基于均值半絕對(duì)偏差的一種投資組合最優(yōu)化模型

瑛 瑛

(呼倫貝爾學(xué)院 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008)

1 引言

現(xiàn)代投資組合理論是基于馬科維茨(1952年)[1]的工作。馬科維茨利用方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量把投資組合選擇問(wèn)題數(shù)量化。在1991年，Konno和Yamazaki[2]首次提出以均值絕對(duì)偏差(MAD)為風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合選擇問(wèn)題的線性規(guī)劃模型。在1993年，Speranza[3]利用均值半絕對(duì)偏差代替MAD并指出該風(fēng)險(xiǎn)度量等價(jià)于MAD，又減少了數(shù)學(xué)規(guī)劃模型中的約束個(gè)數(shù)。同年，F(xiàn)einstein和Thapa[4]又獨(dú)立地提出這兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量的等價(jià)性。利用均值半絕對(duì)偏差度量風(fēng)險(xiǎn)比方差度量風(fēng)險(xiǎn)更加科學(xué)合理，因?yàn)樵谶M(jìn)行投資時(shí)，往往只擔(dān)心收益率低于期望收益的部分，只有低于期望收益率的投資才會(huì)帶來(lái)風(fēng)險(xiǎn)[5]。

一般，在實(shí)際的投資組合中，股票的單位數(shù)必須是整數(shù),又結(jié)合我國(guó)證券市場(chǎng)實(shí)際情況，本文考慮一種帶有固定交易費(fèi)用和整數(shù)交易單位的投資組合，以均值半絕對(duì)偏差為風(fēng)險(xiǎn)度量建立了混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。

2 模型建立

假設(shè)一個(gè)投資者在種證券中分配他的資金，收益率是隨機(jī)的。令N=1,2,…,n表示有價(jià)證券集合，定義R=(R1,R2,…,Rn)為表示n種證券收益率的n個(gè)隨機(jī)變量組成的向量，均值為rj=E[Rj]，j∈N.又假設(shè)每個(gè)隨機(jī)變量Rj,j∈N是離散的，它的值由其在特定場(chǎng)景下的實(shí)現(xiàn)值給出。

均值半絕對(duì)偏差是指投資組合的實(shí)際收益率低于平均收益率的絕對(duì)值[6]，將其簡(jiǎn)單地稱為均值半偏差，可表示成數(shù)學(xué)表達(dá)式

γ(X)=E[mzx{μ(x)-Rx,0}]

(1)

均值半偏差等于均值絕對(duì)偏差的一半，即

因此，相應(yīng)的均值半絕對(duì)偏差模型等價(jià)于MAD模型。因?yàn)殡x散隨機(jī)變量是由其實(shí)現(xiàn)值表示的，所以，式(1)的均值半偏差為實(shí)現(xiàn)值μt的凸分段線性函數(shù)，也是投資組合X本身的凸分段線性函數(shù)，且LP可計(jì)算的，如：

使yt≥μ(x)-μt，yt≥0，對(duì)t=1，…，T.

(2)

其中非負(fù)變量yt表示場(chǎng)景t=1,…,T下的下行偏差。

引入一些附加的符號(hào)。設(shè)g表示證券投資所得稅，且cj,j∈N表示選擇證券j時(shí)投資組合的固定交易費(fèi)用。定義Sj,j∈N為證券j,j∈N在投資組合選擇日的報(bào)價(jià)，令uj表示為證券j所購(gòu)買的股票單位數(shù)量的上界。一般，單個(gè)證券投資的上界是以其日平均交易量的百分比計(jì)算。當(dāng)這些信息無(wú)法獲得時(shí)，每個(gè)證券j的最大股票單位數(shù)可近似計(jì)算為[c/sj]，其中c是可用于投資的資金。μ0表示投資者要求的最低收益率。當(dāng)μ0=0時(shí)可得到所謂的最大安全投資組合。

每個(gè)變量xj,j∈N表示證券j選擇的股票單位數(shù)。變量zj,j∈N為二進(jìn)制變量，能夠表示證券j的交易費(fèi)用[7]。僅當(dāng)證券j被選擇時(shí)產(chǎn)生固定費(fèi)用cj.即

(3)

當(dāng)考慮固定交易費(fèi)用、實(shí)現(xiàn)收益的稅和整數(shù)交易單位時(shí)，最大安全投資組合問(wèn)題可以表述為以下混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題：

(4)

(5)

(6)

(7)

xj-ujzj≤0,j=1,…,n

(8)

yt≥0,t=1,4,…,T

(9)

xj≥0整數(shù)j=1,…,n

(10)

zj∈{0,1},j=1,…,n

(11)

3 數(shù)值分析

首先，選取滬深股市30只股票涉及到不同的行業(yè)，下載了從2019 年 11 月 28 日至 2020 年 4 月 1 日90個(gè)交易日的日線于Excel表格中，計(jì)算出每只股票的日收益率及其平均值[8]，并以這些數(shù)據(jù)為樣本，創(chuàng)建了三個(gè)數(shù)據(jù)集nd1,nd2,nd3。所有股票的固定交易成本水平設(shè)定為一個(gè)常數(shù)，即cj=c,?j∈n.在第一和第三數(shù)據(jù)集的情況考慮固定成本等于2，第二數(shù)據(jù)集考慮固定成本等于0.5，假設(shè)三種情況投資資本的價(jià)值都等于2000。

我們已經(jīng)在CPLEX20.1.0測(cè)試了數(shù)據(jù)集及投資組合模型的有效性。在本次實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)g=0.06,λ=0.01,μ0=0.

表1 數(shù)據(jù)集1中十種股票的日收益率均值

表2 數(shù)據(jù)集2中十種股票的日收益率均值

表3 數(shù)據(jù)集3中十種股票的日收益率均值

表4 三種數(shù)據(jù)情況下最優(yōu)投資策略

計(jì)算結(jié)果表明，取三種不同數(shù)據(jù)集的情況下，都得到了整數(shù)最優(yōu)解集。每個(gè)整數(shù)表示三種情況最優(yōu)投資組合中相應(yīng)股票的個(gè)數(shù)，收益和風(fēng)險(xiǎn)分別表示三種情況下最大收益和最小風(fēng)險(xiǎn)值。由于考慮股票的時(shí)間段正是我國(guó)新冠肺炎疫情比較嚴(yán)重的時(shí)期，投資收益普遍低，尤其第二組數(shù)據(jù)所有股票表現(xiàn)都不好，在這種情況下已得到了最優(yōu)解表明本文建立的投資組合模型是合理有效的，在實(shí)際投資中有一定的指導(dǎo)作用。