是理解取向還是研究取向①

徐章韜 汪曉勤

(1.華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 430079;2.華東師范大學教師教育學院 200062)

1 該如何導入

人們認為教育價值是教學設計的靈魂.價值涉及到一種判斷，是“值不值”的問題，不同的人有不同的價值觀同樣，對于教學設計，不同的人也有不同的價值判斷.寫在教材中的知識，既可以理解成一種結果，也可理解成一種過程.

如果把知識理解成一種結果，一種重要的成果，就會對其無比珍視，會從多角度進行理解.在教學設計及教學時，也是致力于這個目標，力圖對作為結果的知識之間內(nèi)在關系進行揭示，并產(chǎn)生廣泛的關聯(lián)，把其置于知識網(wǎng)絡之中，還會努力化作學生的認知結構.這種導入法及設計，順承了知識之間的內(nèi)在邏輯，教起來也順手，也能開闊學生的視野.

如果把知識理解成一種過程，就會力求弄清楚知識產(chǎn)生的動機，及推動知識產(chǎn)生的本原性問題，然后設置恰當?shù)那榫?，把問題置于情境之中，致力于發(fā)展學生做數(shù)學的各種活動經(jīng)驗.對于這兩種導入或引入方式，由于沒有從根本上理解清楚，在教學實踐中出現(xiàn)了一些偏差.比如，情境創(chuàng)設本意是好的，但由于情境創(chuàng)設的不恰當，問題不是從情境中挖掘出來的，還不如直接從知識間的內(nèi)在關聯(lián)導入來得直截了當，這樣也導致了一些批評，認為數(shù)學課不是在講數(shù)學，偏題了.說句公道話，這其實不能怪教師.教師的很多知識都是從教科書中學來的，教材在編寫時，多是從知識間的內(nèi)在關聯(lián)來寫的，很少從問題動機的產(chǎn)生來寫.這樣批評也不甚恰當，因為呈現(xiàn)在教科書中的內(nèi)容，由于所處的位置不同，并非每一個都是由問題刺激產(chǎn)生的，有的是邏輯自然推演的結果.故而，內(nèi)在關聯(lián)導入法和情境問題法應各有其所.但在一些重要的、基本的主題上應有一些區(qū)別.下面通過例子來說明在重要的、基本主題上內(nèi)在關聯(lián)導入法和情境問題法的區(qū)別.

2 兩種導入方式

以基本不等式為例.一般的基于內(nèi)在關聯(lián)導入的做法是這樣的.因為非負數(shù)具有非負性，即x2≥0，用a-b代替x，這樣就得到了基本不等式.滬教版、湘教版就是這樣處理的.這是著眼于代數(shù)角度.人教版教材的處理法，重在幾何，突出了知識間的聯(lián)系，用趙爽弦圖、面積法來做的，即(a+b)2=(a-b)2+4ab，舍去中間的正方形的面積，就得到了基本不等式.這種做法很容易轉化為教師的課堂實踐，也有很好的效果.

從趙爽弦圖講起，不言而喻，是老祖宗的東西，有濃郁的歷史文化氣息，而且也能用超級畫板等動態(tài)幾何軟件實現(xiàn)，課堂氣氛也很活躍.這些都是數(shù)學教育的附加值，其內(nèi)在的教育價值還可進一步挖掘.張奠宙先生曾指出，均值不等式的教學要突出恒不等式的價值[1].上面的做法，比起從不等臂天平的導入法，的確更符合數(shù)學的內(nèi)在邏輯，也更自然.從恒等式中產(chǎn)生恒不等式，揭示了相等和不等間的辯證關系，有利于學生對這兩大關系的認識.從趙爽弦圖講起，在知識銜接上也有諸多好處.如，初中講了兩數(shù)和的完全平方公式，兩數(shù)差的完全平方公式，這兩個公式其實是同一個公式，也可以用一個恒等式統(tǒng)一起來，(a+b)2=(a-b)2+4ab，在歐幾里得的《幾何原本》中也能找到這個公式的影子.如果寫成向量形式，就成了極化恒等式.關注和式結構、乘積結構，自然就有了基本不等式.人教版教材從趙爽弦圖講起，是有很多好處的.這是一種基于理解的導入法.這種導入法的不足之處是，知識產(chǎn)生的動機揭示不足，人們因何種需要或動機而產(chǎn)生基本不等式，這個問題沒有回答.現(xiàn)在教學邏輯是，可以從舊知識的多角度認識中產(chǎn)生基本不等式，而且它還有很多用處，所以在教學中把這些講清楚，讓學生練會就夠了.如果用“教學設計價值是教學設計的靈魂”“教育價值決定教學方式”的標準考量，那么，有沒有更有價值的教學設計呢？更有價值的教學設計，在于揭示問題產(chǎn)生的動機，且提供一個可以持續(xù)研究的主題.

周長和面積之間的關系是一個歷史很悠久的研究主題.歷史上，有人通過周長來推斷不同城市、不同地區(qū)的面積；也有人通過繞海島航行一周來確定海島的面積；也有人對周長相等的營地可以容納不同的人數(shù)感到困惑；也有人在分配土地時，利用周長和面積之間的關系作出對自己有利的選擇，等等.這些事實表明，古人對周長和面積之間的關系還不甚了解，因此有必要研究周長和面積之間的關系.現(xiàn)有兩塊土地，一塊是長方形狀的、一塊是正方形的，它們的周長相等，請問哪一塊的面積更大？

這一段話事實是指出了研究動機，我們何以要研究周長和面積之間的關系，從哪里入手研究面積和周長之間的關系呢？這顯然是一個開放性的問題，為了完成教學任務，教師可以引導學生朝預設的方向前行，完成教學目標之后，就可以讓學生天馬行空般地進行探索了.先引導學生從英國數(shù)學家沃利斯在研究等周問題時思考過的問題入手，防范了探究性教學時可能產(chǎn)生的路向不確定性.挪威數(shù)學家阿貝爾曾用“和差術”給出過非常精彩的證明，湘教版把這種方法寫進了《不等式選講》中.

3 兩種導入方式的比較

第一種導入方式，重在引導接受，其長處是能使學生在盡可能短的時間內(nèi)獲得盡可能多的知識和技能，也有助于學生加深對已學過知識的深刻理解，獲得較好的成績；其不足之處在于易導致學習的被動接受和學習過程的消極.“你講了我就懂了，你不講，我也不知道要從這方面想”，正是這種導入方式效果的白描寫照.

第二種導入方式，有情境，有問題，指出一種研究主題，能使學生明了其研究動機.這種引導對學生的要求很高，要求學生能悟到教師在引導他們做什么.其可能的不足之處在于，知識間的內(nèi)在關聯(lián)揭示不充分，學生技能訓練不到位.這也正是“過程—結果”的辯證沖突，是重過程，還是重結果，是過程取向，還是結果取向.堅持過程取向，或是過程-結果并重，那么后繼應有相關的教學措施跟進可以開發(fā)系列拓展性學習材料，供學習閱讀或訓練.

下面的材料揭示了“周長和面積之間的關系”，說明了“周長和面積”是一個有價值的研究主題，基本不等式、秦九韶公式也只是其中的成果之一.

周長和面積、面積與體積之間存在內(nèi)在聯(lián)系.著名的等周定理，即等周不等式，就揭示了歐氏平面上封閉圖形的周長及其面積之間的關系.其中的“等周”是指周長相等.等周定理指出，在周長相等的封閉幾何圖形中，以圓的面積最大；面積相等的幾何圖形中，以圓的周長最小.如果讓一個人跑步圈地，使圈得的地的面積盡可能大，由于他的體能是一定的，所走的路程是一定的，出于本能，他圈出的地是圓形.這兩種說法是對偶的.推廣到空間，表面積相等的封閉幾何體中，以球的體積最大；體積相等的幾何形體中，以球的表面積最小.一個直觀例子就是水珠的形狀，表面張力會使水珠的表面積達到最??；另一個直觀例子就是冬天時，狗蜷縮成一團，此時，與外界接觸的表面積最小，熱量散失少；夏天時，狗四肢伸張，躺在地上，此時，與外界接觸的表面積就大些，熱量散失快.

周長可認為是面積的邊界，面積可認為是體積的邊界，可用積分揭示.格林公式、斯托克斯公式、奧高公式揭示了周長-面積，面積-體積間的關系，統(tǒng)一的Stokes公式就是高度概括了邊界和區(qū)域之間的關系，體現(xiàn)了數(shù)學的內(nèi)在和諧之美.稍擴展一點，如果把區(qū)間端點看作區(qū)間的“邊界”，那么微積分基本定理，揭示的也是“邊界”與“區(qū)域”之間的關系.古魯金定理指出，平面曲線繞此平面上不與其相交的軸(可以是它的邊界)旋轉一周，所得旋轉體的側面積等于此曲線的重心繞同一軸旋轉所產(chǎn)生的圓周長乘以該曲線的弧長；平面圖形繞與其不相交的軸(可以是它的邊界)旋轉一周，所得旋轉體的體積等于此圖形的重心繞同一軸旋轉所產(chǎn)生的圓周長乘以該圖形的面積.

排列組合的加法原理和乘法原理也能用周長-面積來解釋.做一件事可從“長”“寬”兩個維度著手，加法原理是說從“長”或“寬”中任取一種方案即可完成，故所有的完成方法數(shù)是矩形的半周長，乘法原理是說要同時從“長”和“寬”各取一種方案才能完成，故所有的完成方法數(shù)是矩形的面積.

周長-面積，面積-體積之間的關系的確是一個值得研究的好問題.從周長-面積之間的關系導入基本不等式，著眼于學生的長遠發(fā)展，更具有教育價值.

4 精致訓練系統(tǒng)的構造

學生不是聽會的，很大程度上是練會的.這就需要配備一些精心設計的有層次的訓練支持教學方式的選擇.現(xiàn)在有眾多的習題支持基于結果理解的教學導入，缺乏的是支持基于過程理解的情境問題導入的精致訓練題[2-3].

(1)證明：在等底等周的所有三角形之中，等腰三角形的面積最大.

(2)證明：若等底的三個等腰三角形的腰構成等差數(shù)列，則以中項為腰的等腰三角形的面積大于另兩個等腰三角形面積的算術平均值.

(3)若腰為中項的等腰三角形的頂角為直角，并將等腰三角形拼成正方形，其余兩個等腰三角形拼成箏形，試比較它們的面積大小.

(4)試用多種方法證明周長相等的矩形和正方形，以正方形的面積為最大.

(5)證明：在所有等周正多邊形中，邊數(shù)最大的多邊形面積最大.

(6)“勾股容方”是我國古代優(yōu)秀的文化遺產(chǎn).在直角邊分別為a、b的直角三角形中，內(nèi)接一個正方形，求其邊長內(nèi)接一個矩形，問何時內(nèi)接矩形的面積最大？并分別比較此時內(nèi)接矩形、正方形的周長和面積的大小.

5 教材研究范式應轉變

行為主義學習理論、變式教學理論、理性思維的認知調控理論、情境認知理論都指出，數(shù)學知識要不斷涵化，不斷運用，才能為學習者所掌握.提倡某種教學理論或方法，卻不提供理論運用的實例，及各種教學資源，教師很難用得到課堂上.為教師提供足夠的資源，是相當重要的.基于知識結果理解的引入或教學之所以能流行，原因之一在于有很多研究考試命題、解題的人員，考試中心的、教研室的、民間的，提供了大量的教學資料，教師只要稍加整理就可以在課堂上運用，而且效果還不錯.而基于過程探究的引入或教學之所以難以開展，不能怪教師理念不先進，而是相關的配套服務措施或資源跟不上，有的教師心有余而力不足，不具備開展真正的以問題為導向的研究性學習.根據(jù)我們的研究，三維課程目標和學科核心素養(yǎng)并不矛盾，兩者是一般與特殊，面上與具體點的關系.[4]作為理論研究者，教師教育研究者應做好服務工作.

數(shù)學史是一座豐富的寶藏，HPM應更有為，應從數(shù)學史中挖掘出更多的研究性教學資源，以供教學之用，為教學理念的實施提供技術上的支持或指導，引導教師學會從研究的視角研讀教材[5-7].

另外，無論哪種導入或引入法，其前提條件是學生愿意學，因此抓住學生的心理，然后科學地引導他們，做到教育和科學相統(tǒng)一.