在比較中深化 在推理中升華

董文芳

[摘? 要] 文章以“一位小數(shù)的大小比較”一課為例，論述在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角下，深度建構(gòu)學(xué)生知識(shí)體系，滲透數(shù)學(xué)基本思想的策略和意義。借助“分類比較，勾連不同方法”“多維比較，聯(lián)系知識(shí)本源”“情境比較，加強(qiáng)理解運(yùn)用”豐富學(xué)生對(duì)一位小數(shù)大小比較方法的理解，發(fā)展數(shù)感和初步的推理能力。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);大小比較;推理

教學(xué)內(nèi)容：蘇教版三年級(jí)下冊(cè)90頁(yè)、91頁(yè)例3及“試一試”“想想做做”。

教材分析：三年級(jí)學(xué)生在日常生活中已經(jīng)接觸過(guò)小數(shù)，但由于小數(shù)是十進(jìn)制的特殊表現(xiàn)形式，其意義具有一定程度的抽象性，學(xué)生要深刻理解小數(shù)大小比較方法和內(nèi)涵，有一定的困難。本節(jié)課重在讓學(xué)生理解小數(shù)意義的基礎(chǔ)上自主經(jīng)歷比較的過(guò)程，滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，在多樣化方法中交流、辨析、優(yōu)化，豐富積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

教學(xué)目標(biāo)：（1）結(jié)合具體生活情境，在“數(shù)學(xué)化”活動(dòng)過(guò)程中，自主經(jīng)歷探索小數(shù)大小比較的過(guò)程，能正確比較一位小數(shù)的大小。

（2）經(jīng)歷多樣化數(shù)學(xué)方法的比較過(guò)程，滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、優(yōu)化等思想和方法，讓學(xué)生借助形的直觀理解數(shù)的內(nèi)涵，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思考的能力。

（3）培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑、合作、交流的能力，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

教學(xué)重點(diǎn)：在具體情境中理解小數(shù)大小比較的方法，能正確進(jìn)行比較。

教學(xué)難點(diǎn)：借助直觀圖進(jìn)一步理解小數(shù)大小比較的方法。

教具學(xué)具：課件、數(shù)字卡片、作業(yè)紙。

課前談話：生活中的小數(shù)無(wú)處不在。師生比身高、體重，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)小數(shù)也有大小。

一、了解起點(diǎn)，提出問(wèn)題

1. 導(dǎo)入新課，初提問(wèn)題

揭題：生活中常常進(jìn)行數(shù)量之間的大小比較，我們學(xué)習(xí)過(guò)整數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的大小比較，今天來(lái)研究一位小數(shù)的大小比較。（板書(shū)課題：一位小數(shù)的大小比較）

提問(wèn)：夏天到了，同學(xué)們喜歡的冷飲很暢銷，商店有4種不同價(jià)格的冷飲，雪糕1.5元、冰磚0.8元、冰淇淋2.2元、冰棒0.6元。由這些信息，你能比較哪兩種冷飲的價(jià)格？根據(jù)學(xué)生的發(fā)言依次板書(shū)0.8>0.6，0.8<1.5，2.2>1.5， 0.6<2.2，1.5>0.6，0.8<2.2。

2. 分類小數(shù)比較問(wèn)題

交流：這么多小數(shù)比較的問(wèn)題，可以分類嗎？為什么這樣分類呢？指出根據(jù)整數(shù)部分的不同分為三類。

3. 根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)比較

分享：平時(shí)買過(guò)冷飲嗎？按照你的購(gòu)物經(jīng)驗(yàn)，0.8元和0.6元誰(shuí)大？

過(guò)渡：數(shù)學(xué)是講道理的學(xué)科，為什么0.8元比0.6元大呢？請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)眼光把想法和思考過(guò)程寫(xiě)在作業(yè)紙上。

設(shè)計(jì)意圖：小數(shù)大小的比較是在整數(shù)大小的比較、同分母分?jǐn)?shù)大小的比較等知識(shí)教學(xué)之后的同類型知識(shí)，因此學(xué)生在知識(shí)、方法和思想三個(gè)方面已經(jīng)有了足夠的儲(chǔ)備，這些儲(chǔ)備是發(fā)展學(xué)生思維、溝通知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系、滲透和孕育數(shù)學(xué)思想的“富礦”。扣住“0.8為什么大于0.6”這一問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)，聚焦知識(shí)體系中的核心知識(shí)，扣住核心知識(shí)生長(zhǎng)的背景，找到核心知識(shí)的教學(xué)意蘊(yùn)。

二、自主探索，建構(gòu)方法

1. 比較整數(shù)部分相同的小數(shù)

（1）嘗試不同策略進(jìn)行比較。

探究：學(xué)生思考，教師巡視，寫(xiě)好策略的學(xué)生在小組互相交流。

匯報(bào)：請(qǐng)部分學(xué)生到實(shí)物投影上展示作業(yè)紙寫(xiě)的內(nèi)容，講述思考過(guò)程。

①化成角。以“角”作單位，將小數(shù)化成整數(shù)來(lái)比。0.8元=8角，0.6元=6角，8角比6角大，所以0.8>0.6。（板書(shū)：化成角）

②化成分?jǐn)?shù)。把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，十分之八大于十分之六，所以0.8>0.6。（板書(shū)：化成分?jǐn)?shù)）

③畫(huà)圖比較。不看整數(shù)部分的0，直接比較8和6。追問(wèn)：為什么呢？

啟發(fā)：將小數(shù)化成正方形幫助理解。平均分成10份，取其中的8份，表示0.8。請(qǐng)學(xué)生在作業(yè)紙上涂色0.6，再比一比。8份比6份多，從圖上可以看出0.8比0.6大。

將小數(shù)化成線段圖表示。請(qǐng)學(xué)生到屏幕上指一指0.8和0.6：誰(shuí)離1近？線段圖上一個(gè)小格表示多少？0.8里有幾個(gè)0.1？0.6呢？

引導(dǎo)學(xué)生在敘述的時(shí)候要有條理、有根據(jù)。

小結(jié)：畫(huà)圖能非常直觀地看出兩個(gè)小數(shù)的大小。（板書(shū)：畫(huà)圖）

（2）探尋各種方法的聯(lián)系。

歸納：把大家的方法整理一下，這么多方法有什么聯(lián)系或共同的地方？“轉(zhuǎn)化成角”是看小數(shù)里有幾個(gè)1角，“轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)”是看有幾個(gè)十分之一，“畫(huà)圖”是看有幾個(gè)0.1，都是在比0.8和0.6里包含了多少個(gè)相同的計(jì)數(shù)單位。學(xué)生不僅比出了小數(shù)的大小，還找到了背后的道理！

小結(jié)：整數(shù)部分都是0的小數(shù)，只要直接比較小數(shù)部分的大小。

設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生足夠的空間展示“化成角”“化成分?jǐn)?shù)”“畫(huà)圖”等多種方法，使各種不同的“關(guān)系”在同一場(chǎng)景中“現(xiàn)身”，然后在“能不能找到關(guān)聯(lián)或共同點(diǎn)”的啟示下，使各種關(guān)系有效連通，并達(dá)到深度理解的層次。學(xué)生獲得的不僅僅是知識(shí)，更多的是思想和智慧，是方法和聯(lián)系，是對(duì)數(shù)學(xué)的好感和親近。

2. 比較整數(shù)部分不同的小數(shù)

類推：根據(jù)以上的經(jīng)驗(yàn)再來(lái)比一比雪糕和冰磚的價(jià)格，同桌互相討論。

（1）化成角來(lái)比。15角大于8角，所以0.8<1.5。

（2）和1元比。0.8元比1元少，1.5元比1元多，所以0.8<1.5。

（3）直接比較整數(shù)部分。0比1小，所以0.8<1.5。追問(wèn)：小數(shù)部分8比5大，為什么只看0和1就比出了結(jié)果呢？

（4）畫(huà)線段圖比。怎么表示1.5呢？線段“1”延長(zhǎng)到“2”，“1”后面有5個(gè)小格。

演示：0.8有8份，比1小;1.5有15份，比1大，所以0.8<1.5。小小的圖形的作用可真不小，幫助理解了“為什么只要直接比較0和1就可以了”。

小結(jié)：像這樣的整數(shù)部分不都是0，怎么比？哪個(gè)整數(shù)部分大，這個(gè)小數(shù)就大。

3. 總結(jié)積累完善方法

（1）直線上比較大小。

延伸：能接著在直線上找到2.2嗎？直線延長(zhǎng)到3，2后面的兩格就是2.2.像這樣繼續(xù)往右延長(zhǎng)，還可以表示更多的數(shù)，以后還要學(xué)習(xí)從0往左延長(zhǎng)，認(rèn)識(shí)新的數(shù)。真是一條神奇的直線。

思考：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谥本€上表示這四個(gè)小數(shù)，并任選兩個(gè)小數(shù)比一比，同桌交流比較方法。

反饋：學(xué)生任選兩個(gè)小數(shù)比較，并說(shuō)一說(shuō)比較的過(guò)程。教師相機(jī)提問(wèn)：2.2>1.5這一組的整數(shù)部分都不是0，怎么比？為什么都喜歡直接比較整數(shù)部分？更直接，更簡(jiǎn)便。

（2）直線上驗(yàn)證深化。

探究：比較了大小，再來(lái)觀察這條直線上的數(shù)，有什么發(fā)現(xiàn)？

反饋：越往右邊，小數(shù)越大;越往左邊，小數(shù)越小。所以最大的是2.2，最小的是0.6;“一點(diǎn)幾”都在“零點(diǎn)幾”右邊，驗(yàn)證了剛才的發(fā)現(xiàn)：“零點(diǎn)幾”都小于“一點(diǎn)幾”。

拓展：0和1之間都有哪些小數(shù)？1和2之間，2和3之間呢？想一想，“五點(diǎn)幾”在哪兩個(gè)整數(shù)之間？直線上還能找到更大的數(shù)嗎？100、101之間有哪些一位小數(shù)？這些小數(shù)中最小的是哪個(gè)？最大的是哪個(gè)？這些小數(shù)大不大？小數(shù)并不“小”，也可以很大。8848.86這個(gè)小數(shù)是多少？它很特別，知道嗎？這是世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度。

（3）優(yōu)化小數(shù)比較方法。

回顧：通過(guò)以上學(xué)習(xí)，能完整地說(shuō)一說(shuō)比較小數(shù)大小的方法嗎？指名兩位學(xué)生回答。同桌之間再互相說(shuō)一說(shuō)方法。

小結(jié)：不管是哪種思考方法，都從高位比起，先比較整數(shù)部分，再比較小數(shù)部分。（板書(shū)：從高位比起）

設(shè)計(jì)意圖：聚焦“道理”“方法”兩個(gè)環(huán)節(jié)，繼續(xù)展開(kāi)探究，給學(xué)生較大的研究和學(xué)習(xí)的空間，使其多層面、多視角進(jìn)行發(fā)散與聚合。借助直線描一描、比一比，認(rèn)識(shí)更大的小數(shù)，自然建立整數(shù)與小數(shù)的聯(lián)系，教師的“教”，更多的是點(diǎn)撥、鼓勵(lì)、欣賞、提醒、引導(dǎo)。

三、拓展深化，提升應(yīng)用

（1）人民幣比大小。掌握了比較方法，讓我們解決生活中的一些問(wèn)題。出示人民幣，比較大小。

（2）儲(chǔ)蓄小冠軍。下面三位同學(xué)儲(chǔ)蓄幾元幾角？誰(shuí)是儲(chǔ)蓄小冠軍？誰(shuí)最少？你是怎么想的？

（3）跳遠(yuǎn)小冠軍。這是三只青蛙跳遠(yuǎn)比賽名次，它們的成績(jī)各是多少呢？提問(wèn)：你是怎么看出來(lái)的？

（4）跑步小冠軍。出示四位同學(xué)跑步成績(jī)。請(qǐng)學(xué)生頒獎(jiǎng)，誰(shuí)是冠軍？誰(shuí)是第二名？誰(shuí)是第三名？跑得越快時(shí)間越少，比的時(shí)候不僅要注意數(shù)的大小，還要聯(lián)系生活實(shí)際。

（5）航模小冠軍。誰(shuí)是航模比賽小冠軍呢？出示比賽規(guī)則，飛行時(shí)間越長(zhǎng)，成績(jī)?cè)胶?。由提示語(yǔ)和比賽時(shí)間，確定每人的成績(jī)。

比較：跑步和航模都是計(jì)時(shí)，為什么跑步第一名取最短時(shí)間，航模比賽第一名取最長(zhǎng)時(shí)間？比賽規(guī)則不同，生活中需要仔細(xì)觀察，深入思考。

（6）翻牌比冠軍。

游戲規(guī)則：每隊(duì)有0到9共10張牌。男女生各選派代表依次翻牌組成小數(shù)比大小;自己決定翻到的數(shù)字放哪一位;能確定勝負(fù)時(shí)，本輪比賽結(jié)束。

①翻牌過(guò)程中采訪學(xué)生，為什么把這個(gè)牌放在這個(gè)數(shù)位？引導(dǎo)得出：取勝的秘訣是把大數(shù)放在高位。

②董老師還有更巧妙的方法，不管怎么抽都能贏：移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，變成“□□.□”“□.□□”。這樣能確定贏嗎？

在翻牌游戲中也能得出整數(shù)部分大，則這個(gè)小數(shù)就大。

四、全課總結(jié)，連線生活

希望同學(xué)們下課后繼續(xù)發(fā)現(xiàn)生活中的小數(shù)問(wèn)題，不僅會(huì)問(wèn)、會(huì)想，更會(huì)用！

設(shè)計(jì)意圖：從儲(chǔ)蓄小冠軍、跳遠(yuǎn)小冠軍、跑步小冠軍、航模小冠軍、翻牌小冠軍等生活場(chǎng)景中設(shè)計(jì)練習(xí)，深化對(duì)小數(shù)比較本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)。多樣化的層次性練習(xí)，將數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)相溝通，不僅是對(duì)知識(shí)的具體應(yīng)用，更將感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)。

五、教后反思

1. 分類比較，勾連不同方法

小數(shù)大小的比較是在整數(shù)大小的比較、同分母分?jǐn)?shù)大小的比較等知識(shí)教學(xué)之后的同類型知識(shí)，同時(shí)小數(shù)也是十進(jìn)制形式，但由于小數(shù)的特殊性，小數(shù)意義不像自然數(shù)那么直觀，學(xué)生要深刻理解小數(shù)比較方法和內(nèi)涵存在一定難度。本課需要根據(jù)小數(shù)的含義，使學(xué)生在溝通概念和意義的同時(shí)自然獲取比較大小的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)前基礎(chǔ)中碎片化、點(diǎn)狀化的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)梳理，使其條理化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。根據(jù)情境商店有4種不同價(jià)格的冷飲——0.8元、0.6元、1.5元、2.2元，引導(dǎo)學(xué)生由這些信息能比較兩種冷飲的價(jià)格大小，啟發(fā)小數(shù)比較可以根據(jù)整數(shù)部分的不同分為三類：第一類，整數(shù)部分都是0;第二類，一個(gè)整數(shù)部分是0，一個(gè)整數(shù)部分不是0;第三類，整數(shù)部分都不是0。接下來(lái)圍繞不同的三類展開(kāi)探討，分別得出：整數(shù)部分都是0，只要直接比較小數(shù)部分就可以了;整數(shù)部分一個(gè)是0，一個(gè)不是0，哪個(gè)小數(shù)的整數(shù)部分大，這個(gè)小數(shù)就大;整數(shù)部分都不是0，先比較整數(shù)部分，再比較小數(shù)部分。分類比較后，引導(dǎo)完整的歸納：不管哪類比較，都是先比較小數(shù)的整數(shù)部分，再比較小數(shù)部分。整數(shù)和小數(shù)都是十進(jìn)制，從而勾連整數(shù)比較方法，都是先從高位比起，也為后面學(xué)習(xí)多位小數(shù)及百分?jǐn)?shù)比較埋下伏筆。

2. 多維比較，聯(lián)系知識(shí)本源

在比較整數(shù)部分相同的小數(shù)大小時(shí)，大問(wèn)題下啟發(fā)思考：“兩個(gè)小數(shù)怎么比？為什么這樣比？”多樣化呈現(xiàn)方法，從具體的數(shù)量“8角和6角”到半抽象的“分?jǐn)?shù)、單位正方形圖、線段圖”，再到抽象的方法總結(jié)，學(xué)生在多元表征中逐步經(jīng)歷比較方法的抽象過(guò)程，開(kāi)闊思路，培養(yǎng)了橫向、縱向綜合解決問(wèn)題的能力，有效發(fā)展數(shù)學(xué)思考。學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)聯(lián)系具體數(shù)量單位“元”“米”等將小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)來(lái)比較，還可以利用小數(shù)的意義將小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)來(lái)比較大小;也可以引入直觀的單位正方形圖，將一個(gè)正方形表示為“1”，平均分成10份，0.8是8份，0.6是6份，正方形圖是幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)小數(shù)意義的很好的載體，是比較小數(shù)的一個(gè)直觀工具;還可以通過(guò)小數(shù)在線段圖上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置進(jìn)行判斷，0.8有8個(gè)小格，0.6有6個(gè)小格，通過(guò)比較線段的長(zhǎng)短看出小數(shù)的大小，小數(shù)與線段圖上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的聯(lián)系。最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不管哪種思考方法，都是相同計(jì)數(shù)單位之間的比較，開(kāi)展以抽象為主線的思維訓(xùn)練。

3. 情境比較，加強(qiáng)理解運(yùn)用

學(xué)生掌握一位小數(shù)比較方法后需要展開(kāi)思維訓(xùn)練，利用不同的規(guī)則推理強(qiáng)化小數(shù)大小比較方法，聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)在具體情境里比較小數(shù)的大小，體會(huì)小數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義，促進(jìn)對(duì)小數(shù)的理解和應(yīng)用。5個(gè)系列“小冠軍”題目由易到難層層推進(jìn)，成為學(xué)生思維發(fā)展的催化劑，學(xué)生展開(kāi)多維形式的推理演繹，提升思維認(rèn)知水平。儲(chǔ)蓄“小冠軍”是對(duì)例題的鞏固;跳遠(yuǎn)“小冠軍”是以長(zhǎng)度為單位的小數(shù)之間的比較;跑步“小冠軍”是以時(shí)間為單位的比較，還隱藏著“跑得越快時(shí)間越少”這個(gè)生活常識(shí);航?！靶」谲姟毙枰鶕?jù)四句提示語(yǔ)對(duì)小數(shù)大小排序，“紅紅成績(jī)可能是十六點(diǎn)幾呢？最少是多少秒？最多是多少秒？”這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題的提出，學(xué)生需要根據(jù)“軍軍16.4秒和亮亮17.3秒”推想紅紅的成績(jī)?cè)谶@兩個(gè)數(shù)之間，還要根據(jù)確定好的個(gè)位“6”得出最少是16.5秒，最多是16.9秒;最后的翻牌“小冠軍”再次點(diǎn)燃了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，課堂更加靈動(dòng)有趣，學(xué)生需要靈活聯(lián)系小數(shù)比較方法，根據(jù)自己翻到的數(shù)及對(duì)方翻到的數(shù)，還有想象接下來(lái)翻到的數(shù)決定將數(shù)放在哪個(gè)數(shù)位。在這個(gè)過(guò)程中，全班分成兩個(gè)隊(duì)通過(guò)持續(xù)推理想象，進(jìn)一步體驗(yàn)到小數(shù)大小比較的本質(zhì)。既為學(xué)生提供廣闊的思維空間，也釋放學(xué)生的潛能和才華，讓學(xué)生感受到好玩有趣。通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能靈活自如地解決各類生活中的小數(shù)問(wèn)題。

本課在數(shù)學(xué)思想的滲透方面還做了嘗試。借助“數(shù)軸”這個(gè)具體的“形”幫助理解如何比較一位小數(shù)的大小，發(fā)現(xiàn)小數(shù)排列的特點(diǎn)和規(guī)律，感受小數(shù)的有序性和小數(shù)與整數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步豐富數(shù)的內(nèi)涵和外延，有效發(fā)展數(shù)感，有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合基本思想，創(chuàng)造機(jī)會(huì)發(fā)揮多維表征在數(shù)感培養(yǎng)中的作用。在模仿和推演基礎(chǔ)上，通過(guò)抽象過(guò)程建構(gòu)完整的計(jì)數(shù)方法，明晰“比較小數(shù)大小就是看小數(shù)里包含了幾個(gè)相同的計(jì)數(shù)單位”，有機(jī)滲透抽象的基本思想。將抽象的小數(shù)大小比較具體化、形象化，運(yùn)用不同思想模型解決生活中的問(wèn)題。學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)中，自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，感悟知識(shí)之間的聯(lián)系，對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)更加完善。