強(qiáng)化問題邏輯 引領(lǐng)解題方向

摘 要：文章以四道例題為載體，以問題的邏輯為抓手，剖析解答中的關(guān)鍵過程，揭示出問題的本質(zhì)，理清學(xué)生思維的困惑.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}邏輯;充要條件;等價(jià)變形;理性思維

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）04-0056-03

解題過程就是實(shí)現(xiàn)從條件到結(jié)論的通達(dá).教學(xué)中發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生弄不清條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系，常常在解題過程中出現(xiàn)不等價(jià)變形而不自知等等.如何避免邏輯關(guān)系的顛倒，實(shí)現(xiàn)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化？學(xué)生們不僅要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、熟練的基本技能，必要的解題經(jīng)驗(yàn)，還要具備通過閱讀理解題意、結(jié)合問題制定解題方案、根據(jù)困難所在調(diào)整思維方式、反思比較中優(yōu)化方法的能力.下面給出四道例題并對(duì)其關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，以期能對(duì)大家有所幫助.

例1 四邊形邊框頂點(diǎn)分別為A、B、C、D，一螞蟻沿折線BCDA由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，螞蟻位置P與AB構(gòu)成△ABP的面積為S，老師在黑板上畫出S=fx的圖像如圖1所示，同學(xué)甲、乙、

丙、丁分別做出如下判斷：

甲：邊框ABCD是平行四邊形;

乙：邊框ABCD是等腰梯形;

丙：當(dāng)螞蟻到AD中點(diǎn)時(shí)，△ABP的面積是10;

丁：路程x∈10，14時(shí)，S=fx=56-4x.

試問哪些同學(xué)的判斷是正確的？

解 當(dāng)x∈5，9時(shí)，從圖1可知△ABP的面積不變，此時(shí)S△ABP=20，則四邊形ABCD中必有兩邊AB與CD平行，且

CD=4，BC=5，DA=5.

如圖2所示，若ABCD是平行四邊形，則S△ABP的最大值只能為10，達(dá)不到20.所以乙、丙、丁的回答是正確的.

點(diǎn)評(píng) 本題設(shè)問為“哪些同學(xué)的判斷是正確的”，即由條件可直接斷定結(jié)論.這時(shí)不宜將選項(xiàng)直接代入，符合條件就認(rèn)定其為正確選項(xiàng)，因?yàn)檫€有可能有其他情況.即要弄清楚結(jié)論的充要條件與充分條件的區(qū)別.本題容易判斷AB與CD平行及CD，BC，DA的長(zhǎng)度，在“一組對(duì)邊（AB與CD）平行的條件下”只需判斷另一組對(duì)邊是否平行即可斷定該四邊形的形狀（平行四邊形還是梯形）.該等腰梯形唯一嗎？還能怎么推導(dǎo)呢？設(shè)AB=a，螞蟻運(yùn)動(dòng)的路程為x（線段或折線AP的長(zhǎng)度），當(dāng)x∈0，5時(shí)，S=12axsin∠ABC=4x，得asin∠ABC=8①;當(dāng)x∈9，14時(shí)，S=56-4x.另一方面S=12a14-xsin∠DAB=7asin∠DAB-12axsin∠DAB，所以有asin∠DAB=8②.結(jié)合①②可知，sin∠ABC=

sin∠DAB，而∠ABC，∠DAB∈0，π.當(dāng)∠ABC+∠DAB=π時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，此時(shí)a=4，這與asin∠ABC=8矛盾（或直接由a8得到ABCD不是平行四邊形）.若∠ABC=∠DAB，此時(shí)四邊形ABCD是等腰梯形，且該梯形不唯一.例2 已知函數(shù)fx=bx+cax2+1（a，c∈R，a>0，b是自然數(shù)）是奇函數(shù)，fx有最大值12，且f1>25.

（1）試求函數(shù)fx的解析式;

（2）是否存在直線L與y=fx的圖像只交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，并且使得P，Q的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）？若存在，求出直線L的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由.

解 （1）由fx是奇函數(shù)，易知c=0;

又a>0，b是自然數(shù)，可知當(dāng)x<0時(shí)，fx<0;當(dāng)x>0時(shí)，fx>0.因此fx的最大值12必在x>0時(shí)取得.當(dāng)x>0時(shí)，fx=bxax2+1=bax+1x≤b2a，當(dāng)且僅當(dāng)x=aa時(shí)等號(hào)成立.故b2a=12，又f1>25，即ba+1>25，又a>0，b是自然數(shù)，所以a=b=1.所以函數(shù)fx的解析式為fx=xx2+1.

（2）假設(shè)存在滿足條件的直線L，則P，Q的坐標(biāo)可設(shè)為x0，y0，Q（2-x0，-y0），且這兩點(diǎn)都在函數(shù)fx=xx2+1的圖像上，則x0x20+1=y0，2-x02-x02+1=-y0.消去y0，得x20-2x0-1=0，x0=1±2.

所以P1+2，24，Q1-2，-24或P1-2，-24，Q1+2，24.所以直線L的方程為x-4y-1=0.

把直線L的方程與函數(shù)fx=xx2+1聯(lián)立，不難求得共有三組解：x=1+2y=24或x=1-2y=-24或x=-1y=-12.

因此，直線L與函數(shù)fx的圖像共有三個(gè)交點(diǎn)，與“只交于兩點(diǎn)”矛盾.所以滿足條件的直線不存在.

點(diǎn)評(píng) 很多學(xué)生求出直線L的方程為x-4y-1=0便以為萬事大吉.事實(shí)上，這只是“直線L與y=fx的圖像上存在兩個(gè)公共點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，并且使得P，Q的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）”的必要條件，因?yàn)橄チ藋0（y0∈-12，12）而對(duì)y0“舍而不求”，至于直線L與函數(shù)fx的圖像是否相交、具體幾個(gè)交點(diǎn)均需驗(yàn)證.即直線L的存在性還需要通過充分性的檢驗(yàn).

例3 對(duì)于函數(shù)fx（x∈D），若同時(shí)滿足以下條件：①fx在D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間a，bD，使fx在a，b上的值域是a，b.那么，我們把函數(shù)fx（x∈D）叫做閉函數(shù).

（1）求閉函數(shù)y=-x3符合條件的區(qū)間a，b;

（2）判斷函數(shù)y=2x-lgx是不是閉函數(shù)？若是，說明理由，并找出區(qū)間a，b;若不是，說明理由;

（3）若y=k+x+2是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解 （1）函數(shù)y=-x3是單調(diào)遞減函數(shù)，則有-a3=b-b3=aa<b，得a=-1b=1，即a，b=-1，1.

（2）記fx=2x-lgx，f1100=2.02，f1=2，f10=19，故函數(shù)fx=2x-lgx不是單調(diào)函數(shù)，故它不是閉函數(shù).

（3）解法1 由題意，x=k+x+2有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，則x-k=x+2，故x-k2=x+2，所以x2-2k+1x+k2-2=0.記gx=x2-2k+1x+k2-2，則gx=0的兩個(gè)不同的根均大于等于k，故△>02k+12>kg（k）0，得k∈-94，-2.

解法2 在同一平面直角坐標(biāo)系下，作出函數(shù)y1=x-k，y2=x+2的圖像，如圖3所示，當(dāng)直線y=x-k與y=x+2的圖像相切時(shí)，可得k=-94，結(jié)合圖像可得k∈-94，-2.

解法3 x=k+x+2有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，則有k=x-x+2=x+2-x+2-2=x+2-122-94，令t=x+20，則k=t-122-94，t∈0，+SymboleB@，若直線y=k和y=t-122-94，t∈0，+SymboleB@的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則k∈-94，-2.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于第（3）小題，解法1中x-k=x+2有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，其中xk且x-2，當(dāng)兩邊平方后，只需xk即可.但x-2不能保證xk，有可能會(huì)出現(xiàn)x-k與x+2互為相反數(shù)的情況;解法2中轉(zhuǎn)化為傾斜直線y=x-k與y=x+2圖像有公共點(diǎn)問題，難點(diǎn)是畫出函數(shù)y=x+2的圖像;解法3分離參數(shù)，轉(zhuǎn)換為水平直線y=k和y=x-x+2的圖像交點(diǎn)問題，根據(jù)t與x的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系巧妙換元，從而使解答變得直觀與簡(jiǎn)捷.

變式 若方程lg2-x2lgx-a=2有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 原方程等價(jià)于lg2-x2=2lgx-a且x-a≠1，即2-x2=x-a>0①，且x-a≠1.記fx=2-x2，gx=x-a，且fx>0，gx>0.

由圖4可得①的條件是-2≤a<2.

由于x≠a+1，若x=a+1，代入2-x2=x-a，得a=0或a=-2.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-2，0∪0，2.

點(diǎn)評(píng) 原方程的等價(jià)條件為2-x2=x-a>0，且x-a≠1.

以上解答先利用2-x2=x-a>0確定結(jié)論的必要條件，再利用x-a≠1確定結(jié)論的充要條件.也可將所有條件集中在同一個(gè)圖中，如圖5所示.本題也可用分離參數(shù)法，只是函數(shù)y=x-2-x2的圖像與性質(zhì)相對(duì)繁雜.

例4 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線L∶x=-1相切，點(diǎn)C在L上.

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程;

（2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為-3的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn).

（ⅰ）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不能，說明理由;

（ⅱ）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

解 （1）由題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線L為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.

（2）直線AB的方程為y=-3x-1，聯(lián)立y=-3x-1，y2=4x，得3x2-10x+3=0， 解得x1=13或x2=3.不妨設(shè)A13，233，B3，-23，AB=x1+x2+2=163.

（ⅰ）假設(shè)存在點(diǎn)C-1，y，使△ABC為正三角形，則BC=AB且AC=AB，所以3+12+（y+23）2=1632①13+12+（y-23）2=1632②

由①-②得42+（y+23）2=（43）2+（y-23）2③

得y=-1439.

經(jīng)檢驗(yàn)，y=-1439不符合①.

由①②組成的方程組無解，即直線L上不存在點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形.

（ⅱ）設(shè)C-1，y使△ABC為鈍角三角形.由y=-3x-1，x=-1，得y=23.即當(dāng)點(diǎn)C-1，23時(shí)，三點(diǎn)A，B，C共線，故y≠23.

AC2=-1-132+y-2332=289-433y+y2，BC2=3+12+y+232=28+43y+y2，AB2=1632=2569.

①當(dāng)∠CAB為鈍角時(shí)，BC2>AC2+AB2，即28+43y+y2>289-433y+y2+2569，得y>239.

②當(dāng)∠CBA為鈍角時(shí)，AC2>BC2+AB2，即289-433y+y2>28+43y+y2+2569，得y<-1033.

③當(dāng)∠ACB為鈍角時(shí)，AB2>AC2+BC2，即2569>289-433y+y2+28+43y+y2，該不等式無解.

綜上所述，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍為-SymboleB@，-1033∪239，23∪23，+SymboleB@.

點(diǎn)評(píng) 在第（2）（?。┬☆}中，“BC=AB且AC=AB”是“△ABC為正三角形”的充要條件，但①-②得到（BC=AC所滿足）的方程③只是結(jié)論的必要條件，由等價(jià)變形可知①③或②③構(gòu)成的方程組為結(jié)論的充要條件.本題也可根據(jù)“△ABC為正三角形”由A，B求出點(diǎn)C的坐標(biāo)再驗(yàn)證點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是否為-1.在第（2）（ⅱ）小題中，首先要確?！鰽BC的存在性，由于以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切，故∠ACB不可能為鈍角，解答中用余弦定理求解，需要解關(guān)于y的一元二次不等式.結(jié)合本題中點(diǎn)A，B是固定的，故可先根據(jù)CA⊥AB或CB⊥AB利用斜率關(guān)系找出臨界值，再結(jié)合圖形求解.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭良.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的立體幾何教學(xué)思考——對(duì)2018年高考數(shù)學(xué)立體幾何試題評(píng)析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（34）：46-51.

[責(zé)任編輯：李 璟]