從一道考題的多解看初中數(shù)學(xué)幾何解題能力的培養(yǎng)

摘 要：在各地歷年的中考數(shù)學(xué)試卷中，幾何題的份量都是很重的，大多數(shù)的壓軸題都是幾何題或與幾何相結(jié)合的綜合題.因此，加強(qiáng)學(xué)生幾何解題能力的培養(yǎng)，對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量、提升中考成績(jī)有著十分重要的意義.培養(yǎng)學(xué)生的幾何解題能力，要從提高對(duì)幾何基本圖形和基本結(jié)論熟悉程度、加深對(duì)定義、定理、公理、判定、性質(zhì)的理解、善于發(fā)現(xiàn)圖中的隱含圖形、掌握基本的幾何變換和數(shù)學(xué)基本方法以及幾何證明的常見分析方法等六個(gè)方面開始.

關(guān)鍵詞：中考試題;基本圖形;基本變換;基本方法

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2021）02-0021-05

收稿日期：2020-10-15

作者簡(jiǎn)介：黃江泉（1965.11-），男，廣西桂平人，大專，中學(xué)高級(jí)教師，特級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在2019年廣西貴港市中考的數(shù)學(xué)試題中，有下面這道題目：

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為α，當(dāng)90°<α<180°時(shí)，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點(diǎn)E.

（1）如圖1，當(dāng)∠CA′D=15°時(shí)，作∠A′EC的平分線EF交BC于點(diǎn)F.

①寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù);

②求證：EA′+EC=EF;

（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線A′D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，若AB=2，求線段PA+PF的最小值.（結(jié)果保留根號(hào)）

這題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大，方法靈活，有多種不同解法.

（1）②的思路一：在EF上截取EG=EC，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CE A′即可.

（1）②的思路二：過C作CG∥A′D交EF于G，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CE A′即可.

（1）②的思路三：延長(zhǎng)ED到G，使DG=DE，先證△CEG為等邊三角形，再證△CG A′≌△CE F即可.

（2）的思路一：連結(jié)A′F，由△CGF≌△CE A′可知CA′=CF，從而可證△A′CF為等邊三角形，進(jìn)而可證A′E同時(shí)平分∠FE B′和∠F A′ B′，從而△A′EF≌△A′E B′，于是得B′與F關(guān)于A′D對(duì)稱，只要求出A B′即可.

（2）的思路二：過A′作A′M⊥B′E，得△A′ME和△A′M B′分別為含有45度和30度角的特殊直角三角形，通過計(jì)算證明B′E=EF，進(jìn)而可得到B′與F關(guān)于A′D對(duì)稱，只要求出A B′即可.

（1）②的思路一、思路二用到了數(shù)學(xué)中最常用的截長(zhǎng)法，其中思路二用到了“角平分線+平行線”得到的隱含等腰三角形，（1）②的思路三用到了數(shù)學(xué)中最常用的補(bǔ)短法，（2）的思路一用到了角平分線、全等三角形等基本圖形（模型），（2）的思路二用到了特殊直角三角形的基本圖形（模型），并且所有的思路中都用到了角平分線、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形等基本圖形的判定和性質(zhì).通過對(duì)本題多種解法的分析不難發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)和提高初中生的幾何解題能力要從以下幾方面入手：

一、熟悉幾何基本圖形和基本結(jié)論是培養(yǎng)幾何解題能力的前提

幾何基本圖形和基本結(jié)論是幾何知識(shí)的重要組成部分，是所有幾何解題的前提，角平分線、中線、高、點(diǎn)到直線的距離、動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的最小值、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、垂徑定理、過圓外一點(diǎn)作圓的切線、全等三角形、相似三角形等基本圖形及其結(jié)論，既是考試考查的重點(diǎn)，也是所有解題的基本依據(jù)，我們要熟練掌握.如：

例1 （廣西貴港2016-12）如圖3，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，且∠ABC=60°，AB=2BC，連接OE.下列結(jié)論：①∠ACD=30°;②SABCD=AC·BC;③OE∶AC=3∶6;④S△OCF=2S△OEF成立的個(gè)數(shù)有（? ）.

A.1個(gè)? B.2個(gè)? C.3個(gè)? D.4個(gè)

例2 （廣西貴港2017-12）如圖4，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與B，C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點(diǎn)N，連接OM，ON，MN.下列五個(gè)結(jié)論：①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2，則S△OMN的最小值是1/2，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（? ）.

A.2? B.3? C.4? D.5

這些題目表面看起來很復(fù)雜，但實(shí)質(zhì)都是考查幾何基本圖形及其結(jié)論.例1考的是角平分線、平行四邊形、等邊三角形等圖形的性質(zhì)，例2考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì).只要掌握相似三角形和全等三角形的基本圖形，問題不難解決

二、理解定義、定理、公理、判定、性質(zhì)是培養(yǎng)幾何解題能力的基礎(chǔ)

理解定義、定理、公理、判定、性質(zhì)，就是不僅要熟記定義、定理、公理、判定、性質(zhì)的結(jié)論，還要熟記定義、定理、公理、判定、性質(zhì)的條件、適用范圍、注意事項(xiàng)等，它是幾何解題的基礎(chǔ).如：

例3 （廣西貴港2019-17）如圖5，在扇形OAB中，半徑OA與OB的夾角為120°，點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離為23，OAB恰好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面半徑為.

本題中，不少考生因沒有在意弧長(zhǎng)公式中圓心角的意義，結(jié)果將120度直接代入計(jì)算，答案當(dāng)然錯(cuò)了.

三、善于發(fā)現(xiàn)圖中的隱含圖形是培養(yǎng)幾何解題能力的關(guān)鍵? 隱含圖形是指等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形等特殊的圖形在整個(gè)圖形中表現(xiàn)出來的一部分，如“角平分線+平行線”隱含有等腰三角形，“中點(diǎn)+垂直”也隱含有等腰三角形，“角平分線+等腰”隱含有垂直平分，三角形含有30度和45度角則隱含可構(gòu)造特殊直角三角形等等.解題中如果我們能夠充分發(fā)現(xiàn)這些隱含圖形，會(huì)非常有利于問題的分析和解決.如：圖6例4 （廣西貴港2019-24）如圖6，在矩形ABCD中，以BC邊為直徑作半圓O，OE⊥OA交CD邊于點(diǎn)E，對(duì)角線AC與半圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連接AE.

（1）求證：AE是半圓O的切線;

（2）若PA=2，PC=4，求AE的長(zhǎng).

本題中，條件出現(xiàn)了“中點(diǎn)+垂直”，隱含有等腰三角形，因而可以通過“延長(zhǎng)AO、DC相交于M，或延長(zhǎng)EO、AB相交于N”這樣的輔助線，幫助解決問題.例5 （廣西貴港2017-26）已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABD沿BD所在直線折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處.

（1）如圖7，若點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接PC.

①寫出BP，BD的長(zhǎng);

②求證：四邊形BCPD是平行四邊形.

（2）如圖8，若BD=AD，過點(diǎn)P作PH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求PH的長(zhǎng).

本題（2）的關(guān)鍵是 “角平分型全等三角形隱含著BD是等腰三角形的高”，從而想到連結(jié)AP并延長(zhǎng)BD交AP于E，然后過P作PF⊥AC于F 即可構(gòu)造“雙垂直型相似”，利用相似列比例式即可把問題解決.

例6 （1）（廣西貴港2015-10）如圖9，已知P是⊙O外一點(diǎn)，Q是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，連接OP，OM.若⊙O的半徑為2，OP=4，則線段OM的最小值是（? ）.

A. 0 ?B. 1 ?C. 2? D. 3

（2）（廣西貴港2017-11）如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是BC的中點(diǎn)，P是A′B′的中點(diǎn)，連接PM.若BC=2，∠BAC=30°，則線段PM的最大值是（? ）.A.4? B.3? C.2? D.1

上述兩題均隱含有兩邊為定長(zhǎng)的三角形這樣的隱含圖形，因而問題實(shí)際上是“已知兩邊求第三邊的范圍”，這樣利用三角形的三邊關(guān)系即可解決.

例7 （廣西貴港2018-11）如圖11，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC邊的中點(diǎn)，P，M分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是（? ）.

A.6?? B.33

C.26D.4.5

本題中隱含兩個(gè)最常用模型（圖形）——將軍飲馬模型和點(diǎn)到直線模型，因此，作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，過F作FM⊥AB，則FM即為所求.

四、掌握基本的幾何變換是培養(yǎng)幾何解題能力的橋梁

幾何變換是平面幾何的重要內(nèi)容之一，是研究幾何關(guān)系的基本方法.平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱是初中幾何的基本變換，熟練掌握這些變換是培養(yǎng)和提高幾何解題能力的橋梁.

例8 （廣西貴港2018-26）如圖12，已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點(diǎn)P.

（1）當(dāng)P與O重合時(shí)（如圖13所示），設(shè)點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，連接BC.求證：四邊形OCBM是正方形;

（2）請(qǐng)利用如圖13所示的情形，

求證：ABPB=OMBM;

（3）若AO=26，且當(dāng)MO=2PO時(shí)，

請(qǐng)直接寫出AB和PB的長(zhǎng).

本題（2）的關(guān)鍵是進(jìn)行平移變換，過B作BC⊥AO于C，即得△ABC ∽△PBM，由對(duì)應(yīng)邊成比例即可;（3）的關(guān)鍵仍然是利用“雙垂直型相似”列比例式解決，只是要注意不同位置的存在，要分類討論.

例9 （廣西貴港2016-26）如圖14，在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)A作AH⊥EF，垂足為H.

（1）如圖15，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.

①求證：△AGE≌△AFE;

②若BE=2，DF=3，求AH的長(zhǎng).

（2）如圖16，連接BD交AE于點(diǎn)M，交AF于點(diǎn)N.請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM，MN，ND之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

本題（2）的關(guān)鍵是進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′，即可證明△ADM′≌△AMN，M′N=MN，M′D=BM，且△M′DN為直角三角形，故問題順利解決.

五、掌握數(shù)學(xué)基本方法是培養(yǎng)幾何解題能力的突破口

數(shù)學(xué)基本方法論是數(shù)學(xué)解題的突破口，幾何解題更是離不開數(shù)學(xué)基本方法.幾何變換法、面積法、割補(bǔ)法、截長(zhǎng)法、補(bǔ)短法等都是幾何解題中最常用的數(shù)學(xué)方法.如：

例10 （1）（廣西貴港2017-17）如圖17，在扇形OAB中，C是OA的中點(diǎn)，CD⊥OA，CD與AB交于點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作CE交OB于點(diǎn)E，若OA=4，∠AOB=120°，則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留π）

（2）（廣西貴港2018-17）如圖18，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，此時(shí)點(diǎn)A′恰好在CB的延長(zhǎng)線上，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）.

（3）（廣西貴港2016-11）如圖19，拋物線y=-

112x2+

23x+53與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)P是線段AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACP的面積取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（? ）.圖19

A.（4，3）? B.（5，3512）

C.（4，3512）D.（5，3）

這些與面積有關(guān)的問題，都要用到割補(bǔ)法等數(shù)學(xué)基本方法.其中（1）還要注意到圖中的隱含圖形——等邊△AOD，才能求出有關(guān)的圓心角;（2）要分割成兩個(gè)扇形和兩個(gè)三角形面積的和與差;（3）用到的是非常典型的平行軸分割的方法以及二次函數(shù)最大值的模型.

例11 （廣西貴港2019-12）如圖20，E是正方形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)H與B關(guān)于CE對(duì)稱，EH的延長(zhǎng)線與AD交于點(diǎn)F，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，作正方形DPMN，連接CP，記正方形ABCD，DPMN的面積分別為S1，S2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（? ）.

A.S1+S2=CP2

B.AF=2FD

C.CD=4PD

D.cos∠HCD=35

本例可用反證法的思想，答案A明顯正確，假設(shè)B正確，很容易推導(dǎo)出C也正確，即B與C同對(duì)同錯(cuò)，所以只能選D.

六、掌握幾何證明的常見分析方法是培養(yǎng)幾何解題能力的重點(diǎn)

幾何證明的常見分析方法很多，如綜合法、分析法、反證法、枚舉法（窮舉法）、完全歸納法、不完全歸納法……等等，但最常用的方法有綜合法、分析法和分析綜合法.熟練掌握這些常見的分析方法是我們探求解題途徑的重點(diǎn)和關(guān)鍵.

分析法是從求證的結(jié)論入手，以公理、定理為根據(jù)，尋求所必須的條件，再?gòu)乃钘l件出發(fā)，一步一步地尋求到所需的條件為已知條件時(shí)，命題即得證，這種方法也叫“執(zhí)果索因”法;而綜合法是從已知條件為出發(fā)點(diǎn)，以公理、定理為依據(jù)，一步步推導(dǎo)出欲證的結(jié)論，這種方法也叫“由因?qū)Ч狈?分析綜合法將分析法和綜合法結(jié)合起來，即先從結(jié)論入手看需要什么條件，再?gòu)囊阎霭l(fā)看可導(dǎo)出什么結(jié)論，如果這兩者正好一致，問題即可解決，這種方法也叫“兩頭湊”的方法，通常情況下我們都用這樣的分析方法.如前面例4的（1）：

從結(jié)論（求證）入手，要證AE是半圓O的切線，就要過O作OF⊥AE于F，證OF=OB，于是要證△AOF≌△AOB，這就要證∠BAO=∠OAF（E），進(jìn)而要證△ABO ∽△AOE或△ABO ∽△AFO.

再?gòu)囊阎霭l(fā)，由∠B、∠BCD、∠AOE均為直角可得△ABO ∽△OCE，由∠AOE為直角、OF⊥AE可得△AOF ∽△AEO，由△ABO ∽△OCE得ABOC=AOOE，由△AOF ∽△AEO得AOOE=AFOF，于是ABOB=AFOF，所以△ABO ∽△AFO，這樣所需要的條件與所得到的結(jié)論就一致了，問題也就可以解決了.

這個(gè)分析問題的方法就是分析綜合法.

在培養(yǎng)學(xué)生幾何解題能力的過程中，除了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何基本圖形和基本結(jié)論的熟悉程度，對(duì)幾何定義、定理、公理、判定、性質(zhì)的理解，引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)圖中的隱含圖形，掌握好數(shù)學(xué)基本方法和基本的幾何變換以及常見的分析方法外，還要學(xué)會(huì)對(duì)幾何結(jié)論進(jìn)行分類，掌握幾何難題突破的一般程序等.如對(duì)幾何結(jié)論，我們可以從線段平行、垂直、相等、不等以及角相等、不等等方面進(jìn)行分類;而對(duì)幾何難題的突破，可從完善圖形（重新畫圖）、標(biāo)識(shí)等量、發(fā)現(xiàn)隱含圖形、挖掘圖形關(guān)系（全等或相似）等方面入手.

下面通過一個(gè)具體例子來體會(huì)一下：

例12 （包頭2018-25）如圖21，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖21，連接BD，O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接OE.當(dāng)OE=DE時(shí)，求AE的長(zhǎng);

（2）如圖22，連接BE，EC，過點(diǎn)E作EF⊥EC交AB于點(diǎn)F，連接CF，與BE交于點(diǎn)G.當(dāng)BE平分∠ABC時(shí)，求BG的長(zhǎng);

（3）如圖23，連接EC，點(diǎn)H在CD上，將矩形ABCD沿直線EH折疊，折疊后點(diǎn)D落在EC上的點(diǎn)D'處，過點(diǎn)D′作D′N⊥AD于點(diǎn)N，與EH交于點(diǎn)M，且AE=1.

①求S△ED′MS△EMN的值;

②連接BE，△D′MH與△CBE是否相似？請(qǐng)說明理由.

本例中，（1）比較簡(jiǎn)單，（2）就有難度了，如何突破呢？先標(biāo)出等量：BE平分∠ABC則有∠ABE=∠CBE=45°，于是發(fā)現(xiàn)有隱含圖形——等腰直角△ABE，進(jìn)而可得△AEF≌△DCE，從而可求得BF=1，再注意到∠CBE=45°，過G作GK⊥BC于K，則GK=BK，由相似成比例則可解決.（3）則可從折疊出發(fā)，得出相等的量有：D′H =DH，E D′=ED，D′H⊥EC等，再?gòu)乃笕胧?，①相?dāng)于求D′MMN，而D′N∥CD，所以D′MMN=CHHD，所以，只要求出CH或HD即可.由已知可得DE= D′E=4，CD=3所以EC=5，D′C=1，設(shè)DH=x，則D′H=x，CH=3-x，由勾股定理即可求出x，問題即可解決. ②的突破則重在發(fā)現(xiàn)隱含圖形——等腰△D′MH和等腰△CBE（其中△D′MH為“角平分線+平行線”得出的等腰三角形，既是隱含圖形，也是典型的幾何模型），問題即可解決.

再看一例：

例13 （宜昌2018-23）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點(diǎn)，把ΔPBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F.

（1）如圖24①，若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：圖24

△AEB≌△DEC;

（2）如圖24②，①求證：BP=BF;

②當(dāng)AD=25，且AE

③當(dāng)BP=9時(shí)，求BE·EF的值.

問題（1）的思路比較具體、簡(jiǎn)單，是一對(duì)“一線三垂直型”全等;（2）中的①只要注意到翻折隱含著角平分線，由“角平分線+平行線”即可;（2）中的 ②相當(dāng)于要求PC，從何入手？只要注意到圖中含有“一線三垂直”型相似三角形，即可求得EC=20，BE=15，再注意到PG=BP=BF，用“平行”型相似（△CEF∽△CGP）即可求得BP，進(jìn)而求得PC;（2）中的③則要注意到PG與BF平行且相等，連結(jié)FG即可得BPGF為平行四邊形，故GF=BP且∠EFG=∠FBP，所以△GEF ∽△EAB，由相似成比例即可解決.

當(dāng)然，我們強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)方法和幾何變換的掌握，不是簡(jiǎn)單的把它們背下來就可以了，而是要在實(shí)際應(yīng)用中去理解、去體會(huì)，學(xué)會(huì)舉一反三、觸類旁通，才能不斷形成和提高解題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]張惠萍.初三學(xué)生解題能力突破策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2017（06）：30-32.

[責(zé)任編輯：李 璟]