基于數(shù)學(xué)抽象的“函數(shù)性質(zhì)”單元教學(xué)設(shè)計(jì)①

羅德建 劉春艷

(1.北京師范大學(xué)附屬中學(xué)100052；2.北京教育學(xué)院100044)

數(shù)學(xué)抽象位于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之首，也是數(shù)學(xué)基本思想之一，讓高中學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的方法，對(duì)于其理性思維的發(fā)展和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用．?dāng)?shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系[1]．由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)概念是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體．

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是高中階段最重要的概念之一，是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線．函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)概念的延伸，對(duì)于深入理解函數(shù)概念、應(yīng)用函數(shù)模型分析和解決相關(guān)問(wèn)題起著承上啟下的關(guān)鍵作用．對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，一方面學(xué)生缺少系統(tǒng)地研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，另一方面用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)性質(zhì)，既嚴(yán)謹(jǐn)又抽象，所以在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)學(xué)生普遍感覺(jué)難度很大．在諸多與函數(shù)性質(zhì)教學(xué)有關(guān)的文章中，大都聚焦于如何對(duì)函數(shù)的某一種性質(zhì)開(kāi)展教學(xué)，如文[2]、[3]等．那么，如何幫助學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)函數(shù)的不同性質(zhì)、發(fā)現(xiàn)不同性質(zhì)之間的共性，通過(guò)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程，積累研究性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象的思維水平？這是值得我們思考的問(wèn)題．

文[4]從數(shù)學(xué)教學(xué)的視角，建立了“基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型”，使得基于數(shù)學(xué)抽象的概念教學(xué)更有抓手．應(yīng)用該模型，函數(shù)性質(zhì)概念的抽象過(guò)程可依據(jù)如下模式進(jìn)行：首先創(chuàng)設(shè)情境，從一些熟知的函數(shù)及其圖象入手，識(shí)別關(guān)鍵要素；利用符號(hào)語(yǔ)言對(duì)函數(shù)值y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行定量刻畫(huà)，分析與建構(gòu)關(guān)鍵要素之間的邏輯關(guān)系，形成函數(shù)性質(zhì)的概念；通過(guò)應(yīng)用實(shí)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的精致化與系統(tǒng)化．在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生從直觀感知上升到理性認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷從“簡(jiǎn)約”，到“符號(hào)”，再到“普適”[5]的數(shù)學(xué)抽象的全過(guò)程，形成自己對(duì)函數(shù)性質(zhì)的感悟和理解，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

我們知道，單元教學(xué)設(shè)計(jì)有助于學(xué)生實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)思考問(wèn)題，對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)與整合創(chuàng)造．文[6]提出了數(shù)學(xué)單元教學(xué)操作的具體流程．本文嘗試從單元教學(xué)角度，將不同函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)形成整體設(shè)計(jì)，并應(yīng)用“基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型”幫助學(xué)生經(jīng)歷形成函數(shù)性質(zhì)概念的過(guò)程，深入理解性質(zhì)本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的思想與方法．

1 “函數(shù)性質(zhì)”單元教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 教學(xué)內(nèi)容分析

研究函數(shù)是出于實(shí)際的需要，生活中的變化無(wú)處不在，我們需要用函數(shù)來(lái)刻畫(huà)變量之間的相互依賴關(guān)系．函數(shù)的應(yīng)用體現(xiàn)在通過(guò)建立函數(shù)模型解決與運(yùn)動(dòng)變化、對(duì)應(yīng)關(guān)系、幾何變換等有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題、現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和科學(xué)問(wèn)題中．函數(shù)模型的性態(tài)就是事物的變化規(guī)律，把握了函數(shù)的性態(tài)就掌握了事物的變化規(guī)律[7]．

性質(zhì)是變化中的不變性或規(guī)律性．高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)性質(zhì)包括單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、極值、零點(diǎn)等．不同函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)都是當(dāng)自變量變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在隨之變化的過(guò)程中體現(xiàn)出的不變性或規(guī)律性，因此要緊扣函數(shù)的三要素來(lái)探索和發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)．變量的變化是指其取值的變化，即從一個(gè)值變到另一個(gè)值，對(duì)于實(shí)數(shù)集，序關(guān)系也就是通常的大小關(guān)系，是基本也是重要的關(guān)系．因此，我們會(huì)關(guān)注當(dāng)自變量x增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的變化是否保持同序(或變?yōu)榉葱?，這就是函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)特征，也是所有函數(shù)都可以研究的一個(gè)性質(zhì)．單調(diào)性決定了函數(shù)圖象的走勢(shì)，這也是我們?cè)谘芯亢瘮?shù)圖象時(shí)應(yīng)首先考慮的特征．單調(diào)性與其他函數(shù)性質(zhì)密切相關(guān)，如函數(shù)的最值、極值、零點(diǎn)等；由函數(shù)單調(diào)性還可以解決函數(shù)值的大小比較、求解不等式、方程根的分布等問(wèn)題．從這個(gè)意義上講，單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中應(yīng)首先研究的性質(zhì)，是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一．

當(dāng)自變量x呈特殊變化，如取相反數(shù)，由x變化到-x時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y不變或變?yōu)橄喾磾?shù)，即為函數(shù)的奇偶性；當(dāng)自變量x變化到x+T時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y不變，即為函數(shù)的周期性．對(duì)于具有奇偶性和周期性的函數(shù)，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，幫助我們簡(jiǎn)化研究過(guò)程．當(dāng)自變量x在定義域內(nèi)變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y是否有界及能否取到上界或下界，即為函數(shù)的有界性或最值問(wèn)題．若將自變量x的變化范圍縮小到定義域內(nèi)某點(diǎn)附近的一個(gè)鄰域，則函數(shù)在該鄰域內(nèi)的最值即為該函數(shù)的一個(gè)極值．若關(guān)注自變量x在定義域內(nèi)取何值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y為0，即為函數(shù)的零點(diǎn)．最值、極值、零點(diǎn)等性質(zhì)對(duì)應(yīng)了函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)．

研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法是“圖形直觀—自然語(yǔ)言—形式化定義”[8]，用“函數(shù)圖象”和“代數(shù)運(yùn)算”的方法來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)，這里體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的結(jié)合，即“通過(guò)幾何建立直觀，通過(guò)代數(shù)予以表達(dá)”[9]．

1.2 學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)及其表示方法，知道函數(shù)是一種實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以用解析式、圖象、表格等方法來(lái)表示．對(duì)于函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)說(shuō)，類比在預(yù)備知識(shí)中對(duì)集合、等式、不等式等數(shù)學(xué)對(duì)象的研究過(guò)程，還應(yīng)該研究函數(shù)的性質(zhì)、分類、應(yīng)用等．這也是研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的一般過(guò)程．

初中教材沒(méi)有對(duì)“函數(shù)性質(zhì)”進(jìn)行嚴(yán)格界定，只是從直觀上分別對(duì)三類具體函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù))的圖象特征進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)圖象的變化規(guī)律，再根據(jù)這些規(guī)律得出數(shù)值大小的性質(zhì)，并用自然語(yǔ)言進(jìn)行描述．對(duì)“函數(shù)性質(zhì)”，沒(méi)有明確的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)，也沒(méi)有對(duì)三類函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行歸納．事實(shí)上，大多數(shù)學(xué)生能大致知道什么是“函數(shù)性質(zhì)”，也能通過(guò)觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)函數(shù)的一些性質(zhì)，但還需體會(huì)嚴(yán)格定義函數(shù)性質(zhì)的必要性，比如我們畫(huà)出的函數(shù)圖象只是大致圖象，由離散到連續(xù)的過(guò)程不能僅僅依靠直觀感知，而需通過(guò)嚴(yán)格定義的函數(shù)性質(zhì)來(lái)規(guī)范函數(shù)圖象．此外，對(duì)于初中不涉及的函數(shù)性質(zhì)，如何引導(dǎo)學(xué)生觀察，如何引入符號(hào)語(yǔ)言對(duì)定性描述的函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行定量刻畫(huà)，以及如何整合與性質(zhì)有關(guān)的各個(gè)要素，歸納出定義等等，都是學(xué)生在函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)中會(huì)遇到的困難．

1.3 教學(xué)目標(biāo)分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中，對(duì)“函數(shù)性質(zhì)”的內(nèi)容要求是：①借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義．②結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義．③結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義．

對(duì)于上述目標(biāo)可進(jìn)一步理解為：借助一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等學(xué)生熟悉的函數(shù)，將函數(shù)圖象“從左至右看上升或下降”的直觀描述與“函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小”的性質(zhì)相對(duì)應(yīng)，會(huì)由“自然語(yǔ)言表達(dá)”過(guò)渡到“符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)”，進(jìn)而得到函數(shù)單調(diào)性的定義．符號(hào)語(yǔ)言是指集合、邏輯用語(yǔ)、與函數(shù)有關(guān)的不等式．類似的，可以得到函數(shù)最值的定義．能舉例說(shuō)明單調(diào)函數(shù)與非單調(diào)函數(shù)、有最值的函數(shù)與無(wú)最值的函數(shù)；能根據(jù)單調(diào)性、最值對(duì)一些函數(shù)進(jìn)行分類．奇偶性和周期性是初中階段沒(méi)有學(xué)過(guò)的函數(shù)新性質(zhì)，可通過(guò)觀察具體函數(shù)的圖象“發(fā)現(xiàn)”對(duì)稱性，由任意角三角函數(shù)的定義“體會(huì)”周期性，類比單調(diào)性的研究過(guò)程，用符號(hào)語(yǔ)言描述函數(shù)圖象的直觀特征，得到奇偶性和周期性的定義．

在函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等概念的形成過(guò)程中，經(jīng)歷由具體直觀到抽象概括，由圖形語(yǔ)言和自然語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的過(guò)程，加深對(duì)函數(shù)概念的理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

1.4 教學(xué)過(guò)程

將單元教學(xué)目標(biāo)分解到課時(shí)，以人教B版高中數(shù)學(xué)必修教材為例，函數(shù)單調(diào)性、最值的教學(xué)可設(shè)定為3課時(shí)，其中第1課時(shí)是函數(shù)單調(diào)性的定義與證明，第2課時(shí)是函數(shù)最值的定義、單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用，第3課時(shí)是函數(shù)的平均變化率、單調(diào)性的綜合應(yīng)用；函數(shù)奇偶性的教學(xué)可設(shè)定為2課時(shí)，其中第1課時(shí)是函數(shù)奇偶性的定義與證明，第2課時(shí)是函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．

下面筆者將以函數(shù)單調(diào)性第1課時(shí)、函數(shù)奇偶性第1課時(shí)的主要過(guò)程為例闡釋函數(shù)性質(zhì)教學(xué)的一般過(guò)程．

課例 1函數(shù)的單調(diào)性

(一)情境引入

追問(wèn)1.1：根據(jù)對(duì)等式“性質(zhì)”、不等式“性質(zhì)”的理解，你認(rèn)為什么是函數(shù)的“性質(zhì)”？

追問(wèn)1.2：函數(shù)的性質(zhì)包括哪些內(nèi)容？

追問(wèn)1.3：如何研究函數(shù)的性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖引入環(huán)節(jié)的設(shè)置強(qiáng)化對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象研究的基本方法：對(duì)象—性質(zhì)—聯(lián)系—應(yīng)用．作為函數(shù)性質(zhì)單元的起始課，承擔(dān)著承上啟下的作用，既與前面的函數(shù)概念一脈相承，又為后續(xù)的聯(lián)系與應(yīng)用奠定基礎(chǔ)．通過(guò)回顧三類具體函數(shù)的圖象與性質(zhì)，提出本單元統(tǒng)攝性的問(wèn)題：什么是函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)包括哪些內(nèi)容，以及如何研究函數(shù)的性質(zhì)．引導(dǎo)學(xué)生從更一般的角度思考函數(shù)性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容和方法，聚焦函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)要素．通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生感受到再次研究函數(shù)單調(diào)性的必要性，啟發(fā)學(xué)生從代數(shù)角度，嘗試用符號(hào)語(yǔ)言嚴(yán)格的給出單調(diào)性的定義，讓學(xué)生感受到對(duì)函數(shù)單調(diào)性的再研究基于初中的直觀認(rèn)識(shí)，是對(duì)初中認(rèn)識(shí)的延續(xù)與深化，并在這個(gè)過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想，形成基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

(二)分析建構(gòu)

問(wèn)題2：函數(shù)f(x)=x2的單調(diào)性是怎樣得到的？你能用符號(hào)語(yǔ)言定量的描述“y隨x增大而增大(或減小)”嗎？

學(xué)生在描點(diǎn)、連線繪圖的過(guò)程中，感受到從左至右圖象下降或上升的趨勢(shì)，同時(shí)體會(huì)到嚴(yán)格解釋“y隨x的變化如何變化”的必要性．

追問(wèn)2.1：先看y軸右側(cè)部分的函數(shù)圖象，x在什么范圍增大？

追問(wèn)2.2：你怎么理解“x增大”？

追問(wèn)2.3：對(duì)于自變量x，為什么是取兩個(gè)值，而不是取三個(gè)值或者更多？

追問(wèn)2.4：x1和x2是怎么取的？取兩個(gè)特殊的x1和x2可以嗎？為什么？

追問(wèn)2.5：如何理解對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨自變量x的增大而發(fā)生的變化？

追問(wèn)2.6：如何描述“對(duì)應(yīng)的y增大”了？

追問(wèn)2.7：圖象可以幫助我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論，但不能作為嚴(yán)格證明．你能嚴(yán)格證明“對(duì)于函數(shù)f(x)=x2，當(dāng)x≥0時(shí)，y隨x的增大而增大”嗎？

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)入手，由形到數(shù)，逐步實(shí)現(xiàn)由自然語(yǔ)言表達(dá)到符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的轉(zhuǎn)換，圍繞函數(shù)概念的三要素，理清單調(diào)性定義中涉及的各個(gè)要素之間的邏輯關(guān)系，初步建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的定義，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．

(三)抽象概括

問(wèn)題3：根據(jù)剛才的分析，從特殊到一般，你能用符號(hào)語(yǔ)言給出增函數(shù)的判斷規(guī)則嗎？

追問(wèn)3.1：增函數(shù)的圖象具有什么特征？

追問(wèn)3.2：類比剛才的研究過(guò)程，能否給出減函數(shù)的判斷規(guī)則？

追問(wèn)3.3：減函數(shù)的圖象具有什么特征？

設(shè)計(jì)意圖利用 “從特殊到一般”和“類比”的數(shù)學(xué)思想方法，明確單調(diào)性的定義和屬性．在形成函數(shù)單調(diào)性定義及其對(duì)應(yīng)的圖象特征的過(guò)程中，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)給一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象下定義的一般過(guò)程與方法．

(四)應(yīng)用理解

問(wèn)題4：兩人一組，每人寫(xiě)出一個(gè)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，并請(qǐng)隊(duì)友分別寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間.

設(shè)計(jì)意圖突出函數(shù)單調(diào)性是定義域內(nèi)某一區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)．我們?cè)谇蠛瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一般默認(rèn)是求出函數(shù)的最大單調(diào)區(qū)間．運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義解決本節(jié)課初始提出的問(wèn)題，前后呼應(yīng)．

課例2函數(shù)的奇偶性

(一)情境引入

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)熟悉的函數(shù)及其圖象，明確提出研究問(wèn)題，聚焦奇偶性的本質(zhì)屬性—對(duì)稱性．

(二)分析建構(gòu)

問(wèn)題2：上述函數(shù)都具有對(duì)稱性，具體分為幾種情況？

追問(wèn)2.1：函數(shù)有三要素，其中定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系起決定性的作用．要保證函數(shù)圖象的對(duì)稱性，對(duì)于函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么特殊要求嗎？

追問(wèn)2.2：對(duì)于f(x)=x2和g(x)=2-|x|這類函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，類比函數(shù)單調(diào)性，如何用符號(hào)語(yǔ)言描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”？

追問(wèn)2.3：“對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x，函數(shù)f(x)都滿足f(-x)=f(x)”與“f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是否等價(jià)？

追問(wèn)2.4：你還能舉出其他具有這種性質(zhì)的函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖從函數(shù)三要素出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，這也是奇偶性的核心要素，再建構(gòu)要素之間的邏輯關(guān)系．

(三)抽象概括

問(wèn)題3：我們將具有這種性質(zhì)的函數(shù)叫做偶函數(shù)，根據(jù)上面的分析，你能給偶函數(shù)下個(gè)定義嗎？

追問(wèn)3.1：如果已知偶函數(shù)在y軸一側(cè)的圖象，你能畫(huà)出它在另一側(cè)的圖象嗎？為什么？

追問(wèn)3.2：類比上述研究過(guò)程，你能否用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)圖象特征為“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”對(duì)應(yīng)的性質(zhì)？進(jìn)而給另一類函數(shù)“奇函數(shù)”下個(gè)定義？

追問(wèn)3.3：如果已知奇函數(shù)在y軸一側(cè)的圖象，你能畫(huà)出它在另一側(cè)的圖象嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖明確奇偶性的定義和本質(zhì)屬性，通過(guò)類比的方法下定義，理解數(shù)學(xué)定義的邏輯結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生抽象概括的能力．

(四)應(yīng)用理解

問(wèn)題4：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性有什么不同？它們有什么聯(lián)系嗎？

問(wèn)題5：兩人一組，每人寫(xiě)出一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)、一個(gè)非奇非偶函數(shù)，一個(gè)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，請(qǐng)隊(duì)友進(jìn)行證明．

追問(wèn)5.1：這些函數(shù)是怎樣構(gòu)造出來(lái)的？

2 對(duì)“函數(shù)性質(zhì)”單元教學(xué)的反思與建議

單元教學(xué)最重要的特征就是整體有序性，在“函數(shù)性質(zhì)”的單元設(shè)計(jì)中，更加明確函數(shù)主線的研究方向，更加清晰地建立不同函數(shù)性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系．主要體現(xiàn)在：

(1)重視單元引入和單元小結(jié)

如“函數(shù)的單調(diào)性”一節(jié)中，情境引入的問(wèn)題1及前3個(gè)追問(wèn)，就是單元引入，明確單元學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和基本方法：主要內(nèi)容有單調(diào)性、最值、奇偶性(對(duì)稱性)等，基本方法是“由形到數(shù)”、“從特殊到一般”、“從具體到抽象”等，幫助學(xué)生初步建立單元知識(shí)體系．限于篇幅，本文沒(méi)有呈現(xiàn)單元小結(jié)，在實(shí)際教學(xué)中，單元小結(jié)再次復(fù)習(xí)回顧了函數(shù)性質(zhì)的研究脈絡(luò)和研究方法，梳理函數(shù)不同性質(zhì)之間的聯(lián)系.

(2)重視函數(shù)性質(zhì)的抽象過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)從形式上遵循“總—分—總”的結(jié)構(gòu)，首尾呼應(yīng)，更重要的是內(nèi)在邏輯關(guān)系的一致性．本單元設(shè)計(jì)在“基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型”基礎(chǔ)上，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)特征，建立了“基于數(shù)學(xué)抽象的函數(shù)性質(zhì)的概念形成過(guò)程”，即情境引入—分析建構(gòu)—抽象概括—應(yīng)用理解．在這條主線的引導(dǎo)下，更加突出函數(shù)性質(zhì)的整體性，學(xué)生可以舉一反三，逐步獨(dú)立去研究更多的函數(shù)性質(zhì)，并遷移至后續(xù)的教學(xué)中，如讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)等，促進(jìn)其數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升．

(3)重視對(duì)函數(shù)概念的進(jìn)一步理解

函數(shù)性質(zhì)刻畫(huà)的是函數(shù)的要素之間的關(guān)系，是函數(shù)概念精致化和系統(tǒng)化[4]的一部分．一方面，研究的過(guò)程基本一致．函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)與函數(shù)概念的是一致的，均從熟悉的具體函數(shù)入手，學(xué)生經(jīng)歷由直觀描述到符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的抽象過(guò)程；另一方面，對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的研究始終圍繞函數(shù)概念進(jìn)行，即當(dāng)自變量x變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨之變化，這種變化中不變的規(guī)律正是函數(shù)的性質(zhì)．在研究的過(guò)程中充分利用“數(shù)形結(jié)合”、“運(yùn)動(dòng)變化”、“特殊到一般”、“類比”等思想方法，這些也是函數(shù)概念學(xué)習(xí)中需要重視的．進(jìn)一步，后續(xù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用也是函數(shù)概念和函數(shù)性質(zhì)精致化和系統(tǒng)化的過(guò)程．

在學(xué)習(xí)中還可以聯(lián)系或類比其他數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，如類比不等式的“性質(zhì)”體會(huì)函數(shù)的“性質(zhì)”，提升對(duì)“性質(zhì)”的理解．需要指出的是，對(duì)于每個(gè)不同的函數(shù)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程不一定是真正意義上的歸納，如周期性，在教學(xué)中可適當(dāng)?shù)瘹w納，強(qiáng)調(diào)如何由“形”到“數(shù)”，抓住性質(zhì)的本質(zhì)特征，用符號(hào)語(yǔ)言嚴(yán)格定義函數(shù)性質(zhì)．

(4)重視對(duì)函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)階設(shè)計(jì)

函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)是一個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)階的過(guò)程，即學(xué)生在一個(gè)較大時(shí)間跨度內(nèi)對(duì)某一學(xué)習(xí)主題的認(rèn)識(shí)、理解和實(shí)踐從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從低水平到高水平的發(fā)展過(guò)程[10]．教師應(yīng)將各個(gè)函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)進(jìn)行進(jìn)階處理，在單調(diào)性的教學(xué)中由例子到規(guī)則，注重問(wèn)題引導(dǎo)，加強(qiáng)符號(hào)語(yǔ)言的指導(dǎo)；在最值、奇偶性、零點(diǎn)、周期性、極值等函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中敢于放手，充分利用“類比”的方法，重在追問(wèn)的設(shè)計(jì)和師生共同完善定義的過(guò)程．讓學(xué)生從模仿、類比到遷移、創(chuàng)造，體會(huì)研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，熟悉對(duì)一般規(guī)則的符號(hào)和邏輯表達(dá)，將對(duì)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)置于函數(shù)主線中，注重聯(lián)系，螺旋上升，逐漸深入．

數(shù)學(xué)重思維、講邏輯，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)通過(guò)問(wèn)題設(shè)計(jì)和數(shù)學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，學(xué)會(huì)如何去除背景，抓住本質(zhì)屬性，歸納共同特征，抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象，用符號(hào)語(yǔ)言合理定義，并研究其相關(guān)應(yīng)用，這樣的數(shù)學(xué)課才會(huì)具有“數(shù)學(xué)的味道”．體現(xiàn)在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和分析，并利用“符號(hào)語(yǔ)言”進(jìn)行表達(dá)，有意識(shí)地運(yùn)用函數(shù)的概念與性質(zhì)去認(rèn)識(shí)和表達(dá)客觀規(guī)律．基于數(shù)學(xué)抽象的函數(shù)及其性質(zhì)的教學(xué)有助于函數(shù)思維的形成．學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中不僅能體會(huì)到研究函數(shù)及其性質(zhì)的普適性方法，還能遷移形成研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象及其性質(zhì)的一般方法．授之以魚(yú)，不如授之以漁，長(zhǎng)此以往，這樣的教學(xué)必然能實(shí)現(xiàn)落實(shí)“四基”、促進(jìn)“四能”的課程目標(biāo)，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．