三種教材“銳角三角函數(shù)”概念獲得的對比研究

奚雯燕

[摘? 要] 文章分別對蘇教版、人教版、浙教版銳角三角函數(shù)概念的獲得做了對比，在比較的基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 教材對比;銳角三角函數(shù);概念;整合

銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要章節(jié).一方面是在學(xué)習(xí)了直角三角形兩銳角關(guān)系、勾股定理、相似三角形等知識的基礎(chǔ)上，對直角三角形邊角關(guān)系的進(jìn)一步深入和拓展研究;另一方面，又為解直角三角形等奠定了基礎(chǔ).本節(jié)課不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用.

三種教材對“銳角三角函數(shù)”

概念獲得的對比研究

1. 蘇教版教材的編排

某體育館為了方便觀眾，設(shè)計(jì)了不同坡度的臺(tái)階.

【觀察與思考】

（1）哪個(gè)臺(tái)階更陡？

（2）下面哪個(gè)臺(tái)階最陡？你是如何判斷的？

（3）比較兩個(gè)臺(tái)階，你有什么發(fā)現(xiàn)？

一般地，如果銳角A的大小確定，我們可以作出Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3…

分析：教材提供了三個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題的幾何直觀逐步過渡到對抽象圖形的數(shù)學(xué)思考：第一個(gè)問題主要基于幾何直觀判斷臺(tái)階哪個(gè)更陡;第二個(gè)問題則是提供了三個(gè)不同直角邊長的三角形（抽象的臺(tái)階），感受直角三角形的直角邊的長度會(huì)影響臺(tái)階“陡的程度”，將直觀感受過渡到量的刻畫，尋找數(shù)學(xué)語言描述陡與緩.一種是通過斜面與水平面的夾角大小描述，夾角大則陡;另一種是通過邊的比較描述，例如①與②水平長度相同，高越大，臺(tái)階越陡，②與③高度相同，水平長度越短，臺(tái)階越陡，于是三個(gè)臺(tái)階中②最陡，但是剩下兩個(gè)臺(tái)階誰更陡，暫時(shí)還解決不了.也就是當(dāng)水平長度之間、高度之間都不相同時(shí)，怎么比較臺(tái)階陡與緩，需要進(jìn)一步探究.第三個(gè)問題是基于（2）中未解決的問題作的鋪墊，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形相似，對應(yīng)角相等，臺(tái)階的傾斜程度一樣.但是教材到這里，就把正切的概念引出來，筆者認(rèn)為有點(diǎn)突然.對于教材（3）中的問題，發(fā)現(xiàn)當(dāng)角確定時(shí)，邊的比值也隨之確定，把這個(gè)確定的比值叫角的正切，似乎前面解決臺(tái)階的傾斜程度完全沒有必要.既然問題已經(jīng)提出，解決（3）之后，可以繼續(xù)探究（2）中①與③的傾斜程度.既然相似不改變傾斜程度，那么相似就成為①與③傾斜程度比較的橋梁.通過相似，將①與③其中一個(gè)圖形進(jìn)行放縮，使得放縮以后的圖形與另一個(gè)圖形水平長度或者高相同，這樣就能比較出放縮以后的圖形與另一個(gè)圖形的傾斜程度，從而能比較①與③傾斜程度.這個(gè)過程是本節(jié)課最精彩的地方，讓學(xué)生進(jìn)一步感受除了斜面與水平面的夾角大小可以刻畫傾斜程度，高度與水平長度的比也可以刻畫傾斜程度.前者的經(jīng)驗(yàn)，孩子在生活中已經(jīng)具備，后者經(jīng)驗(yàn)的獲得是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn).在這個(gè)過程中發(fā)現(xiàn)夾角確定，高度與水平長度的比也隨之確定，為了表示兩者之間的這種關(guān)系，引入符號tan，給出名稱，這種關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系，但三角函數(shù)這個(gè)詞要到正弦、余弦講完之后才真正給出.在兩課時(shí)學(xué)習(xí)過程中，先認(rèn)識三角函數(shù)中的部分（正切、正弦、余弦），再認(rèn)識整體（三角函數(shù)），是不利于學(xué)生理解函數(shù)這個(gè)模型的.

2. 人教版教材的編排

問題：為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管.在山坡上修建一座揚(yáng)水站. 對坡面的綠地進(jìn)行噴灌，觀測得斜坡的坡角（∠A）為30°，為使出水口的高度為35 m，需要準(zhǔn)備多長的水管？

思考1：在上面的問題中，如果出水口的高度為50 m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？

這就是說，在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無論這個(gè)直角三角形大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值.

分析：教材問題從現(xiàn)實(shí)生活中引入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)服務(wù)于生活. 思考1是利用“直角三角形30度角所對直角邊是斜邊的一半”解決問題，本質(zhì)上是讓學(xué)生感悟無論直角三角形大小如何，當(dāng)一個(gè)角為30°時(shí)，這個(gè)角的對邊與斜邊的比始終等于，是一個(gè)定值.思考2借助勾股定理可以發(fā)現(xiàn)，無論直角三角形大小如何，當(dāng)一個(gè)角為45°時(shí)，這個(gè)角的對邊與斜邊的比始終等于，是一個(gè)定值. 探究的目的是為了將從特殊情況下得到的結(jié)論推廣到一般并進(jìn)行證明. 與蘇教版不同的是，人教版三角函數(shù)中第一個(gè)學(xué)習(xí)的是正弦，而蘇教版第一個(gè)學(xué)習(xí)的是正切，先學(xué)哪一個(gè)并不重要. 人教版研究的問題指向性更強(qiáng)，始終圍繞銳角、對邊、斜邊這三個(gè)量展開，從特殊角的對邊與斜邊比值固定推廣到一般情況，先易后難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 但結(jié)論推廣的過程有些快，在解決完思考之后，教材就把探究問題給了出來，缺少類比聯(lián)想的過程. 每一個(gè)問題的產(chǎn)生都是基于觀察、發(fā)現(xiàn). 學(xué)生產(chǎn)生問題的能力普遍低于解決問題的能力，能力的培養(yǎng)應(yīng)該貫穿在整個(gè)教學(xué)過程中. 筆者認(rèn)為在思考2之后，也可以讓學(xué)生說一說前面我們在研究什么問題，后面可能會(huì)研究什么問題，可以采用怎樣的研究方法.讓學(xué)生學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)的方法遠(yuǎn)比解決單個(gè)問題更有價(jià)值.對于銳角A仍然可以賦值，比如50°等，讓學(xué)生畫圖、量長度、計(jì)算、猜想，并用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示. 讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，猜想、歸納、證明的完整過程.

3. 浙教版教材的編排

兩個(gè)物體在傾斜角不同的斜面上向上運(yùn)動(dòng)相同的距離，它們上升的高度相同嗎？

在傾斜角（∠α，∠β）不同的兩個(gè)斜面上，物體前進(jìn)的距離都是1，而它在水平和鉛垂兩個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)的距離卻各不相同. 物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在斜面上所經(jīng)過的距離和水平方向、鉛垂方向經(jīng)過的距離，與斜面的傾斜角之間有什么關(guān)系呢？

合作學(xué)習(xí)：

通過上面兩個(gè)實(shí)踐操作你發(fā)現(xiàn)了什么？

分析：教材從學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，明確本節(jié)課將圍繞角的大小與邊比值的關(guān)系展開研究. 合作學(xué)習(xí)過程從特殊到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.通過回憶熟悉的定理，讓學(xué)生明白直角三角形中銳角與邊比值存在關(guān)系，并大膽猜測直角三角形中任意角α的對邊與斜邊比值是否固定. 在探索比值的相關(guān)量的過程中，發(fā)現(xiàn)比值隨角度變化而變化，從而使學(xué)生初步形成銳角三角函數(shù)的概念，巧妙地把三角函數(shù)放在函數(shù)的概念體系中進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)了銳角三角函數(shù)產(chǎn)生的必要性. 對照函數(shù)概念進(jìn)一步確認(rèn)角度是自變量，比值是因變量，突破難點(diǎn);在動(dòng)手操作的過程中，讓學(xué)生參與知識形成的全過程. 浙教版教材最大的亮點(diǎn)是第一課就把銳角三角函數(shù)的概念給出，這與蘇教版和人教版不同.在過程性方面，浙教版在第一課時(shí)主要圍繞銳角三角函數(shù)存在的必要性展開，為什么我們要學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，是基于怎么樣的情境去進(jìn)行這樣的探究，更體現(xiàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，展示了研究數(shù)學(xué)問題的一般方法，具有示范性. 但不足之處在于，既然研究比值，那么三條邊可以產(chǎn)生六個(gè)比值，為什么只研究了一部分，從銳角三角函數(shù)的概念來講并不完整.

三種教材對“銳角三角函數(shù)”概

念獲得的教學(xué)設(shè)計(jì)整合

銳角三角函數(shù)編排在“函數(shù)”和“相似三角形”之后，在概念的獲得過程中用相似的知識進(jìn)行證明.作為本章的起始課，筆者認(rèn)為定位應(yīng)該更高些，將研究銳角與邊的關(guān)系的必要性交代清楚.在探究關(guān)系的過程中，不斷并反復(fù)讓學(xué)生感悟到直角三角形中銳角確定，邊的比值隨之確定這個(gè)事實(shí)，喚起記憶，讓學(xué)生關(guān)系借助已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，生成新知.每一版教材編寫都有自己的設(shè)計(jì)意圖.作為教師，我們不是教教材，而是用好教材，重組教學(xué)活動(dòng)，優(yōu)化教學(xué)路徑，引導(dǎo)學(xué)生找到知識的生長點(diǎn)和延伸點(diǎn).結(jié)合各版本，筆者對銳角三角函數(shù)概念的引入進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計(jì)，僅供參考.

環(huán)節(jié)1：引入課題

問題1：直角三角形的兩個(gè)銳角之間有什么關(guān)系？

問題2：直角三角形的三邊之間存在怎樣的關(guān)系？

問題3：在直角三角形中，我們已經(jīng)知道了邊的關(guān)系、角的關(guān)系，接下來我們要研究什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識到直角三角形的邊的關(guān)系和角的關(guān)系是分離的，各自有自己的關(guān)系，還沒有研究直角三角形中邊與角的關(guān)系.因此，研究直角三角形中邊與角的關(guān)系是擺在師生面前的共同問題，是必須要解決的問題，即“直角三角形的邊角關(guān)系是什么”是這節(jié)課要研究的問題.

環(huán)節(jié)2：引出比值

問題4：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，則BC等于多少？

問題5：你能快速解決這個(gè)問題的依據(jù)是什么？

設(shè)計(jì)意圖：從角與邊，過渡到邊的比值.

問題7：直角三角形3條邊，兩兩組合有多少種？

設(shè)計(jì)意圖：從一個(gè)比值過渡到初中階段的三個(gè)比值.

活動(dòng)1：填表（Rt△ABC，∠C=90°）

設(shè)計(jì)意圖：對于含有30°、45°的直角三角形，讓學(xué)生初步體會(huì)“角度固定，比值也固定”，為后面猜想作鋪墊.

環(huán)節(jié)3：探索角與邊之比的對應(yīng)關(guān)系

問題9：當(dāng)∠A為30°、45°時(shí)，表格里的比值是固定值，那么當(dāng)∠A取其他銳角時(shí)，比值是否也固定呢？

設(shè)計(jì)意圖：從特殊角過渡到一般角（具體度數(shù)），進(jìn)一步強(qiáng)化“角度固定，比值也固定”的結(jié)論.

師生活動(dòng)：在操作過程中，每個(gè)人取的B點(diǎn)并不一樣，但是分別比較接近，但又不完全一樣，因?yàn)榈玫綌?shù)據(jù)的方式是測量，測量會(huì)產(chǎn)生誤差. 幾何畫板演示分兩個(gè)階段，第一步在∠A一邊上移動(dòng)點(diǎn)B，即改變直角三角形的大小，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)到“角度固定，比值也固定”;第二步改變射線AB的位置，讓學(xué)生體會(huì)到“角度改變，比值也改變”，每一個(gè)固定的∠A，都有唯一確定的比值與之對應(yīng)，可使其對后面的函數(shù)有更直觀的理解.

設(shè)計(jì)意圖：通過幾何畫板演示，初步確認(rèn)猜想的正確性，體會(huì)角度與比值之間的對應(yīng)關(guān)系.

活動(dòng)2：填表（Rt△ABC，∠C=90°）

問題10：將直角三角形更一般化，如果∠A的大小為α（固定），表格中的比值仍然是固定值嗎？為什么？

操作2：作一個(gè)任意∠A，在∠A的一邊上任意取一點(diǎn)B，作BC垂直于∠A的另一邊，垂足為C，在射線AB上取異于B的一點(diǎn)B1，作B1C1垂直于∠A的另一邊，垂足為C1，需要證明什么結(jié)果？如何證明？

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)操作設(shè)計(jì)可以由學(xué)生完成，如果學(xué)生想不到，教師可以借助在幾何畫板中的拖動(dòng)效果加以引導(dǎo)，讓學(xué)生完成作圖. 同時(shí)加深學(xué)生對“角度固定，比值也固定”的理解;猜想的證明過程又可以培養(yǎng)學(xué)生的推理論證意識.

設(shè)計(jì)意圖：得出結(jié)論“角度固定，比值也固定” .

設(shè)計(jì)意圖：得出結(jié)論“角度變，比值也變” .

環(huán)節(jié)4：引出銳角三角函數(shù)概念

活動(dòng)3：填表（Rt△ABC，∠C=90°）

設(shè)計(jì)意圖：引出正弦、余弦、正切和銳角三角函數(shù)概念，并引入符號表示.

整合教材的啟示

每一版教材各有千秋，每一位研究者站在不同的角度，看待問題也會(huì)有不同的結(jié)果.整合教材不是對原本教材的否定，而是在已有教材的基礎(chǔ)上再創(chuàng)造. 教材整合是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，是教師立足于真實(shí)課堂教學(xué)情境，基于自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以教材為依托的自我建構(gòu)過程.進(jìn)行教材整合的前提是要跳出教材，站在教材之上.作為一名教師，要想跳出教材，就要認(rèn)真鉆研教材. 教師要認(rèn)真研究教材編寫的意圖、每個(gè)環(huán)節(jié)的目的，挖掘開發(fā)課程資源，對教材精心“加工”. “加工”的度要符合學(xué)生的實(shí)際，適合學(xué)生的發(fā)展. 能讓學(xué)生最大化地實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的“加工”，就是有效“加工”.