核心素養(yǎng)視角下函數(shù)概念教學(xué)再思考

谷曉凱

摘? 要：函數(shù)概念課的教學(xué)要注重設(shè)置自然的問題，通過問題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，以培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 在教學(xué)中，教師既應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)史的引入，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;又應(yīng)該注意精心設(shè)置課堂引入和課堂小結(jié)兩個(gè)環(huán)節(jié)，以引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);函數(shù)概念;數(shù)學(xué)抽象

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)標(biāo)志著常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)的過渡. 同時(shí)，函數(shù)內(nèi)容也是培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的良好素材. 更重要的，對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，從而幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 下面結(jié)合人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）“19.1.1 變量與函數(shù)”一課，以核心素養(yǎng)的視角，從培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，以及發(fā)展學(xué)生情感、態(tài)度、價(jià)值觀的角度談?wù)剬?duì)本部分內(nèi)容的教學(xué)思考.

一、為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)概念

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的基本概念之一. 但教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)并不使用函數(shù)的概念. 那么，為什么還要學(xué)習(xí)函數(shù)的概念呢？事實(shí)上，函數(shù)概念的出現(xiàn)既是客觀現(xiàn)實(shí)的需要，又是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要. 一方面，現(xiàn)實(shí)世界是不斷運(yùn)動(dòng)變化的，這些變化中蘊(yùn)含著各種各樣的客觀規(guī)律，用數(shù)學(xué)的方法探索這些規(guī)律是函數(shù)研究的主要內(nèi)容;另一方面，函數(shù)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)變量數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，用函數(shù)作為紐帶可以把代數(shù)式、方程（組）、不等式等知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來. 人教版教材在本章的引言部分正是從這兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性的. 因此，作為函數(shù)教學(xué)的起始課，教師應(yīng)該從章引言開始，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生理解學(xué)習(xí)函數(shù)是研究客觀現(xiàn)實(shí)的需要，從而讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界.

基于此，針對(duì)本節(jié)課的“課堂引入”環(huán)節(jié)做如下教學(xué)設(shè)計(jì).

問題1：同學(xué)們知道“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”這句詩的意思嗎？

教師引導(dǎo)：詩人用文學(xué)的眼光看地球的運(yùn)動(dòng)，其非凡的想象力表現(xiàn)出了強(qiáng)烈的浪漫主義情懷. 實(shí)際上，從宇宙中的星球到周圍的事物，包括我們?nèi)庋劭床坏降奈⒂^世界，存在著大量運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象，可謂“萬物皆變”.

追問：你能再列舉一些運(yùn)動(dòng)變化的例子嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生舉例，教師從運(yùn)動(dòng)變化的角度予以點(diǎn)評(píng).

教師引導(dǎo)：關(guān)于這些運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象，物理課上我們學(xué)習(xí)過：物體的靜止是相對(duì)的，而物體的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的. 那么，如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)看待這些現(xiàn)象呢？這節(jié)課，我們就用數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)方法去認(rèn)識(shí)和研究這些運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象.

【設(shè)計(jì)意圖】上述設(shè)計(jì)從“文學(xué)眼光”到“物理眼光”，再自然過渡到“數(shù)學(xué)眼光”，在比較中培養(yǎng)學(xué)生從不同角度（特別是數(shù)學(xué)角度）看問題的意識(shí)，并初步領(lǐng)悟引入函數(shù)概念的必要性. 同時(shí)，學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，并通過這種聯(lián)系認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣.

二、讓函數(shù)概念自然形成

有研究表明，函數(shù)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感到最困難的概念之一，部分學(xué)生到九年級(jí)仍然不能正確理解什么是函數(shù). 造成這一結(jié)果的原因除了學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏與變量數(shù)學(xué)相聯(lián)系的知識(shí)之外，更與函數(shù)概念本身的高度抽象性及初中學(xué)生抽象思維能力不足有關(guān). 因此，函數(shù)概念的教學(xué)一定要體現(xiàn)概念的形成過程. 教師應(yīng)該設(shè)置合適的問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題到函數(shù)概念的抽象概括過程. 同時(shí)，要留給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行獨(dú)立思考、合作交流等自主活動(dòng). 其中，設(shè)置合適的問題是教學(xué)的關(guān)鍵. 教師要從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)設(shè)置合理的、富有啟發(fā)性的、自然的問題，這樣才能促使學(xué)生主動(dòng)認(rèn)知并建構(gòu)函數(shù)概念，從而讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)概念是通過自己的建構(gòu)自然形成的.

人教版教材中關(guān)于函數(shù)概念部分的編排非常有利于學(xué)生理解函數(shù)概念是如何自然形成的. 首先，人教版教材提供了如下四個(gè)與生活實(shí)際緊密聯(lián)系的問題：（1）汽車行駛路程與時(shí)間的關(guān)系;（2）電影院票房收入與售票張數(shù)的關(guān)系;（3）水中漣漪（圓的面積與半徑的關(guān)系）;（4）用固定長(zhǎng)度的繩子圍出矩形（矩形鄰邊關(guān)系）. 通過對(duì)這四個(gè)問題的分析得出變量與常量的概念;接著，又針對(duì)這四個(gè)問題設(shè)置了一個(gè)“思考”，引導(dǎo)學(xué)生歸納得出結(jié)論——上述每個(gè)問題中的兩個(gè)變量都相互聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng);最后，通過問題（5）“心電圖（生物電流與時(shí)間關(guān)系）”和問題（6）“我國(guó)人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表（人口數(shù)與年份關(guān)系）”，結(jié)合前面歸納出的結(jié)論概括出函數(shù)的概念. 其中，函數(shù)概念自然形成的思考路徑如下圖所示.

[實(shí)際問題中的變量][變量間的聯(lián)系：一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變化而變化][??? 如何變化：一個(gè)變量每取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)][函數(shù)概念]

按照這個(gè)思考路徑，針對(duì)“給函數(shù)下定義”環(huán)節(jié)可做如下教學(xué)設(shè)計(jì).

問題2：?jiǎn)栴}（1） ～ （4）中都有哪些量？從運(yùn)動(dòng)變化的角度看，它們有哪些共同特點(diǎn)？

預(yù)設(shè)：學(xué)生在認(rèn)真觀察、比較、思考的基礎(chǔ)上歸納得出變量和常量的概念.

追問1：同一個(gè)問題中的兩個(gè)變量之間有什么聯(lián)系？

預(yù)設(shè)：一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變化而變化.

追問2：具體是怎么變化的？

預(yù)設(shè)：在一個(gè)變化過程中，一個(gè)變量每取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).

【設(shè)計(jì)意圖】問題2意在引導(dǎo)學(xué)生從全新的角度（運(yùn)動(dòng)變化的角度）認(rèn)識(shí)熟悉的問題情境. 這里，“熟悉的問題情境”有利于學(xué)生聯(lián)系已有的經(jīng)驗(yàn)，而豐富的經(jīng)驗(yàn)背景是概念形成的前提. 因?yàn)橛谢谡乱缘恼n堂引入做鋪墊，所以從“全新的角度”理解概念的形成就顯得非常自然. 更重要的是，這種建立在“舊”的基礎(chǔ)上的“新”，能引起學(xué)生的好奇，從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī). 追問1和追問2引導(dǎo)學(xué)生聚焦問題中的變量，并使學(xué)生通過層層深入的思考初步理解函數(shù)概念的本質(zhì).

對(duì)追問2的預(yù)設(shè)，學(xué)生可能很難達(dá)到，這就需要教師適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生回到問題（1） ～ （4），通過對(duì)問題中的變量進(jìn)行賦值來研究變量之間的變化關(guān)系. 需要注意的是，教師不應(yīng)該拘泥于學(xué)生能否用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述這種變化，而要關(guān)注學(xué)生是否感悟到了變量之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

問題3：?jiǎn)栴}（5）（6）中的兩個(gè)變量之間也有前面所述的關(guān)系嗎？試舉例說明.

預(yù)設(shè)：學(xué)生利用圖表舉例說明變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】問題3提供了兩個(gè)概念性變式素材，既能讓學(xué)生進(jìn)一步理解變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，又為后面學(xué)習(xí)函數(shù)的多種表示方法做準(zhǔn)備. 讓學(xué)生舉例說明意在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解.

問題4：上述問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系就是我們要學(xué)習(xí)的函數(shù). 你能給函數(shù)下個(gè)定義嗎？先獨(dú)立思考，再與同伴交流.

預(yù)設(shè)：師生歸納總結(jié)出函數(shù)的概念.

【設(shè)計(jì)意圖】問題4意在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述函數(shù)概念. 要求學(xué)生在小組交流之前先獨(dú)立思考，意在培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

雖然教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生很難用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言獨(dú)立表述出函數(shù)的概念. 但在不斷的思考、交流的過程中，學(xué)生會(huì)逐漸進(jìn)入“憤悱”的狀態(tài)，想用規(guī)范、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述函數(shù)概念的欲望會(huì)越來越強(qiáng)烈. 此時(shí)，教師再給出函數(shù)的定義，學(xué)生會(huì)感受到數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)之美. 同時(shí)，學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的素養(yǎng)也得到了提升.

三、“函數(shù)簡(jiǎn)史”助力教學(xué)

羅增儒教授認(rèn)為，指向素養(yǎng)教學(xué)的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該努力滲透數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用等數(shù)學(xué)文化要素. 英國(guó)數(shù)學(xué)史家福韋爾總結(jié)了數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的各種理由，其中包括：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī);改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀;保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣;讓學(xué)生知道并非只有他們有困難，因而獲得心理安慰;培養(yǎng)優(yōu)等生的思維寬度和深度;等等. 可見，在課堂教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心. 因此，把數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效策略.

函數(shù)概念從產(chǎn)生到初步完善歷經(jīng)數(shù)世紀(jì)之久，期間有許多史料可對(duì)教學(xué)產(chǎn)生借鑒. 結(jié)合初中生的知識(shí)儲(chǔ)備和心理特征，教師可以在教學(xué)中設(shè)置如下“函數(shù)簡(jiǎn)史”環(huán)節(jié)，選擇函數(shù)概念發(fā)展中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)介紹給學(xué)生.

1638年，意大利天文學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家伽利略在《關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話》一書中，研究了變量之間的關(guān)系，這標(biāo)志著函數(shù)概念的萌芽;1673年，德國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨在他的一篇手稿里首次使用“函數(shù)（function）”一詞來表示任何一個(gè)隨曲線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的量;1718年，萊布尼茨的學(xué)生、瑞士數(shù)學(xué)家伯努利在給函數(shù)下定義時(shí)特別強(qiáng)調(diào)，函數(shù)要用公式來表示.

之后，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年將函數(shù)明確定義為解析式，但很快又對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)行了修正，將函數(shù)看作“具有依賴關(guān)系的變量”. 一直到1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷對(duì)歐拉的定義進(jìn)行了修正，給出了更接近現(xiàn)行教材中的函數(shù)定義.

在我國(guó)，清朝數(shù)學(xué)家李善蘭把“function”譯成“函數(shù)”，提出“凡式中含天，為天之函數(shù)”.

雖然經(jīng)過幾百年的錘煉和變革，才形成了函數(shù)概念的現(xiàn)代定義，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，它還有更廣闊的空間等著同學(xué)們?nèi)ヌ剿?

【設(shè)計(jì)意圖】通過以上史料，學(xué)生能了解教材中函數(shù)概念的由來及曲折的發(fā)展歷程，從而激發(fā)學(xué)習(xí)函數(shù)的動(dòng)機(jī)，獲得學(xué)習(xí)函數(shù)的心理安慰，增強(qiáng)學(xué)好函數(shù)的信心，進(jìn)而更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展. 同時(shí)，學(xué)生熟悉的伽利略等數(shù)學(xué)家的多重身份能讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系. 總之，這些史料使函數(shù)概念在學(xué)生面前變得立體豐滿，能夠有效拉近學(xué)生與函數(shù)概念之間的距離，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

四、“小結(jié)”不能“結(jié)”

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)追求前后一致、邏輯連貫、注重整體. 教師應(yīng)把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體的知識(shí)體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性. 課堂小結(jié)在這些方面應(yīng)發(fā)揮更重要的作用. 在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師不能僅僅通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)和方法進(jìn)行梳理而為課堂教學(xué)畫上“句號(hào)”，而應(yīng)該通過引導(dǎo)學(xué)生感受本節(jié)課的知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系而為課堂教學(xué)畫一個(gè)“逗號(hào)”;不能僅僅滿足于通過解決本節(jié)課產(chǎn)生的問題而為課堂教學(xué)畫上“句號(hào)”，更應(yīng)通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出更多的問題而為課堂教學(xué)畫上“問號(hào)”. 總之，“小結(jié)”不能“結(jié)”，要留有余味，留給學(xué)生進(jìn)一步思考的空間.

基于以上觀點(diǎn)，針對(duì)本節(jié)課的“課堂小結(jié)”環(huán)節(jié)可做如下的問題設(shè)計(jì).

問題5：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

預(yù)設(shè)：函數(shù)的概念.

追問1：你能舉例說明什么是函數(shù)嗎？

追問2：我們是怎樣得到函數(shù)概念的？

【設(shè)計(jì)意圖】通過追問1引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)概念的本質(zhì)，淡化概念的形式化表達(dá). 追問2意在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)概念的形成過程，從中進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)抽象的基本思想.

問題6：關(guān)于函數(shù)，你還有什么問題嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生對(duì)問題6的解答，結(jié)合學(xué)生的課堂生成，教師可適當(dāng)介紹函數(shù)的后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容（具體函數(shù)、表示、性質(zhì)、應(yīng)用等），使學(xué)生能初窺函數(shù)知識(shí)體系的全貌，激發(fā)他們繼續(xù)學(xué)習(xí)的欲望.

五、進(jìn)一步思考

筆者在參閱大量研究函數(shù)概念教學(xué)的文章后，發(fā)現(xiàn)研究者大多聚焦于六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等的培育，很少有研究者討論怎樣通過函數(shù)概念的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是核心素養(yǎng)中情感、態(tài)度、價(jià)值觀部分的要求，也是數(shù)學(xué)必備品格的重要組成要素.

在按上述設(shè)計(jì)進(jìn)行的課堂教學(xué)實(shí)踐中，通過課堂觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“課堂引入”“函數(shù)簡(jiǎn)史”“課堂小結(jié)”三個(gè)環(huán)節(jié)表現(xiàn)出了濃厚的興趣. 通過課后訪談發(fā)現(xiàn)，部分優(yōu)等生對(duì)“給函數(shù)下定義”這個(gè)環(huán)節(jié)印象深刻. 究其原因，這應(yīng)該與核心素養(yǎng)視角下函數(shù)概念教學(xué)的重新設(shè)計(jì)有關(guān). 上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師對(duì)知識(shí)和能力的教學(xué)注重用自然的、富有啟發(fā)性的問題引導(dǎo)學(xué)生積極思考，從中獲得數(shù)學(xué)思維的樂趣;通過比較用不同“眼光”看待同一問題，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值;通過函數(shù)簡(jiǎn)史的引入，豐富函數(shù)概念的文化意蘊(yùn)，使學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)的魅力，從而提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 在“課堂小結(jié)”環(huán)節(jié)，學(xué)生通過初識(shí)函數(shù)知識(shí)的整體架構(gòu)而產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和求知欲. 因此，核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，在關(guān)注知識(shí)和能力教學(xué)的基礎(chǔ)上，也應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的情感、態(tài)度和價(jià)值觀，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，興趣是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的必要條件.

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