初中數(shù)學單元復習課教學設計的特征分析①

顧繼玲 章 飛

(1.南京師范大學教師教育學院 210097；2. 江蘇第二師范學院課程與教學研究所 210013)

1 問題提出

復習課是在學習的某一階段，以梳理、鞏固已學知識和方法，促進知識系統(tǒng)化，提高學生運用所學知識解決問題的能力為主要任務的一種課型.根據(jù)學習的不同階段，復習課又可分為單元復習課、專題復習課和綜合復習課.研究表明，復習課的教學存在一些問題[1][2][3][4]，在知網(wǎng)以 “復習課”和“數(shù)學”為主題詞檢索核心期刊文章僅147篇，說明在實際教學中復習課受到的重視遠不及新授課.本文以同課異構的案例為研究素材，對初中數(shù)學單元復習課的現(xiàn)狀進行分析.

2 研究方法

2.1 研究材料

39份教學設計出自某省2018年初中數(shù)學青年教師基本功大賽，課題均為九年級下冊“銳角三角函數(shù)”章復習課(第1課時)，參加該項比賽的39位選手經(jīng)過全省13個地級市選拔產(chǎn)生(每市3人).該項比賽組織形式為：封閉3.5小時獨立進行教學設計與課件制作，現(xiàn)場提供教材(課題事先保密)，沒有其他參考資料，只憑選手對教材的理解、教學經(jīng)驗現(xiàn)場進行教學設計與課件制作.因此這個活動的材料一定程度上能反映一線教師對復習課教學的認識狀況及對復習課教學的價值追求，當然因教師的總體水平偏高，結果應該要優(yōu)于一般的教學，這也恰可以給一線教師有更多的借鑒和啟發(fā).

2.2 研究方法

首先對39份教學設計文本進行全部閱讀并進行教學流程及教學內(nèi)容的簡單記錄，形成匯總表.然后建立研究框架，按照教學目標、教學環(huán)節(jié)和具體設計等角度進行編碼分析，在定量的基礎上提煉出定性結論，并結合典型案例說明.

3 分析與討論

3.1 教學目標

教學目標是教學的起點和歸宿，復習課的教學目標顯然不同于新授課，教學設計的教學目標設定一定程度上可以反映出教師對復習課的教學定位.將39份教學設計文本中“教學目標”部分出現(xiàn)的不同于新授課的關鍵詞歸類并統(tǒng)計出現(xiàn)的頻次，結果如下：

表1 教學目標關鍵詞頻次統(tǒng)計

進一步按照每份教學設計中關鍵詞出現(xiàn)的數(shù)量統(tǒng)計出現(xiàn)的頻次，結果如下：

表2 關鍵詞數(shù)量的統(tǒng)計

由表1知，“教學目標”中出現(xiàn)的不同于新授課的關鍵詞有5類：知識體系、應用能力、活動經(jīng)驗、反思能力和新知獲得，同類關鍵詞出現(xiàn)的頻次由高到低分別為:知識體系、應用能力、新知獲得、活動經(jīng)驗和反思能力，表明教師清楚復習課和新授課有不同的定位，并將知識體系的梳理和建構、應用能力的提高作為教學目標的重點，如很多設計中引導學生回顧直角三角形的有關知識，包括勾股定理(邊的關系)、兩個銳角互余(角的關系)、銳角三角函數(shù)(邊和角的關系)，提出問題：5個元素至少知道幾個能求出所有元素？再如要求學生應用所學知識和方法去解決問題，類型上有數(shù)學問題和現(xiàn)實問題，層次上從已知直角三角形到需要自行構造直角三角形，從一個直角三角形到兩個直角三角形等.

從表2關鍵詞的數(shù)量來看，出現(xiàn)2個以上關鍵詞的教學設計有21份，接近54%，表明復習課教學目標表現(xiàn)出多元化.尤其是有少數(shù)教師關注了學生活動經(jīng)驗的積累和反思能力的養(yǎng)成，這兩者相對而言是教學的遠期目標，更為隱性，體現(xiàn)數(shù)學教學活動對促進學生發(fā)展的教育功能，但遠期目標的實現(xiàn)必須和具體內(nèi)容相聯(lián)系，通過近期目標來實現(xiàn)，一線教師對這二者的關注令人欣喜.也有少數(shù)教師關注了新知的獲得，準確的說是對舊知的新認識，如出現(xiàn)如下一些問題設計：怎樣理解“銳角三角函數(shù)”中“函數(shù)”一詞？你發(fā)現(xiàn)tanA與tanB有什么關系？sinA與cosB呢？cosA與sinB呢？你能用三角函數(shù)的眼光重新審視兩個直角三角形全等要具備哪些條件嗎？銳角三角函數(shù)和相似三角形之間有什么聯(lián)系？……希望從新的視角加深對本章知識及相關章節(jié)知識之間關系的理解.

但也有個別教學設計沒有出現(xiàn)上述關鍵詞，表現(xiàn)出對復習課目標設定的不全面.當然，不排除這些教師文本設計中沒有出現(xiàn)相應關鍵詞，而教學實施中有相應目標的體現(xiàn).但此行為一定程度上反映了教師對相應目標的意識比較淡薄.如案例1中的教學目標和新授課的教學目標沒有差異，只是將每一課時的教學目標合并.

案例1

教學目標：1.進一步理解銳角三角函數(shù)的概念，掌握特殊角的三角函數(shù)值；

2.能夠解直角三角形，了解用計算器計算三角函數(shù)及用三角函數(shù)值算銳角；

3.能運用銳角三角函數(shù)解決一些實際問題.

教學重點：銳角三角函數(shù)的概念及解直角三角形.

教學難點：運用銳角三角函數(shù)解決一些實際問題.

3.2 教學環(huán)節(jié)

教學環(huán)節(jié)能夠展現(xiàn)師生在共同實施教學任務中的活動順序和狀態(tài)變換，實際教學實施中還能看到具體的時間分配.從39份教學設計來看，教學環(huán)節(jié)的呈現(xiàn)形式多樣，如“知識梳理——演練展示——拓展提升——數(shù)學實驗——檢測反饋——小結與反思”、“解決問題，自主建構——活動思考，整體感悟——及時鞏固，進階練習——小結回顧，反思提升”、“問題1——問題2——問題3——問題4”等，其中不乏特別的設計.

案例2

問題1： 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，你想到了什么？

追問： 你能按類別寫出結論嗎？

問題2： 三個銳角三角函數(shù)有什么共同的特征？

追問1： 學習銳角三角函數(shù)概念的過程用到了前面的什么知識？

追問2：銳角三角函數(shù)是函數(shù)嗎？

練習在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，你能求△ABC其它邊的長度嗎？

變式在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=10，你能求出△ABC其它邊的長度嗎？

……

整節(jié)課的設計，以問題為主線，同時增加問題的開放性，讓學生感覺不到單純的回憶，更多是對知識關聯(lián)的思考和解題方法的反思.

再看教學環(huán)節(jié)的整體結構，大體有外顯和內(nèi)隱的兩種形式，前者各教學環(huán)節(jié)之間的界限非常清晰，有的明確用標題的方式來展現(xiàn)，如“知識回顧”、“例題講解”等，后者則沒有以環(huán)節(jié)的方式呈現(xiàn)，通常以一個個問題的方式展開整個教學流程.具體情況如下：

表3 教學環(huán)節(jié)的整體結構統(tǒng)計

從表3知，大約85%的教師采用了外顯的教學環(huán)節(jié)，其中“知識梳理——例題講解——鞏固練習——小結反思”最為多見，這種呈現(xiàn)使得課堂結構比較清晰.需要指出的是，外顯的教學環(huán)節(jié)不能因為有明確的標題就忽視環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間的關聯(lián)性，如有的設計在“知識梳理”環(huán)節(jié)教師關注了銳角三角函數(shù)的概念、銳角三角函數(shù)的單調(diào)性和銳角三角函數(shù)的求值，而在“例題講解”和“鞏固練習”中則全部圍繞非特殊角(75°、22.5°)的三角函數(shù)求值進行.同時應避免將教學流程固化，長期采用可能會讓學生乏味.

大約15%的教師采用了內(nèi)隱的教學環(huán)節(jié)，往往通過問題串貫穿整個教學過程，不在于用標題明示每一活動的目的，而在于用問題引領學生的思維，在問題驅(qū)動下對舊知進行復習、反思和提升，當然這對問題和問題之間的關聯(lián)性有更高的要求.

案例3

問題1：章頭圖問題：氣球有多高？結合本章知識，你有辦法測量嗎？你有哪些方案？

問題2：結合剛才的方案設計，回顧本章內(nèi)容，我們學了什么？將你想到的寫下來．

追問1 ： 3個銳角三角形函數(shù)“正弦、余弦、正切”的價值是什么？它們實際上打通了什么元素之間的關系？

追問2 ：直角三角形中除直角外的5個元素，至少知道幾個就能求出所有元素？

追問3 ：銳角三角函數(shù)常有哪些方面的應用？

問題3： 銳角三角形函數(shù)，其實已經(jīng)幫我們實現(xiàn)了從特殊銳角到任意銳角，在我們學習的基礎上，你還想知道哪些奧秘？

圍繞三個問題展開教學，問題1引導學生在活動中不自覺的復習回顧本章知識，是隱性的復習；問題2則旨在讓學生將知識梳理，使知識系統(tǒng)化、結構化，問題3的作用是引發(fā)學生發(fā)現(xiàn)一些可以繼續(xù)挖掘的問題.3個問題，層層遞進，在問題的解決中學生思維得以不斷提升.

3.3 具體設計

無論教學環(huán)節(jié)顯性呈現(xiàn)還是隱性呈現(xiàn)，“知識梳理”、“例題講解”、“習題訓練”等都是其中的主要環(huán)節(jié)，因此進一步從“知識梳理”、“例習題分析”和“小結反思”對復習課的具體設計進行分析.

3.3.1知識梳理

知識梳理是不同于新授課的教學環(huán)節(jié)之一，在新授課中更為關注具體的知識技能和方法，對知識與知識之間的關聯(lián)關注不夠，在復習課中教師需要通過特定的方式，引導學生回憶某一內(nèi)容，將其中的數(shù)學概念、數(shù)學結論以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系用適當?shù)姆绞酱?lián)形成一定的知識結構.從是否有知識梳理、知識梳理的方式、知識結構呈現(xiàn)的方式對39份教學設計進行統(tǒng)計分析,其中知識梳理的方式分為問題式和題組式，問題式是將某一內(nèi)容核心知識和方法設計成一組回憶性問題，在回答問題的基礎上，建立知識網(wǎng)絡，使知識系統(tǒng)化和結構化；題組式是按照某一內(nèi)容核心知識和方法設計一組題組練習，通過有針對性的、逐層遞進的練習，加深學生對知識方法的理解和記憶，建立知識網(wǎng)絡，使知識系統(tǒng)化和結構化，如有設計中設計4個練習，練習1旨在復習銳角三角函數(shù)的概念、表示及簡單性質(zhì)，練習2復習特殊角的三角函數(shù)值，練習3和練習4是銳角三角函數(shù)的應用(實際問題和數(shù)學問題)，就是典型的題組式.知識結構呈現(xiàn)的方式分為直線式和結構式，直線式是按照教材順序?qū)⑾嚓P內(nèi)容依次羅列出來，結構式是將某一內(nèi)容的知識方法用箭頭、連線、詞語等符號連接，形成結構圖示.如案例4是結構式.

案例4

按照上述維度，知識梳理情況統(tǒng)計如下：

表4 知識梳理情況統(tǒng)計

由表4知，39份教學設計均包括知識梳理環(huán)節(jié)，表明初中數(shù)學復習課普遍重視知識梳理，其中41%采用問題式知識梳理，46%采用題組式知識梳理，同時出現(xiàn)13%的混合式，即問題和題組混合，在每一問題下同時出現(xiàn)相應的小題，如果提出的問題學生難以理解時可借助具體的問題進行討論.但建議在知識梳理環(huán)節(jié)不要將小題變成知識點的練習，這樣會對學生產(chǎn)生一定的思維干擾，將知識結構的建構又化為知識點的訓練.如案例5即有這種傾向.

案例5

1.銳角三角函數(shù)是如何定義的？

練習1.如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.求sinA,cosA,tanA.

2.如圖1，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.

圖1

無論是問題式還是題組式都應選擇核心知識和方法設計成一組回憶性問題或一組練習，不必面面俱到，平均用力.設計的問題應引起學生對所學知識，以引起學生的反思為目的(如案例6中的問題)，而絕不是單純的記憶(如“銳角三角函數(shù)的定義是什么”、“特殊角的三角函數(shù)值有哪些”).題組式中的問題也可以考慮在形式上做創(chuàng)新設計，如將問題賦予新的情境，在解決新的問題中引起學生對知識點的回顧，或?qū)㈩}組用同一個情境貫穿，體現(xiàn)整體性.

案例6

問題1：本章的研究對象是什么？

問題2：怎樣理解“銳角三角函數(shù)”中“函數(shù)”一詞？

問題3：直角三角形邊或角之間有怎樣的聯(lián)系？

問題4：請你舉例說說三角函數(shù)的實際應用？

對于知識結構呈現(xiàn)的方式，直線式呈現(xiàn)占46%，結構式呈現(xiàn)占31%，其他占23%，直線式的呈現(xiàn)方式好處在于條目清晰，和教材內(nèi)容順序一一對應，不足在于各部分之間的關系顯現(xiàn)不夠，容易忽視知識的整體性，結構式不僅關注本章的知識和方法，甚至牽涉其他章節(jié)的知識和方法，如本章和直角三角形的認識、勾股定理、全等和相似都有關聯(lián).其他包括了沒有知識結構的呈現(xiàn)，以及非本章知識結構的呈現(xiàn)，如僅呈現(xiàn)直角三角形的邊角關系，問題解決的框圖等，推測有些教師認為此為復習的第一課時，因此僅關注了部分知識的結構，但顯然對學生整體結構建構不利，甚至有些老師將實際問題解決的框圖和知識結構混為一談.

在學生具備一定的學習經(jīng)驗前提下，教師也可以課前布置學生自行完成知識梳理，課上進行展示、交流，進一步完善，一方面可以節(jié)約課堂時間，另一方面可以培養(yǎng)學生對知識和方法進行自主回顧和重組的能力，積累反思的活動經(jīng)驗，但39份設計中僅有3 份知識梳理是在課前布置的.

3.3.2例習題分析

復習課中例習題的設置是必不可少的，這里的例習題是指知識梳理后出現(xiàn)的題目，不包括知識梳理中出現(xiàn)的題組問題，有些設計中出現(xiàn)了基礎練習、當堂檢測等也計入其中，一道題目下的變式問題不計入數(shù)量.對39份設計從例習題的數(shù)量、是否有變式、是否有拓展性問題等進行分析，變式包括一題多問、一題多解、一題多變等，其中一題多問是指在學生解答前或解答后，提出一些啟發(fā)性的問題，引導學生數(shù)學思考或進行反思；拓展性問題的確定以教科書復習題中的拓展性問題難度為限，高于或等于此難度的計入拓展題，作為課后作業(yè)布置的拓展題也計入數(shù)量.

表5 例習題情況統(tǒng)計

由表5知，例習題數(shù)量以3-4道為多，總體來說題量是適中的.復習課中的例習題不在于數(shù)量的多，而應側(cè)重于題目的典型性，要選擇能體現(xiàn)核心知識和方法的問題，要能通過對典型例題習題的剖析，掌握解決基本題型的解題方法，使學生能舉一反三， 觸類旁通.如確定直角三角形的大小和形狀至少需要兩個條件(兩邊或一銳角一邊)，非直角三角形可以通過作高構造直角三角形.有少量設計出現(xiàn)5-6道或更多，最多的一份設計出現(xiàn)10道，表現(xiàn)出訓練傾向.

對于變式，有54%的設計出現(xiàn)了變式，包括一題多變、一題多解和一題多問，一題多問主要表現(xiàn)為學生解答前思路的引領，解題后對問題解決的反思.

案例7

例：(1)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=10．解這個直角三角形．

(2)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，b=8，c=10．解這個直角三角形．

在學生解答后提出兩個問題：

問題1：對于上例的兩道題，你是怎樣計算未知邊和未知角的？為什么？(有特殊比值的可以利用特殊角的三角函數(shù)值)

問題2：在解直角三角形中，你用到了哪些公式？(勾股定理、三角函數(shù)、直角三角形的兩銳角互余，從中歸類：直角三角形中三邊關系．銳角關系以及邊角的關系，明確確定一個直角三角形所需條件)

經(jīng)歷這樣的過程，學生可以面對一個新的問題時首先會思考這個直角三角形是否確定，確定的話再進一步考慮方法的選擇，整體把握數(shù)學問題.

對于拓展性問題，46%的設計出現(xiàn)，54%的設計沒有考慮，可能與課時內(nèi)容安排有關，這是復習課第一課時，可能有些教師會將拓展性問題放置第2課時.從呈現(xiàn)出來的拓展性問題來看，大多源自于教科書章復習題，自行選擇或創(chuàng)新的不多，這可能由于比賽規(guī)程的限制，局限于比賽現(xiàn)場，資料缺乏所致.另外，要把握好拓展的度，拓展應在思維層面考慮，而不是單純獲得新的知識結論.

案例8

(1)△AFB與△FEC有什么關系？

(2)求tan∠BAF的值；

(3)求tan∠DAE的值.

案例9

如圖3，矩形ABCD中，E、F分別在邊CD、BC上，且∠AFE=90°．設∠BAF=α，∠FAE=β．

(2)你能發(fā)現(xiàn)什么？

圖2

圖3

3.3.3小結反思

復習課的小結也是必不可少的教學環(huán)節(jié)，將小結中的引導性問題進行梳理分類，分為經(jīng)驗、收獲、感悟、困惑、反思和延伸，統(tǒng)計出現(xiàn)的頻次，結果如下：

表6 小結反思的引導性問題統(tǒng)計

由表6知，引導性問題“收獲”類出現(xiàn)頻次最高，其次“反思”類、“經(jīng)驗”類，這是值得稱贊的.“反思是數(shù)學化過程中一種重要的活動，它是數(shù)學活動的核心和動力”[5]，這也體現(xiàn)了和新授課小結的不同之處.限于文本的教學設計，未能看到學生課堂真正的表現(xiàn).從平時課堂來看，對“收獲”類學生大致會從知識、方法和經(jīng)驗層面去談.對“反思”類、“經(jīng)驗”類，在學生經(jīng)驗缺乏的情況下，教師應引導學生從知識與知識間的聯(lián)系、知識與方法間的聯(lián)系、解題經(jīng)驗等方面進行考慮，也可將泛化的引導性問題具體化，如“重新審視兩個直角三角形全等要具備哪些條件？”、“銳角變化時，三角函數(shù)值如何變化？”、“在解直角三角形中，涉及到的基本知識有哪些？這些知識之間有什么聯(lián)系？”、“在直角三角形背景下，銳角三角函數(shù)的有關知識和全等三角形、相似三角形的知識有哪些聯(lián)系？”， 待學生積累一定經(jīng)驗的基礎上慢慢放手.

4 結論與建議

4.1 結論

(1)初中數(shù)學課堂單元復習課教學目標多元化，將知識體系的梳理和建構、應用能力的提高作為教學目標的重點.

(2)初中數(shù)學課堂單元復習課教學環(huán)節(jié)的呈現(xiàn)多樣化，以外顯形式為主.

(3)初中數(shù)學課堂單元復習課重視知識梳理，梳理的方式以題組式和問題式為主，結構的呈現(xiàn)以直線式和結構式為主；關注變式和拓展，例習題的數(shù)量集中在3-4道；重視小結反思，引導性問題以“收獲”、“反思”、“經(jīng)驗”類為多.

(4)初中數(shù)學課堂單元復習課存在問題有：知識結構呈現(xiàn)偏直線式、變式問題類型有欠缺、拓展性問題不豐富，個別教學設計存在一些明顯不足.

4.2 其他建議

(1)基于學情有針對性選擇復習課內(nèi)容.復習課應充分考慮學生的前期學情，查漏補缺也是復習課的目的之一，在前期的學習中，教師應該從課堂教學及學生的作業(yè)中發(fā)現(xiàn)學生的學習困難和典型錯誤，因此復習課應充分考慮學生的學情，根據(jù)學生的前期學習情況進行復習課的教學設計.如可在收集錯題、提煉錯因的基礎上，針對易錯題有重點地進行變式訓練.

(2)基于章節(jié)特點選擇適切性教學形式.對復習課嘗試做一些創(chuàng)新設計，如在教學內(nèi)容上由一個新的問題引導學生思考解決將舊知識回顧串聯(lián)起來，所謂“以新溫故”；在教學結構上，先梳理知識結構還是后梳理知識結構或邊練邊梳理，可能不同內(nèi)容或不同階段的復習課會有不同的選擇；在教學方式上，也可嘗試以學生匯報為主，教師適時釋疑和干預.

(3)基于能力發(fā)展給學生更多主體性的發(fā)揮.復習課應給學生更多的思維空間和自主機會，如讓學生提問題、自己出題、編題等，包括課前、課上和課下，鼓勵學生發(fā)問，引導學生質(zhì)疑，不僅提高學生分析問題和解決問題的能力，同時提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、批判質(zhì)疑的能力.