Matlab在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)最值教學(xué)的應(yīng)用

摘要：針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)函數(shù)最值問(wèn)題，文中探討了應(yīng)用Matlab工具求解函數(shù)的最值的教學(xué)方法。文中的研究?jī)?nèi)容在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段上都有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：函數(shù)最值;一次函數(shù);二次函數(shù);三角函數(shù);Matlab

1 引言

最值問(wèn)題是在生產(chǎn)、科學(xué)研究和日常生活中常會(huì)遇到的一類特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，函數(shù)的最值在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)重要的地位。求解中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)最值問(wèn)題的一般方法有：觀察法、二次函數(shù)法、判別式法、平均不等式法、非負(fù)數(shù)概念法、反函數(shù)法、三角法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法。本文將Matlab工具（也可以使用開源的Python軟件）引入到中學(xué)數(shù)學(xué)最值問(wèn)題求解的教學(xué)與實(shí)驗(yàn)中，對(duì)教師和學(xué)生的教學(xué)和學(xué)習(xí)都有很大幫助。

2 Matlab在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)最值中的應(yīng)用

應(yīng)用Matlab能夠繪制函數(shù)的圖象，從圖象中能夠很直觀地看到函數(shù)的走勢(shì)，能夠讓學(xué)生感性地認(rèn)識(shí)函數(shù)的最值點(diǎn)、單調(diào)性、凹凸性等函數(shù)性質(zhì)。

2.1 一次函數(shù)的最值求解

求解一次函數(shù)的最值問(wèn)題，需要根據(jù)一次函數(shù)所給出的的解析式，得出相對(duì)應(yīng)一次函數(shù)圖像的基本性質(zhì)（研究四種性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性），并根據(jù)參數(shù)k，b對(duì)一次函數(shù)圖象的影響，可以得到一次函數(shù)在區(qū)間上的最值點(diǎn)。

一次函數(shù)y=kx+b的最值在區(qū)間[m， n]的兩端點(diǎn)處取得，編寫一次函數(shù)圖象求解最值m文件為：

function [fmax， fmin， xmax， xmin]=flinear（k， b， m ，n， t）

x=m：t：n;

y=k.*x+b;

fmax=max（y）;

fmin=min（y）;

xmax=x（find（y==fmax））;

xmin=x（find（y==fmin））;

figure;

hold on;

plot（x，y）;

plot（xmax，fmax，’ro’）;

plot（xmin，fmin，’ro’）;

text（xmax-20*t，fmax-20*t，[‘最大值’，num2str（fmax），’（‘，num2str（xmax），’，’，num2str（fmax），’）’]）;

text（xmin+20*t，fmin+20*t，[‘最小值’，num2str（fmin），’（‘，num2str（xmin），’，’，num2str（fmin），’）’]）;

hold off

求函數(shù)y=2x-5在區(qū)間[-4，10]的最值，則在命令窗口口輸入：

>> [fmax， fmin， xmax， xmin]=flinear（2，-5，-4，10，0.1）

得到函數(shù)最值為fmax =15，fmin =-13，xmax =10，xmin =-4。

2.2 二次函數(shù)的最值求解

對(duì)于二次函數(shù)的最值問(wèn)題，其定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖像的對(duì)稱性、圖像與軸的交點(diǎn)情況等是需要考慮。求解二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a≠0）在區(qū)間[m， n]的最值，可以編寫二次函數(shù)求解最值m文件為：

function [fmax， fmin， xmax， xmin]=fquadratic（a， b， c， m ，n， t）

x=m：t：n;

y=a*x.*x+b.*x+c;

fmax=max（y）;

fmin=min（y）;

xmax=x（find（y==fmax））;

xmin=x（find（y==fmin））;

figure;

hold on;

plot（x，y）;

plot（xmax，fmax，’ro’）;

plot（xmin，fmin，’ro’）;

text（xmax-20*t，fmax-20*t，[‘最大值’，num2str（fmax），’（‘，num2str（xmax），’，’，num2str（fmax），’）’]）;

text（xmin+20*t，fmin+20*t，[‘最小值’，num2str（fmin），’（‘，num2str（xmin），’，’，num2str（fmin），’）’]）;

hold off

求解函數(shù)y=-2x2+5x+6在區(qū)間[-10， 10]的最值，則在命令窗口輸入：

>>[fmax， fmin， xmax， xmin]=fquadratic（-2， 5 ， 6， -10， 10， 0.1）

得到求解結(jié)果為fmax =9.1200，fmin =-244，xmax =1.3000，xmin =-10。

2.3 三角函數(shù)的最值求解

利用Matlab繪制三角函數(shù)的圖象，有助于學(xué)生直觀地理解三角函數(shù)值的變化規(guī)律，便于根據(jù)規(guī)律找出三角函數(shù)的最值。如：應(yīng)用Matlab求函數(shù)的最大值和最小值。

三角函數(shù)的定義域R，由于三角函數(shù)為周期函數(shù)，那么只要在一定合適的區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的最值，該值就對(duì)應(yīng)為整個(gè)定義域的最值。設(shè)區(qū)間x=[-2π， 2π]，其中pi為圓周率π，步長(zhǎng)為0.1π。在Matlab的命令窗口輸入：

>>x=-2*pi：0.1：2*pi

>>y=（sin（x）-2）.*（cos（x）-2）

>>fmax= max（y）

>> fmin=min（y）

得到求解結(jié)果為最大值fmax = 7.3282，最小值fmin =1.6717。

2.4 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解

用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)的最值時(shí)需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，有些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜，如果需要快速地檢驗(yàn)求導(dǎo)結(jié)果是否正確，可以應(yīng)用Matlab符號(hào)函數(shù)微分運(yùn)算進(jìn)行求導(dǎo)。

Matlab的函數(shù)diff（） 能夠求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它的調(diào)用格式為：

difvn=diff（f，‘v’， n）。其中，f為函數(shù)，v為自變量，n為導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。

如：求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

在Matlab的命令窗口輸入：

>>sym x;

>> y=x*exp（x^2）;

>> dif1=diff（y，1）;

>> dif2=diff（y，2）;

得到dif1=exp（x^2）+2*x^2*exp（x^2），dif2 =6*x*exp（x^2）+4*x^3*exp（x^2），那么函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為，二階導(dǎo)數(shù)為。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳守江. 最值問(wèn)題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考. 2019（1-2）：138-141.

作者簡(jiǎn)介：潘晶晶，女，理學(xué)學(xué)士，中小學(xué)二級(jí)教師，主要研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)方法