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    銳角三角函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合

    2021-09-10 07:22:44李霞高曉晴
    關(guān)鍵詞:銳角三角函數(shù)專(zhuān)題復(fù)習(xí)

    李霞 高曉晴

    摘? 要:以“銳角三角函數(shù)”專(zhuān)題復(fù)習(xí)為例,在系統(tǒng)觀(guān)和數(shù)形結(jié)合思想引領(lǐng)下設(shè)計(jì)合理、有效的復(fù)習(xí)教學(xué)活動(dòng),發(fā)展學(xué)生的直觀(guān)想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

    關(guān)鍵詞:系統(tǒng)觀(guān);專(zhuān)題復(fù)習(xí);銳角三角函數(shù)

    章建躍博士認(rèn)為,復(fù)習(xí)課應(yīng)該以教學(xué)內(nèi)容的整體性認(rèn)識(shí)為載體、以系統(tǒng)思維為目標(biāo),通過(guò)專(zhuān)題復(fù)習(xí)的路徑形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

    系統(tǒng)觀(guān)是對(duì)于研究對(duì)象的整體性把握. 若把“銳角三角函數(shù)”放在“圖形與幾何”的領(lǐng)域,它是初中研究三角形部分的最后階段;若從“數(shù)與代數(shù)”的角度看,它又是初中最后學(xué)習(xí)的一個(gè)初等函數(shù):以銳角為自變量,比值為因變量的函數(shù). 因此,在教學(xué)中,我們可以把角作為研究對(duì)象,用比值來(lái)刻畫(huà)它的大小. 雖然銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān),與其所在的三角形無(wú)關(guān),但在初中階段我們需要一個(gè)載體來(lái)研究它,那就是直角三角形. 若已知角所在的三角形為直角三角形,根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到邊角之間的關(guān)系;若已知角不在直角三角形中,則可以通過(guò)作輔助線(xiàn),構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題. 因此,初中階段解決銳角三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題,都是在直角三角形中進(jìn)行的,而直角三角形中的勾股定理是定量解決問(wèn)題的重要工具,其中滲透的數(shù)形結(jié)合思想是本單元教學(xué)的重要思想方法.

    本文以“銳角三角函數(shù)”專(zhuān)題復(fù)習(xí)為例,通過(guò)章節(jié)的功能性認(rèn)識(shí)、目標(biāo)設(shè)置及復(fù)習(xí)實(shí)施路徑,探索在系統(tǒng)觀(guān)和數(shù)形結(jié)合思想引領(lǐng)下的中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì).

    一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

    1. 內(nèi)容

    銳角三角函數(shù).

    2. 內(nèi)容解析

    人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》中“銳角三角函數(shù)”一章有兩個(gè)小節(jié):銳角三角函數(shù);解直角三角形及其應(yīng)用.

    從知識(shí)的結(jié)構(gòu)來(lái)看:它是從直角三角形中的邊角關(guān)系引出銳角三角函數(shù)的定義,要讓學(xué)生明白初中的銳角三角函數(shù)反映的是直角三角形邊、角之間確定的數(shù)量關(guān)系,雖然是在直角三角形中定義,但與所在的直角三角形大小無(wú)關(guān),因此可以通過(guò)等角實(shí)現(xiàn)邊的比值的轉(zhuǎn)化. 對(duì)于解直角三角形及其應(yīng)用,要關(guān)注確定性思維,只要一個(gè)銳角確定,這個(gè)直角三角形的形狀就是確定的,邊的比值是確定的,只要給出邊的條件,則該三角形可解.

    從解決問(wèn)題的角度來(lái)看:它是幾何圖形定量研究的工具,可以實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段和角度關(guān)系的數(shù)量化. 利用圖形或坐標(biāo),將解直角三角形中幾何的定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的定量結(jié)果,為繼續(xù)研究三角形提供代數(shù)方法.

    從函數(shù)定義的內(nèi)涵來(lái)看:與前面學(xué)習(xí)的三個(gè)初等函數(shù)相比,銳角三角函數(shù)的函數(shù)屬性弱化、具有非典型性,邊角關(guān)系的表達(dá)更加符號(hào)化.

    從知識(shí)的聯(lián)系來(lái)看:相似是銳角三角函數(shù)概念的生長(zhǎng)點(diǎn),全等三角形是銳角三角函數(shù)問(wèn)題的生成點(diǎn),而銳角三角形函數(shù)和勾股定理又是解直角三角形的運(yùn)算工具.

    作為專(zhuān)題復(fù)習(xí)課,本專(zhuān)題聚焦在銳角三角函數(shù)內(nèi)容中的核心思想——數(shù)形結(jié)合思想展開(kāi)復(fù)習(xí)教學(xué). 本節(jié)課以“銳角三角函數(shù)概念”的主線(xiàn)展開(kāi),先在網(wǎng)格中讓學(xué)生經(jīng)歷求解一個(gè)確定的角的三角函數(shù)值,接著給出一個(gè)三角形中兩個(gè)角的三角函數(shù)值求第三個(gè)角的大小,再到一個(gè)確定三角形的三角函數(shù)求解,讓學(xué)生經(jīng)歷由形(角)到數(shù)(比值),再由數(shù)到形的探究過(guò)程. 例如,在探究角的三角函數(shù)值時(shí),結(jié)合直角三角形,利用邊角之間的關(guān)系,計(jì)算得出比值,體會(huì)由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化;反過(guò)來(lái),探究角的大小時(shí),可以從角的三角函數(shù)值得到的比值入手,構(gòu)造直角三角形,得到邊角之間的關(guān)聯(lián),體會(huì)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化.

    二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

    1. 目標(biāo)

    系統(tǒng)觀(guān)下中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)的目標(biāo)和定位在于概括知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法及關(guān)鍵能力.

    本專(zhuān)題的復(fù)習(xí)設(shè)想從基于數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)活動(dòng),構(gòu)建銳角三角形函數(shù)及解直角三角形相關(guān)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),深化學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解,發(fā)展學(xué)生用直角三角形中的邊角關(guān)系解決問(wèn)題的能力. 基于此,確定教學(xué)目標(biāo)如下.

    (1)進(jìn)一步理解銳角三角函數(shù)的定義.

    (2)能用銳角三角函數(shù)的定義建立直角三角形中邊角之間的關(guān)系.

    (3)基于數(shù)形結(jié)合,依據(jù)直角三角形中元素之間的關(guān)系解直角三角形,并解決實(shí)際問(wèn)題.

    2. 目標(biāo)解析

    達(dá)成目標(biāo)(1)的標(biāo)志:要求學(xué)生能建立直角三角形中角與邊的比值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,理解銳角三角函數(shù)是用對(duì)應(yīng)的觀(guān)點(diǎn)建立直角三角形中角與邊的比值之間的數(shù)量關(guān)系,知道這是從三角形的“全等”“確定條件”的定性研究到三角形元素關(guān)系定量研究的核心工具之一.

    達(dá)成目標(biāo)(2)的標(biāo)志:能用銳角三角函數(shù)建立同一個(gè)直角三角形或不同直角三角形之間邊的比值的數(shù)量關(guān)系,對(duì)線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究.

    達(dá)成目標(biāo)(3)的標(biāo)志:能綜合應(yīng)用勾股定理、直角三角形中的兩銳角互余、銳角三角函數(shù)解直角三角形,解決實(shí)際問(wèn)題.

    三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

    “銳角三角函數(shù)”的專(zhuān)題內(nèi)容一般是中考復(fù)習(xí)的最后一個(gè)專(zhuān)題. 之前學(xué)生對(duì)直線(xiàn)型的內(nèi)容有了較深的認(rèn)識(shí),理解了三角形基本元素的屬性與關(guān)系,但還無(wú)法系統(tǒng)性地認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系,把角用等角轉(zhuǎn)化后置于直角三角形中求解的能力較弱. 教師需要給學(xué)生鋪設(shè)一條低起點(diǎn)、高落點(diǎn)的提升路徑,在問(wèn)題設(shè)置上,圍繞銳角三角函數(shù)概念這一主線(xiàn)展開(kāi),從網(wǎng)格圖形出發(fā),給出已知角,通過(guò)等角轉(zhuǎn)化構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解,最后在圓中實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)化. 網(wǎng)格的優(yōu)點(diǎn)在于它能刻畫(huà)位置,實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合. 特別是改變角的位置及背景,實(shí)現(xiàn)圖形的變換,開(kāi)放性解決問(wèn)題.

    四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

    1. 再現(xiàn)概念

    問(wèn)題1:圖1為若干個(gè)小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格,你能計(jì)算出∠O的三角函數(shù)值嗎?

    追問(wèn)1:你的解題依據(jù)是什么?

    追問(wèn)2:如果找不到直角三角形,你會(huì)怎么辦?

    師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)初中的銳角三角函數(shù)的本質(zhì):反映了“形狀確定”的直角三角形邊角之間的數(shù)量關(guān)系雖然是在直角三角形中定義,但與所在的直角三角形大小無(wú)關(guān).

    【設(shè)計(jì)意圖】借助數(shù)形結(jié)合,深化學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的本質(zhì)理解.

    2. 圖語(yǔ)數(shù)說(shuō)

    問(wèn)題2:如圖2,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,求tan ∠ACB的值.

    師生活動(dòng):學(xué)生先獨(dú)立完成解答,教師收集不同解答和學(xué)生的困難點(diǎn),并投屏呈現(xiàn). 師生共同研究解答過(guò)程,用問(wèn)答的方式進(jìn)行思路的整理.

    追問(wèn)1:這是一個(gè)什么問(wèn)題?已知了什么?要求什么?

    追問(wèn)2:已知條件實(shí)際上是什么?設(shè)問(wèn)實(shí)際上是要求什么?

    【設(shè)計(jì)意圖】師生通過(guò)問(wèn)題2的實(shí)踐,在交流與共同解答中,感悟網(wǎng)格在解決與三角形有關(guān)的角和線(xiàn)段度量問(wèn)題中的計(jì)算功能.

    追問(wèn)3:如何構(gòu)造直角三角形,能更快求得tan ∠ACB的值,定量研究∠ACB的大???

    師生活動(dòng):教師總結(jié)把∠ACB置于圖3 ~ 圖5位置的直角三角形中,可以直觀(guān)求得其三角函數(shù)值. 這一過(guò)程是在借助正切對(duì)角的大小進(jìn)行定量研究的目標(biāo)引導(dǎo)下,基于幾何直觀(guān),構(gòu)建直角三角形,并進(jìn)行邊角之間關(guān)系的定量計(jì)算. 構(gòu)造直角三角形的不同方法,體現(xiàn)了對(duì)問(wèn)題條件、結(jié)論的不同側(cè)面的理解,但無(wú)論哪種方法,都是通過(guò)等角轉(zhuǎn)化后將其置于直角三角形中進(jìn)行求解.

    【設(shè)計(jì)意圖】研究三角形確定的條件轉(zhuǎn)化,尋找含待求角的可解三角形,體會(huì)由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化.

    3. 數(shù)語(yǔ)圖說(shuō)

    問(wèn)題3:任意畫(huà)一個(gè)△ABC,使tan A =[12,] tan B =[13](其中∠A,∠B為銳角),求∠C的度數(shù).

    師生活動(dòng):學(xué)生先獨(dú)立完成,教師收集不同解答和學(xué)生的困難點(diǎn),并投屏呈現(xiàn). 然后師生共同研究解答過(guò)程,用問(wèn)答的方式進(jìn)行思路的整理. 通過(guò)展示交流和教師引導(dǎo)(追問(wèn)1 ~ 追問(wèn)5),最后得到如圖6的“以形助數(shù)”的解題思路總結(jié).

    追問(wèn)1:由條件tan A =[12]出發(fā),如何畫(huà)出∠A?由條件tan B =[13]出發(fā),如何畫(huà)出∠B?

    追問(wèn)2:如何讓∠A,∠B變成同一三角形中的兩個(gè)內(nèi)角?

    追問(wèn)3:只能確定△ABC的形狀嗎?大小可以確定嗎?

    追問(wèn)4:要添加什么條件才可以確定△ABC的大???

    追問(wèn)5:在沒(méi)有網(wǎng)格,也沒(méi)有坐標(biāo)系(即沒(méi)有提供具體數(shù)值)的情況下,你還會(huì)求∠C的度數(shù)嗎?

    【設(shè)計(jì)意圖】先讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、測(cè)量、驗(yàn)證過(guò)程,發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角有共邊時(shí),可組成同一個(gè)三角形. 對(duì)于三角函數(shù)的問(wèn)題而言,“比”是對(duì)形狀的一種刻畫(huà),兩個(gè)正切值之間要關(guān)聯(lián)起來(lái),就需要靈活運(yùn)用“比”中的“三角形大小可變”的關(guān)系,體會(huì)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化.

    4. 學(xué)以致用

    問(wèn)題4:如圖7,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB = AC,BD⊥AC,垂足為點(diǎn)E,點(diǎn)F在線(xiàn)段BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且DF = DC,連接AF,CF.

    (1)略;

    (2)若AF = 10,BC = 4[5],求tan∠BAD的值.

    【設(shè)計(jì)意圖】此題是2019年中考福建卷第24題,解題的基本工具之一是銳角三角函數(shù)定義的應(yīng)用,研究的路徑是讓學(xué)生通過(guò)圖形構(gòu)圖的邏輯順序,形成確定圖形的意識(shí). 如圖8,發(fā)現(xiàn)△ADB是確定的三角形后,與它相關(guān)的基本元素都可求得,讓學(xué)生明白銳角三角函數(shù)與圓結(jié)合時(shí),能夠?qū)崿F(xiàn)等角轉(zhuǎn)化. 進(jìn)一步說(shuō)明任意角的三角函數(shù)與解三角形沒(méi)有關(guān)系,而圓的旋轉(zhuǎn)不變性特征能夠?qū)崿F(xiàn)等角轉(zhuǎn)化(如圖9),而后將角置于直角三角形中求解.

    5. 課堂小結(jié),形成一般性觀(guān)念

    (1)本節(jié)課的核心知識(shí)是什么?研究了什么內(nèi)容?用到的核心數(shù)學(xué)方法是什么?

    本節(jié)課的核心知識(shí)是對(duì)銳角三角函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí);研究的內(nèi)容是如何求三角函數(shù)值;核心的數(shù)學(xué)方法是用數(shù)形結(jié)合方法,把任意確定的三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題來(lái)解決.

    (2)構(gòu)造的目標(biāo)圖形是什么?構(gòu)造的方法是什么?

    構(gòu)造的目標(biāo)是直角三角形;構(gòu)造的方法是直接構(gòu)造法和等角轉(zhuǎn)化法.

    【設(shè)計(jì)意圖】小結(jié)的作用在于實(shí)現(xiàn)課堂的畫(huà)龍點(diǎn)睛,通過(guò)小結(jié)理解本節(jié)課的核心知識(shí)——銳角三角函數(shù)概念的應(yīng)用,它是借助直角三角形這一幾何直觀(guān)來(lái)定義,因此幾何直觀(guān)就成了銳角三角函數(shù)求解的重要方法. 解直角三角形是解一般三角形的基礎(chǔ),通過(guò)轉(zhuǎn)化,把解任意確定的三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形,其中的構(gòu)圖、建模等關(guān)鍵能力需要在由特殊到一般的歸納過(guò)程中進(jìn)行強(qiáng)化,這種對(duì)核心知識(shí)、思想方法的回顧,意在幫助學(xué)生養(yǎng)成解決問(wèn)題的一般性觀(guān)念與思路.

    6. 目標(biāo)檢測(cè)

    作業(yè)1:如圖10,在△ABC中,∠B = 60°,點(diǎn)D在BC邊上,且CD = 2,cos∠ADC = [17].

    (1)求sin∠BAD的值;

    (2)求BD,AC的長(zhǎng).

    【設(shè)計(jì)意圖】解決此題,學(xué)生要發(fā)現(xiàn)△ABD是確定的. 確定的三角形的高也確定,過(guò)點(diǎn)A作邊BC的高,直接解相關(guān)三角形即可. 將此題設(shè)置為課后作業(yè),有利于提升學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)價(jià)值性知識(shí)的認(rèn)識(shí),即對(duì)于確定的三角形,一定是可解的. 此題的設(shè)置意在讓學(xué)生明白知識(shí)的本源是解決問(wèn)題的根本.

    作業(yè)2:如圖11,在Rt△ABC中,[AC<AB,∠BAC=]? 90°,以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)F在[BD]上,連接BF并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,連接AF,求[AFBG]的最大值.

    【設(shè)計(jì)意圖】此題有多種求解方法,題面所給的是一些定性條件,求的又是比值,將比值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)來(lái)處理,進(jìn)一步體現(xiàn)了銳角三角函數(shù)定義在幾何綜合問(wèn)題解決中的功能性作用.

    五、教學(xué)反思

    1. 課例的特點(diǎn)

    本節(jié)課為學(xué)生構(gòu)建了回歸概念、理解本質(zhì)、一題多解、多解歸一的復(fù)習(xí)活動(dòng). 以系統(tǒng)觀(guān)和數(shù)形結(jié)合思想為引領(lǐng),設(shè)計(jì)的主線(xiàn)圍繞著初中銳角三角函數(shù)內(nèi)容的功能,知識(shí)的結(jié)構(gòu)、普適性的思想方法、解決問(wèn)題的策略等加以認(rèn)識(shí);通過(guò)揭示銳角三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)對(duì)象(銳角三角函數(shù)的定義)的內(nèi)涵,發(fā)現(xiàn)值得研究的問(wèn)題(把任意確定的三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題來(lái)解決)、尋找求解問(wèn)題的方法的引導(dǎo)(直接構(gòu)造法和等角轉(zhuǎn)化法);通過(guò)銳角三角函數(shù)的定義的理解與應(yīng)用,在完善單元知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí),努力建立與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系,形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 在教學(xué)實(shí)施的過(guò)程中,始終關(guān)注數(shù)與形的聯(lián)系,如網(wǎng)格的引入,利用網(wǎng)格的功能實(shí)現(xiàn)幾何圖形的數(shù)量化,借助幾何直觀(guān)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)由形(角)到數(shù)(比值)的轉(zhuǎn)化. 進(jìn)而讓學(xué)生把比(角度的三角函數(shù)值)變成形(三角形的邊)的刻畫(huà),在形的刻畫(huà)中尋找量的公共元素,又實(shí)現(xiàn)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化.

    本節(jié)課留出了比較充分的時(shí)間與空間讓學(xué)生思考與總結(jié),教師引領(lǐng)學(xué)生在問(wèn)題解決中思考如何回到“定義”中去,對(duì)于“一題多解”的題目,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)與總結(jié),多角度發(fā)展學(xué)生的思維;于“一題多解”后努力讓學(xué)生“多解歸一”,讓學(xué)生抽象出能反映概念本質(zhì)的通性、通法,如從數(shù)形結(jié)合的視角研究三角函數(shù),形成良好的問(wèn)題意識(shí)和解題策略.

    2. 需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題

    在復(fù)習(xí)課中,我們要不停的提問(wèn):本專(zhuān)題的核心知識(shí)有哪些?這些核心知識(shí)的本質(zhì)是什么?應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生哪些技能?在問(wèn)題解決中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生哪些一般性觀(guān)念?

    針對(duì)“銳角三角函數(shù)”專(zhuān)題,要從知識(shí)本源出發(fā),理解銳角三角函數(shù)的概念,這是核心也是問(wèn)題理解的本質(zhì). 此專(zhuān)題需要培養(yǎng)的技能:掌握特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算;在解直角三角形中養(yǎng)成三角形確定性的意識(shí)等問(wèn)題解決的技能. 滲透的基本思想:變化與對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化等. 掌握的基本方法:會(huì)利用解直角三角形的條件,構(gòu)造直角三角形;會(huì)進(jìn)行圖形的組合與拆解.

    從數(shù)學(xué)育人的出發(fā)點(diǎn)和歸宿看,思維的教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,發(fā)展學(xué)生的理性精神,實(shí)現(xiàn)它要依靠教學(xué)內(nèi)容這一載體.“銳角三角函數(shù)”專(zhuān)題復(fù)習(xí)課不宜過(guò)度關(guān)注知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn),這樣會(huì)窄化教學(xué)視野,降低教育應(yīng)有的內(nèi)涵. 必需在問(wèn)題解決中培養(yǎng)學(xué)生的一般性觀(guān)念:利用四邊形、圓、相似等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合解決問(wèn)題時(shí),等角及邊的轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵;解直角三角形中的確定性意識(shí)的形成等. 雖然初中階段對(duì)三角函數(shù)的要求較低,但是學(xué)生應(yīng)該具有回歸定義研究性質(zhì)的能力.

    六、結(jié)束語(yǔ)

    專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的功能主要是提升學(xué)生在知識(shí)、技能、思維層面上體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 鑒于九年級(jí)學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平,專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的內(nèi)容必須為學(xué)生的能力發(fā)展和素養(yǎng)提升而設(shè)計(jì). 初中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)雖然未作界定,但基于初中的十大核心概念和對(duì)核心素養(yǎng)觀(guān)的理解,此專(zhuān)題復(fù)習(xí)中要發(fā)展的主要學(xué)科核心素養(yǎng)應(yīng)該是數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象、邏輯推理. 同時(shí),專(zhuān)題復(fù)習(xí)課作為一種重要的課型,在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)同樣要進(jìn)行教學(xué)背景的分析和教學(xué)目標(biāo)的確定. 新授課重在探究建構(gòu)知識(shí),專(zhuān)題復(fù)習(xí)課重在梳理、整合知識(shí),感悟數(shù)學(xué)思想和方法;新授課關(guān)注學(xué)科知識(shí)本質(zhì)、提升學(xué)生思維品質(zhì),專(zhuān)題復(fù)習(xí)課重在發(fā)展學(xué)生能力、提升核心素養(yǎng).

    參考文獻(xiàn):

    [1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

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