利用幾何圖形建立直觀通過代數(shù)運算刻畫規(guī)律——解析幾何內(nèi)容分析與教學思考(之一)

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

眾所周知，近代數(shù)學的第一個里程碑是解析幾何的誕生，這也是因應(yīng)了時代發(fā)展的需要.文藝復(fù)興使得科技文明獲得新生，近代科學技術(shù)的發(fā)展使運動變化規(guī)律成為自然科學的中心問題，由此而迫切需要一種新的數(shù)學工具.這樣，數(shù)學就再一次“扮演了先行者、奠基者的角色”，“而其中影響無比深遠者首推坐標解析幾何和微積分，它們奠定了對于各種各樣自然現(xiàn)象作深刻的數(shù)理分析的基本工具.”([1],p.164)

解析幾何的重要性決定了它在高中數(shù)學課程中的地位.除20世紀50年代外，我國高中數(shù)學課程中歷來有解析幾何的內(nèi)容，其課程目標和要求，都圍繞著使學生理解和掌握坐標法，并用坐標法研究直線、圓錐曲線以及其他重要曲線的方程、性質(zhì)和作圖等來考慮.例如，1986年的《全日制中學數(shù)學教學大綱》中提出，解析幾何教學要使學生：(1)了解解析幾何研究的對象、方法和意義.(2)掌握直角坐標系中曲線和方程的相互關(guān)系；能根據(jù)所給條件選擇適當?shù)淖鴺讼登笄€方程；通過對方程的討論掌握曲線的性質(zhì)，畫出曲線；能運用坐標法解決有關(guān)問題.(3)掌握直線和圓錐曲線的方程、性質(zhì)及其畫法；能利用坐標軸的平移化簡圓錐曲線方程；了解一些重要曲線的極坐標方程和參數(shù)方程.(4)使學生能夠用運動、變化和對立統(tǒng)一的辯證觀點去分析問題.([2],p.547)一如既往地，《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(簡稱“課程標準”)強調(diào)解析幾何的學習是要讓學生通過建立坐標系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導(dǎo)出相應(yīng)方程；用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)形與數(shù)的結(jié)合.下面我們根據(jù)課程標準的上述要求，討論基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的解析幾何教材與教學問題.

1 課程定位

課程標準提出：本單元的學習，可以幫助學生在平面直角坐標系中，認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標準方程；運用代數(shù)方法進一步認識圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系；運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學思想.本單元內(nèi)容包括直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、平面解析幾何的形成與發(fā)展.

分析課程標準的上述表述，可以得出如下認識：

首先，解析幾何的研究對象是幾何圖形，以平面直角坐標系為研究工具，通過代數(shù)運算研究幾何問題.這是解析幾何的特征.實踐中，有的教師熱衷于用平面幾何的方法討論解析幾何中的問題，有的老師把坐標法簡單化為“算”，這都背離了解析幾何的思想.坐標法的要點確實是通過代數(shù)運算和推理研究幾何圖形，但這里的運算是具有幾何特征的運算.

其次，課程標準強調(diào)“在平面直角坐標系中認識平面圖形的幾何特征”，這句話的含義需要認真領(lǐng)會.在直角坐標系中研究幾何圖形必須發(fā)揮直角坐標系的力量，這就要以理解直角坐標系的特征為基礎(chǔ).類比數(shù)軸，可以發(fā)現(xiàn)平面直角坐標系也有“三要素”，即原點、單位長度和方向.這里，原點起“基準點”作用，平面直角坐標系下的方向有兩個維度(平面是二維的).與我們的日常經(jīng)驗相吻合，水平的橫軸對應(yīng)于正東、正西方向，鉛錘的縱軸對應(yīng)于正北、正南方向，而第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限分別對應(yīng)于東北、西北、西南、東南等方向.平面直角坐標系是一個參照系，由此建立了一個討論平面圖形性質(zhì)的統(tǒng)一標準，其中的“基準點”、“方向”在幾何問題代數(shù)化中起著關(guān)鍵作用.

第三，用坐標法研究幾何問題的步驟是：在直角坐標系中認識圖形的幾何特征——建立標準方程——運用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)——通過代數(shù)運算研究曲線的位置關(guān)系——應(yīng)用.

結(jié)合課程標準提出的本單元學業(yè)要求：“能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據(jù)具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據(jù)幾何問題和圖形的特點，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題；根據(jù)對幾何問題 (圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數(shù)方法得到結(jié)論；給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題.”可以發(fā)現(xiàn)，課程標準特別強調(diào)完整地理解坐標法，在用代數(shù)語言轉(zhuǎn)化幾何問題、用代數(shù)運算推導(dǎo)結(jié)論之前，一定要注意用幾何的眼光分析面臨的問題，要在直角坐標系中把握幾何問題和圖形特點的基礎(chǔ)上，再進入到形數(shù)轉(zhuǎn)化、代數(shù)運算.

2 “直線與圓的方程”的內(nèi)容與要求

2.1 直線與方程

(1)在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

(2)理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.

(3)能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

(4)根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式).

(5)能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.

(6)探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

2.2 圓與方程

(1)回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.

(2)能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

(3)能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.

2.3 對上述內(nèi)容與要求的認識

初中平面幾何中，通過直觀感知、操作確認的方式，學生了解了兩點確定一條直線，兩點之間線段最短，點到直線的距離的意義及其度量，過一點有且只有一條直線與這條直線垂直，過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行等基本事實；重點研究了相交線與平行線，知道了用兩條直線交成的角的關(guān)系可以刻畫相交線的性質(zhì)，掌握了平行線的判定定理和性質(zhì)定理等；知道了平行關(guān)系的可傳遞性.

平面幾何教學中的一個明顯感受是：很難給出直線的確切定義，因此關(guān)于直線及其相互關(guān)系的結(jié)論也都給人以“直觀描述”、“很難說清楚”的印象.

解析幾何中，借助平面直角坐標系，我們可以確切地給出確定直線位置的幾何要素，進而通過代數(shù)語言——二元一次方程，確切地表達直線這一幾何學的基本概念.在此基礎(chǔ)上，就可以通過方程判斷兩條直線的位置關(guān)系，通過解方程組得到兩條直線的交點，通過代數(shù)運算得到點到直線的距離公式等等.這樣得出的結(jié)論就達到了“入微”狀態(tài)，課程標準提出的內(nèi)容與要求就是按這個思想給出的.同樣地，對于直線與圓的位置關(guān)系，平面幾何中只是給出了定性刻畫，現(xiàn)在我們可以通過直線的方程、圓的方程、點到直線的距離、圓心距等對直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系作出精確定量的判斷.

課程標準要求在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.這里關(guān)鍵是要讓學生懂得如何利用直角坐標系刻畫直線的“方向”這個要素，這是與平面幾何有質(zhì)的不同的地方，也是學生不習慣的.傾斜角從幾何角度刻畫了直線的方向，斜率從代數(shù)角度刻畫了直線的方向.

2.4 “直線和圓的方程”的教學重點

直線與方程、圓與方程的教學，關(guān)鍵是要使學生形成對坐標法的基本認識，掌握用坐標法解決問題的步驟，形成對坐標法與綜合法的聯(lián)系與差異的深刻體驗.這就要注重引導(dǎo)學生經(jīng)歷用坐標法研究幾何圖形的完整過程：結(jié)合情境描述直線的幾何特征與問題，即兩點確定一條直線，或一個點和一個方向確定一條直線；在直角坐標系中用傾斜角(幾何)和斜率(代數(shù))刻畫直線的方向；建立直線的方程，用代數(shù)語言描述這些特征與問題；借助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路，利用直線方程、通過直觀想象和代數(shù)運算求解有關(guān)問題，例如：直線的位置關(guān)系、交點坐標、點到直線的距離、平行線間的距離等.圓的方程的教學重點與此類似.在此基礎(chǔ)上，利用方程討論直線與圓的位置關(guān)系.

3 “直線和圓的方程”的內(nèi)容理解與教學思考

3.1 如何利用平面直角坐標系認識確定直線位置的幾何要素

前已指出，平面直角坐標系是一個“參照系”，在平面直角坐標系中認識確定幾何圖形的要素，就是要利用好坐標系的基準作用，其中有兩個關(guān)鍵要素：位置、方向.

在給定的直角坐標系中，點P的位置與其坐標(x，y)一一對應(yīng)，兩個點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的位置差異用距離公式

來度量.那么直線的方向該如何刻畫呢？

我們還是回到最原始的地方.在平面直角坐標系中，坐標軸具有確定的方向，有基準作用.因為刻畫“方向差異”的幾何量是角度，選擇與人的直覺一致的水平線(橫軸)為基準，將x軸正向與直線向上的方向之間所成的角——傾斜角，作為刻畫直線方向的幾何量，其取值范圍是[0，π).這樣，平面直角坐標系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角，且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不相等.因此，以橫軸為基準，用傾斜角表示平面直角坐標系中一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向.如果再加上一個定點，那么就能唯一確定一條直線.所以，用“傾斜角”來刻畫直線的幾何特征是非常完美的，這也是解析幾何中為什么將“點斜式方程”作為直線方程的“基本式”的原因.

在平面直角坐標系中探索確定直線位置的幾何要素有濃厚的解析幾何味道，并且可以和不需要參照系的“兩點確定一條直線”的平面幾何方法進行對照，從而使學生領(lǐng)悟如何發(fā)揮坐標系的作用.所以，教學中要注重利用傾斜角概念的發(fā)生發(fā)展過程，引導(dǎo)學生體驗坐標法的內(nèi)涵.

3.2 如何引導(dǎo)學生研究斜率公式

傳統(tǒng)上，人們用“坡度”作為斜率的現(xiàn)實原型，這是合理的.但在傾斜角到斜率中間插入“坡度”，在數(shù)學內(nèi)容的連續(xù)性上稍有遜色.從數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程看，這里有兩個想法是比較自然的：

第一，根據(jù)解析幾何的“基本套路”，從幾何角度引入傾斜角概念后，接著的任務(wù)是“代數(shù)化”，斜率是傾斜角的代數(shù)化；

第二，平面幾何的“基本事實”是“兩點確定一條直線”，這里是“一個點和一個方向”確定一條直線，因此它們有內(nèi)在聯(lián)系，這個“內(nèi)在聯(lián)系”的表達就是斜率公式.研究同一個對象兩種表達之間的聯(lián)系是數(shù)學中的基本問題.

基于以上兩點，人教A版給出了一種新的處理方法([3]，p.52～54)：

首先，以“由兩點確定一條直線可知，直線l由點P1，P2唯一確定.所以，可以推斷，直線l的傾斜角一定與P1，P2兩點的坐標有內(nèi)在聯(lián)系”提出問題.這是在“有邏輯地思考”后合理地提出問題，教師要重視利用這個問題進行“如何發(fā)現(xiàn)和提出問題”的教學.

接著，安排“探究”欄目，引導(dǎo)學生利用向量展開有層次的探索：

探究在平面直角坐標系中，設(shè)直線l的傾斜角為α.

(3)一般地，如果直線l經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α與P1，P2的坐標有怎樣的關(guān)系？

三個問題循著由特殊到一般、由具體到抽象的路徑，其中第一個問題是基礎(chǔ).因為平移后直線的傾斜角不變，所以后面兩個問題都可以轉(zhuǎn)化為第一個問題，即轉(zhuǎn)化為通過原點的直線.運用向量方法，結(jié)合正切函數(shù)的定義，可以得出結(jié)論.

前兩個問題對學生沒有難度，但需要認識問題的立意，進行一般性思考，即通過直線上兩點的坐標定量刻畫這條直線的傾斜角，把直線的傾斜程度代數(shù)化，并且要從這兩個具體例子中得到啟發(fā)，想到對一般化的兩個點需要分4種情況進行討論.教科書沒有事先給出圖示，是為了給學生留出充分的自主探究空間.實際上，這就是數(shù)學學習的基本方法，即從具體事例中發(fā)現(xiàn)和抽象一般規(guī)律，再一般性地提出問題，得出普遍成立的結(jié)論.這個過程可以促進學生數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.

從而利用正切函數(shù)把傾斜角(幾何)對應(yīng)到R上的實數(shù)——斜率k(代數(shù))，實現(xiàn)了用代數(shù)方法表示方向這一幾何要素的目標.

教學中要提醒學生注意，斜率是把方向代數(shù)化的一個量，帶有符號.符號所表達的幾何要素是方向，所以幾何量帶上符號，就使幾何量的運算包含了“方向的運算”.

上述過程的邏輯性很強，在思維上是自然而然的，但對學生的能力要求比較高：

(1)以聯(lián)系的觀點發(fā)現(xiàn)和提出問題.確定一個數(shù)學對象的兩種方式一定有內(nèi)在聯(lián)系，并且可以互化.

(2)需要調(diào)動相關(guān)知識才能發(fā)現(xiàn)聯(lián)系.這里要調(diào)動向量、三角函數(shù)等相關(guān)知識，并且要有分類討論的意識.斜率與方向向量的坐標表示具有內(nèi)在一致性，這也是學生不容易想到的.

值得指出的是，直線的傾斜角和斜率是解析幾何的開端，其難點在于學生不熟悉“方向的代數(shù)化”中的數(shù)學方法，根子還在對直角坐標系、角以及向量的特征等最基本概念內(nèi)涵的理解.“方向的代數(shù)化”是理解解析幾何方法的重要契機.

下面簡單討論一下在直角坐標系中刻畫點與直線相對位置的方法.除與坐標軸平行的直線外，這種相對位置可以區(qū)分為點在直線的“左上方”、“左下方”、“右上方”、“右下方”等情況，這里的任務(wù)是要利用坐標軸的方向，把“上下左右”代數(shù)化.

以“點P0(x0,y0)在直線l：Ax+By+C=0的左上方”為例.不妨設(shè)AB≠0且A>0，如圖1所示，在直角坐標系中，上下左右是以坐標軸為參照系的，其中橫軸以左右論之，縱軸以上下論之.因此，“點P0在直線l的左上方”這一幾何關(guān)系，意味著過點P0作x軸的平行線得交點P1(x1，y1)，由“P0在P1的左方”得x0y2.所以

圖1

即

Ax0+By0+C<0.

同理，當P0(x0，y0)是直線Ax+By+C=0“右下方”的任意一點時，都有Ax0+By0+C>0.

綜上可得“同側(cè)同號”的結(jié)論.

可以發(fā)現(xiàn)，以往的教科書以及針對這一內(nèi)容的教研論文，都沒有以坐標軸的左右、上下為參照，將為什么過點P0作坐標軸的平行線的道理解釋清楚，而是以“Ax+By+C中有兩個參數(shù)x，y，先在直線Ax+By+C=0的一側(cè)取點P(x,y1)，固定y1，考察x變化時Ax+By1+C的取值符號變化情況，可以發(fā)現(xiàn)……”的方式得出結(jié)論.顯然，這個過程沒有體現(xiàn)好坐標法的真諦：利用平面直角坐標系，將幾何語言表達的點與直線的位置關(guān)系(方位)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言(不等式)表達的坐標之間的關(guān)系.

3.3 如何進行點斜式方程的教學

直線的點斜式方程是學生在解析幾何中遇到的第一個“圖形的方程”，它在直線的方程乃至整個解析幾何中都具有奠基作用.可以看到，直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程都有明確的幾何意義，都涉及確定直線位置的兩個基本要素：兩個點或一點和斜率.建立直線的方程時，直線的斜率處于核心地位，而其他形式的直線方程都可以看成是點斜式方程的變式.

同時，建立點斜式方程的過程也具有示范意義.從幾何角度看，在平面直角坐標系中，給定一點和一個方向(傾斜角)，就唯一確定了一條直線.轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，就是給定一點P0的坐標(x0，y0)和斜率k，就可以唯一確定一條直線l.

什么叫“唯一確定”？如何用代數(shù)方法表達“唯一確定”？

順便說明，在得出點斜式方程后，可以引導(dǎo)學生思考：如果給出的幾何條件具有特殊性，那么相應(yīng)的直線的方程也有特殊性，你認為哪些情況比較特殊？讓學生通過自主探究得出其他形式的直線方程.

3.4 直線的“直”與線性方程

直線是基本幾何圖形，其根本特征是“直”.如何刻畫直線的直？平面幾何教科書中為此做出過各種努力，例如：

點是沒有部分的，線只有長度沒有寬度，直線是它上面的點一樣的平放著的線(歐幾里得，《幾何原本》)；

置一線的一部分于他部分上，沒有一處不相重的，這叫做直線(《國定教科書初中幾何(一) 》，教育部編審委員會編，華中印書局，1941)；

一線，打著滾，但其中兩點不離原處，若此線在打滾中各新位置始終與原位置相合，則此線叫做直線(《中國初中教科書幾何學 上冊》，吳在淵編，中國科學圖書儀器公司，1947)；

線只有一個向度——長；點只有位置而無向度；直線是線上的任何一點都不變更其方向的線；直線由兩條或兩條以上之直線所構(gòu)成；曲線上之每一點均改變其方向(《新三S平面幾何學 》，Schultze-Sevenoak-Stone著，許彥生譯，開明書店，1948)；

僅有位置、長短而無寬狹、厚薄者為線.線上任意二點間之一部分，以任意之方法置于他部分上，能與他部分密密相合者，謂之直線(《高中幾何學》，陳建功 酈福綿編著，開明書店，1949).

人們發(fā)現(xiàn)，再怎么努力也無法和初中學生說清楚“直”的含義，于是就采用“混”的辦法，用“包圍著體的是面”、“面和面相交的地方形成線”、“線和線相交的地方是點”，而對什么時候線是“直”的，就描述為“一條拉得很緊的線，給我們以直線的形象.直線是向兩方無限延伸的.”(《幾何(第一冊)》，人民教育出版社中學數(shù)學室編，2001)

用純粹幾何的方法定義清楚點、直線、平面等幾何基本元素困難重重，但用數(shù)形結(jié)合的方法就可較好地解決這個問題.

顯然，上述關(guān)于直線特征的描述是憑借直覺經(jīng)驗的，特別是“從A(B)到B(A)的方向無限延伸”的含義不太符合數(shù)學定義的完備性、純粹性要求.在平面直角坐標系中，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k，則

這樣，“從A(B)到B(A)的方向無限延伸”可以表述為：對于延伸線上異于A，B的任意一點P(x，y)，都有

(*)

由此可見，用斜率表示方向，將直線上任意兩點所確定的方向相同或相反表示為斜率相等，這就是直線的“直”的代數(shù)表示.

把(*)式化為y-y1=k(x-x1)，這是二元一次方程，是最簡單基本的二元代數(shù)方程，它對應(yīng)于一條直線.這是把二元一次方程稱為“線性方程”的理由.

3.5 如何認識各種直線方程之間的關(guān)系

這里討論斜率存在且不為0的直線方程.直線的方程有不同的形式，一個自然的想法是這些不同形式的方程一定有內(nèi)在聯(lián)系，相互之間可以轉(zhuǎn)化.教科書一般都以點斜式方程為基礎(chǔ)，通過“點的特殊化”、“斜率的不同表達”而得出特定條件下直線方程的特定形式，這些形式的方程反映了直線的某種幾何特征.例如，斜截式y(tǒng)=kx+b中，“斜”指斜率k，“截”指y軸上的截距b，是點斜式方程中的“點”取直線與y軸交點(0，b)時的特例；兩點式是斜率由兩個定點坐標確定；截距式中的“截距”就是直線與兩坐標軸交點的橫、縱坐標，是兩點式的特例；等等.

雖然直線方程的各種形式都有自己的特殊意義，但教學的重點應(yīng)該放在點斜式上，而且在得到點斜式方程后，可以通過問題引導(dǎo)學生思考，在點斜式方程中，“點”可以有哪些特殊性？當斜率用不同條件給出時方程會有怎樣的不同形式？等等.另外，兩點式方程

具有對稱性，教學中應(yīng)讓學生體會表達形式的優(yōu)美和幾何意義的關(guān)聯(lián).如圖2所示，兩點式方程可以理解為“Rt△P1AP2相似于Rt△P1BP”的代數(shù)表達.

圖2

因為點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程都是在某種特定條件下的方程形式，如果不滿足這一特定條件，那么就不能用這種形式表示，而方程Ax+By+C=0(其中A，B不同時為0)不受什么條件限制，所以叫做“一般式方程”.

3.6 如何教點到直線的距離公式

首先，度量是幾何的本質(zhì)所在，而長度是度量的根本.“兩點之間線段最短”是歐氏幾何的本質(zhì)所在，把兩點所確定的線段長度定義為這兩點間的距離，再以此為基礎(chǔ)，利用空間元素的垂直關(guān)系，解決各種各樣的距離問題，這就是幾何中解決距離問題的基本思路.點到直線的距離公式是知識的一個交匯點，是一個內(nèi)涵豐富的內(nèi)容，這一點要讓學生體會到.

(1)從定義出發(fā)推導(dǎo)公式

為了充分發(fā)揮這一內(nèi)容的育人價值，引導(dǎo)學生領(lǐng)悟坐標法的真諦，使他們學會靈活運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，人教A版從點到直線距離的定義出發(fā)，基于定義所給定的幾何要素，利用垂線求交點，再用兩點間距離公式推導(dǎo)出點到直線的距離公式.這個方法本質(zhì)上就是一步步地把點到直線距離的幾何定義翻譯成代數(shù)表達，其特點是思路自然、方法“大眾化”，不涉及什么策略性知識，可以程序化，但解方程組的操作過程復(fù)雜，需要熟練的代數(shù)變換技能，其價值是：“常規(guī)思路”往往代表了“通性通法”，大巧若拙，其中蘊含的智力價值應(yīng)當引起重視.

(2)反思過程，改進方法

另外，方法的“繁”與“簡”可以相互轉(zhuǎn)化，“簡”是從“繁”中演化出來的.為此，人教A版設(shè)置了一個“思考”([3]，p.75)：

上述方法中，我們根據(jù)定義，將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離，思路自然但運算量較大.反思求解過程，你發(fā)現(xiàn)引起復(fù)雜運算的原因了嗎？由此能否給出簡化運算的方法？

接著做了如下引導(dǎo)：

能否直接求出(x-x0)2+(y-y0)2？

上述問題意在引導(dǎo)學生梳理和反思解題過程，找出引起復(fù)雜運算的原因，并進一步探尋簡化運算的方法.不難發(fā)現(xiàn)，推導(dǎo)過程中有許多“無用功”，原因是整個運算過程非常機械，沒有做到“瞻前顧后”.如果從整體上考慮 (x-x0)和(y-y0)，就可得到以下簡化的思路：

如圖3，設(shè)點P(x0，y0)，過點P作l的垂線，Q(x，y)是垂足，過點P，Q分別作y軸和x軸的平行線交于R，則|QR|=|x0-x|，|RP|=|y0-y|.將方程組

圖3

變形為

就能容易地求出x0-x，y0-y，進而得到點到直線的距離公式.

(3)數(shù)形結(jié)合，巧妙轉(zhuǎn)化

也可以從特殊到一般地推導(dǎo).顯然，最特殊的情形是直線與坐標軸平行.

圖4

對于一般情形，設(shè)l：Ax+By+C=0(AB≠0)，如何利用“特殊”情形？也就是如何將“一般”化歸為“特殊”？如圖5，過P0(x0，y0)作平行于x軸或y軸的直線，可以發(fā)現(xiàn)，通過作x軸的平行線交l于P1(x1，y1)而實現(xiàn)的轉(zhuǎn)化比較簡單：

設(shè)直線l的傾斜角為α，

則點P0到直線l的距離d=|P0P1|sinα,

又

所以

圖5

由上所述，數(shù)形結(jié)合地考慮，要實現(xiàn)“簡化”，主要是利用平行于坐標軸的線段長來表示點到直線的距離，通過特殊與一般之間的關(guān)聯(lián)實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，而在轉(zhuǎn)化過程中又要利用三角函數(shù)的有關(guān)知識，使距離的表示更加簡單.所以，教學中，教師應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合思想，在如何用相關(guān)元素表示距離上進行引導(dǎo)，并在調(diào)動三角函數(shù)的有關(guān)知識上加以點撥.

(4)借助向量，反映本質(zhì)

圖6

(5)廣泛聯(lián)系，探尋簡捷方法

一個好的問題是值得不斷挖掘的，在探尋各種解決方法的過程中總會有新的發(fā)現(xiàn)，同時也會促進不同知識之間的聯(lián)系，從而優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，促進思維品質(zhì)的發(fā)展，這是因為不同求解方法的實質(zhì)是知識的不同聯(lián)系方式，學生能想到新方法，就說明他對相關(guān)知識及其蘊含的數(shù)學思想方法具有較為深刻的理解.

以各種各樣的距離問題為核心，可以將函數(shù)、幾何與代數(shù)、極限與導(dǎo)數(shù)等各種相關(guān)概念(如均值不等式、二次函數(shù)的最值、直角三角形、向量投影、導(dǎo)數(shù)等)聯(lián)系起來，進而形成一個結(jié)構(gòu)化的知識體系，可以有效促進學生理解數(shù)學的整體性，所以教師要重視距離問題的教學，加強不同求解方法的引導(dǎo).人教A版在完整呈現(xiàn)利用定義將問題轉(zhuǎn)化為求兩點間距離、利用向量投影等推導(dǎo)點到直線的距離公式后，設(shè)置“思考”欄目，在對兩種方法進行比較的基礎(chǔ)上，要求學生探索其他推導(dǎo)方法.教學中，可以將這個內(nèi)容處理成一個小的“數(shù)學探究活動”.

3.7 圓的標準方程和一般方程

從(x-a)2+(y-b)2=r2，x2+y2+Dx+Ey+F=0可以看到，三個獨立條件唯一確定一個圓的方程，這與“三個不共線的點確定唯一一個圓”是一致的.

圓的方程的兩種形式各有特點.圓的標準方程直接體現(xiàn)了確定圓的兩個幾何要素，即圓心的位置和圓的半徑；圓的一般方程的代數(shù)特征很明顯，是Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0在B=0，A=C≠0時的特例.

顯然，刻畫“圓”這一特征要比刻畫“直”容易得多，因此求圓的方程也是比較容易的.另外，圓有許多漂亮的幾何性質(zhì)，在三角函數(shù)、復(fù)數(shù)和平面向量中，學生已經(jīng)有了一些在直角坐標系中討論圓的問題的經(jīng)驗，這些都為豐富圓的方程的學習內(nèi)容奠定了基礎(chǔ).實際上，人教A版在例題和習題中對此已經(jīng)給予了關(guān)注.更加豐富的內(nèi)容體現(xiàn)在直線、圓之間的位置關(guān)系上.

3.8 直線、圓的位置關(guān)系

理論上，聯(lián)立直線的方程和圓的方程，通過方程組的解即可判斷直線和圓之間的位置關(guān)系，也可以利用圓心到直線的距離判斷它們之間的位置關(guān)系.同樣的，我們也可以通過解兩個圓的方程的聯(lián)立方程組判斷圓與圓的某些位置關(guān)系，不過具體求解時還要根據(jù)問題的條件.在研究圓與圓的位置關(guān)系時，利用圓的幾何性質(zhì)的方法更加明顯，如圓心距、兩圓相交時兩圓圓心所在直線垂直平分兩圓的公共弦等等，利用這些性質(zhì)都可以達到簡化運算的目的.另外，相切這一特殊的位置關(guān)系有更大的研究價值，相切常常與優(yōu)化問題相連，很多優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為相切問題，如最短距離、最大角度等等.