bayesian unambiguous discrimination(BUD)with a priori probabilities when N=3.Our method can be generalized to any N linearly independent pure states.

    quantum state discrimination;POVM measurement;unambiguous discrimination;Minimax unambiguous discrimination

    O0413

    A

    1004-4329(2016)01-027-04

    10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)01-027-04

    2015-10-11

    淮南師范學(xué)院2015年“支持百名優(yōu)秀學(xué)生課外科技實踐創(chuàng)新活動基金”項目(2015XS157)資助。

    張文海(1968-),男,博士,副教授,研究方向:量子信息。

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