在新函數(shù)的研究中促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移

崔佳佳 王秀閣

摘? 要：初中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)主要有三類典型的基本函數(shù)模型——一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，其目的是以這三類基本函數(shù)模型為例，讓學(xué)生理解變量之間的依賴關(guān)系和變化規(guī)律. 同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)研究中的數(shù)形結(jié)合思想，積累函數(shù)研究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)男潞瘮?shù)研究任務(wù)，既可以檢驗(yàn)學(xué)生是否積累了可遷移的函數(shù)研究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又可以促進(jìn)這種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的進(jìn)一步遷移，具有較高的育人價(jià)值. 以“二次型絕對(duì)值函數(shù)的圖象和性質(zhì)”研究為載體，引導(dǎo)學(xué)生類比二次函數(shù)進(jìn)行研究，可以取得良好的教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);研究對(duì)象;研究路徑;研究策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，自主探索、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式. 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的質(zhì)疑、交流、拓展及提升等活動(dòng)是獲得基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的過程，也是積累基本方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程，更是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路.

在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)后，筆者與其他教師一起設(shè)計(jì)了“二次型絕對(duì)值函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一課，在本節(jié)課中引入了一個(gè)新的研究對(duì)象——函數(shù)[y=ax2+bx+c a≠0，] 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的二次函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)研究新問題，鼓勵(lì)學(xué)生自主規(guī)劃研究路徑，選擇研究策略，并通過相互交流優(yōu)化研究策略. 在合作交流和評(píng)價(jià)中發(fā)展學(xué)生的思辨能力，優(yōu)化解題方法，主動(dòng)建立知識(shí)之間的聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的領(lǐng)悟，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng).

一、從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引入研究對(duì)象

在本節(jié)課中，教師創(chuàng)設(shè)了以下問題情境：學(xué)習(xí)了二次函數(shù)之后，有學(xué)生遇到函數(shù)[y=-x2+2x+1，] 并提出了“它是二次函數(shù)嗎？”的問題.

學(xué)生看到這個(gè)函數(shù)可能會(huì)有所猶豫，感覺它像二次函數(shù)，但由于帶有絕對(duì)值，與二次函數(shù)又有所區(qū)別. 如何能確定它是否是二次函數(shù)呢？有的學(xué)生想到從定義出發(fā)去判別，有的學(xué)生想到看看它的圖象是否符合二次函數(shù)的圖象特征，還有的學(xué)生想從函數(shù)性質(zhì)上判斷它是否是二次函數(shù)，等等. 那么，像這樣的函數(shù)的圖象是什么樣的？它又具備哪些性質(zhì)？本節(jié)課通過設(shè)置這樣的問題情境吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生研究問題的興趣.

在學(xué)生剛學(xué)習(xí)完二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)后，利用已有的函數(shù)知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)新函數(shù)進(jìn)行研究，既可以促進(jìn)學(xué)生鞏固二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，又能幫助學(xué)生用已有的研究函數(shù)的一般過程和方法研究新函數(shù)，促進(jìn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的遷移，進(jìn)一步體會(huì)研究過程中蘊(yùn)涵的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

二、問題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)已有經(jīng)驗(yàn)規(guī)劃研究路徑

研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑是：從具體事物中抽象出共同特征，給出定義及表示方法，并對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后研究它的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，再研究其“特例”，在這個(gè)過程中要始終注重相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系與應(yīng)用. 在日常學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新的學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行研究，需要學(xué)生有意識(shí)地提取原有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這時(shí)就需要教師進(jìn)行有效的引導(dǎo)，幫助學(xué)生回顧之前的學(xué)習(xí)情境，通過追溯原有的學(xué)習(xí)過程，實(shí)現(xiàn)新知探索的經(jīng)驗(yàn)遷移.

在本節(jié)課之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和二次函數(shù)，了解了研究函數(shù)的一般方法，經(jīng)歷了這些函數(shù)的研究過程，初步積累了研究一類函數(shù)的經(jīng)驗(yàn). 為了發(fā)揮學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的作用，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)和類比，將函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)遷移到對(duì)新函數(shù)的研究中，教師設(shè)計(jì)了系列化問題，由研究對(duì)象到研究路徑，再到研究方法，引導(dǎo)學(xué)生整體規(guī)劃、分步實(shí)施研究過程.

環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)回顧二次函數(shù)的研究思路和內(nèi)容.

問題1：我們研究了二次函數(shù)哪些方面的內(nèi)容？我們是按照怎樣的思路展開研究的？

通過問題，帶領(lǐng)學(xué)生回顧已學(xué)知識(shí). 對(duì)于二次函數(shù)，我們主要研究了二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì). 研究思路是從特殊到一般展開研究. 如圖1，先研究了頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的二次函數(shù)，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的特殊二次函數(shù)，進(jìn)而研究更為一般的二次函數(shù).

環(huán)節(jié)2：創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，引入新的研究對(duì)象.

問題2：[y=-x2+2x+1]是二次函數(shù)嗎？

從該問題出發(fā)，對(duì)新的函數(shù)展開研究.

對(duì)比二次函數(shù)的概念，發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)不是二次函數(shù)，但從形式上看與二次函數(shù)有一定的關(guān)系，是怎樣的關(guān)系呢？以下展開對(duì)這類函數(shù)的研究.

問題3：觀察下面這些函數(shù)的解析式，根據(jù)它們的共同特征，像這樣的函數(shù)可以表示為形如[y=]? ? ? ? ? ? ?的函數(shù)，其中x為自變量.

借助已有的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過對(duì)具體例子的觀察、抽象和歸納，得到該類函數(shù)解析式的一般特征，形如[y=ax2+bx+c a≠0，] 還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)也可以寫作[y=ax2+bx+c a≠0.] 此時(shí)，有的學(xué)生已經(jīng)關(guān)注到了兩者之間有一定的聯(lián)系，能進(jìn)行相關(guān)的轉(zhuǎn)化，這樣的經(jīng)驗(yàn)對(duì)后續(xù)研究函數(shù)的過程中將未知的函數(shù)向已知的函數(shù)轉(zhuǎn)化奠定了一定的基礎(chǔ).

歸納出一般形式后，教師鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)形如[y=][ax2+bx+c a≠0]的函數(shù)進(jìn)行命名，學(xué)生將這樣的函數(shù)叫做“二次型絕對(duì)值函數(shù)”，由此確定了本節(jié)課的研究對(duì)象.

環(huán)節(jié)3：對(duì)“二次型絕對(duì)值函數(shù)”[y=ax2+bx+][c a≠0]展開研究.

問題4：類比二次函數(shù)的學(xué)習(xí)研究過程，我們可以研究“二次型絕對(duì)值函數(shù)”的哪些內(nèi)容？如何對(duì)這類新函數(shù)展開研究？

學(xué)生提出可以研究“二次型絕對(duì)值函數(shù)”的圖象和性質(zhì)，可以采用從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的研究方法，并給出了如圖2所示的研究計(jì)劃.

對(duì)于每種形式的新函數(shù)，可以先讓系數(shù)取一些具體的數(shù)值，用從特殊到一般的方法進(jìn)行研究.

可見，在系列化問題的驅(qū)動(dòng)下，面對(duì)新情境時(shí)，學(xué)生能主動(dòng)調(diào)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將習(xí)得的研究函數(shù)的思路和方法遷移到對(duì)新問題的研究過程中. 本節(jié)課以研究函數(shù)的整體架構(gòu)為指導(dǎo)，在情境與問題的引導(dǎo)下，學(xué)生逐步明確研究對(duì)象、研究思路和研究方法，用這樣的一般觀念指導(dǎo)新函數(shù)的研究，展開連貫性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的理念，實(shí)現(xiàn)思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移.

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)往往在遇到相似的情境時(shí)被喚醒，教師要善于發(fā)揮數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的作用，結(jié)合具體內(nèi)容提供多樣化的活動(dòng)情境，引導(dǎo)學(xué)生激活和提取相關(guān)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來學(xué)習(xí)新知或解決問題，而基于問題驅(qū)動(dòng)的探究活動(dòng)易于提煉已有經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 在提取經(jīng)驗(yàn)、解決問題的過程中，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到豐富和提升.

三、促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移，選擇、優(yōu)化研究策略

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中獲得的對(duì)數(shù)學(xué)的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)，具有典型的個(gè)體性和內(nèi)隱性特征，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著重要的作用. 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)從積累到遷移是學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升的一個(gè)質(zhì)的飛躍.

本節(jié)課在對(duì)研究計(jì)劃實(shí)施的過程中，有學(xué)生提出對(duì)于函數(shù)[y=ax2]和[y=ax2+k]，其實(shí)它們可以分別轉(zhuǎn)化為[y=ax2]和[y=ax2+k.] 因此，函數(shù)[y=ax2]和[y=][ax2+k]的圖象和性質(zhì)就與已學(xué)過的函數(shù)是一致的. 也就是說，對(duì)于新形式的函數(shù)的研究，并不都是必須采用列表、描點(diǎn)、畫函數(shù)圖象等方式，也可以借助對(duì)解析式特點(diǎn)的分析，將新函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，多角度地進(jìn)行研究. 通過這樣的思維展現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了使學(xué)生從模仿過渡到自主發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提升.

對(duì)于函數(shù)[y=ax-h2]，有的學(xué)生根據(jù)已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，決定采用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，分析函數(shù)圖象特征的策略，得到函數(shù)的性質(zhì). 利用從特殊到一般的方法，先研究幾個(gè)具體的函數(shù)，再歸納得到一般的函數(shù)[y=ax-h2]的圖象特征和相關(guān)性質(zhì). 這樣學(xué)生對(duì)研究新函數(shù)有了一定的經(jīng)驗(yàn)，掌握了先利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象再研究其性質(zhì)的基本方法，在研究過程中能結(jié)合函數(shù)解析式進(jìn)行一定的代數(shù)推理. 例如，在列表過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=-x-12]的圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱的;由[-x-12≤0]得到[y≤0，] 即這些點(diǎn)在x軸上或在x軸的下方，有數(shù)形結(jié)合研究問題的意識(shí). 但是采用這種研究策略的學(xué)生未關(guān)注到這個(gè)函數(shù)與已學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)之間的聯(lián)系.

有的學(xué)生能從函數(shù)的解析式入手，發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=][-x-12]的解析式中含有絕對(duì)值，可以將絕對(duì)值通過分類討論進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 當(dāng)[x≥0]時(shí)，[y=-x-12;]? 當(dāng)[x<0]時(shí)，[y=--x-12=-x+12，] 即[y=-x-12，? ?x≥0，-x+12，? ?x<0.] 學(xué)生根據(jù)在一次函數(shù)學(xué)習(xí)過程中了解的分段函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，得到這個(gè)函數(shù)的圖象是由兩個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分組成，畫出了如圖3所示的函數(shù)圖象.

從學(xué)生的思考過程可以發(fā)現(xiàn)，這部分學(xué)生能主動(dòng)調(diào)用已有的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合代數(shù)式的相關(guān)知識(shí)，關(guān)注到新的問題情境與已有的二次函數(shù)知識(shí)之間的聯(lián)系，通過分析和推理將之轉(zhuǎn)化為已學(xué)習(xí)過的函數(shù)進(jìn)行研究，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效遷移.

有了對(duì)函數(shù)[y=ax-h2]的研究的突破，接下來對(duì)于函數(shù)[y=ax-h2+k]的研究，學(xué)生根據(jù)已有的二次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)得出它的圖象可由函數(shù)[y=ax-h2]向上或向下平移得到，從而可以得到相關(guān)的函數(shù)圖象和性質(zhì). 例如，函數(shù)[y=-x-12+2]的圖象可由函數(shù)[y=][-x-12]的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到（如圖4）. 而對(duì)于函數(shù)[y=ax2+bx+c]，學(xué)生提出可以利用配方法將之轉(zhuǎn)化為[y=ax-h2+k]的形式來進(jìn)行研究. 例如，函數(shù)[y=-x2+2x+1]可以利用配方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)[y=-x-12+2]進(jìn)行研究. 由此，學(xué)生主動(dòng)建立了這些函數(shù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了自己設(shè)計(jì)的研究計(jì)劃. 在此過程中，學(xué)生不斷主動(dòng)地將二次函數(shù)的相關(guān)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移到對(duì)新函數(shù)的研究中，既鞏固了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)和方法，又增長(zhǎng)了研究新函數(shù)的經(jīng)驗(yàn).

每個(gè)個(gè)體在數(shù)學(xué)活動(dòng)中都是以自己的方式建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，通過不同研究策略的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)交流與融合，可以促進(jìn)對(duì)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化和提升. 在自主研究和討論交流的過程中，一方面，學(xué)生類比二次函數(shù)的研究路徑，由特殊到一般展開研究;另一方面，學(xué)生從最基本的描點(diǎn)畫圖象的研究方法提升到利用分類討論將絕對(duì)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得新函數(shù)轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的函數(shù)來進(jìn)行研究.

在此基礎(chǔ)上，教師提出：實(shí)際上剛才有學(xué)生提出，我們可以借助分類討論對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行化簡(jiǎn)，將一般的“二次型絕對(duì)值函數(shù)”[y=ax2+bx+c]直接轉(zhuǎn)化為相關(guān)的二次函數(shù)來研究，即[y=ax2+][bx+c=][ax2+bx+c x≥0? ?，ax2-bx+c x<0? ?，] 得到一個(gè)分段函數(shù)，其圖象可以由兩個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分組合而成. 教師帶領(lǐng)學(xué)生分析了幾個(gè)具體的“二次型絕對(duì)值函數(shù)”，并利用幾何畫板軟件展示了它們的圖象，促進(jìn)學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化過程的理解，并要求學(xué)生課后繼續(xù)進(jìn)行研究，嘗試歸納函數(shù)[y=ax2+bx+c a≠0]的圖象特征和函數(shù)性質(zhì). 接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié)，促進(jìn)內(nèi)隱的、零散的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步明晰、概括和抽象. 在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)積累“怎么想到用轉(zhuǎn)化的方法，如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化，什么情況下可以用轉(zhuǎn)化的方法”等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 因?yàn)閷W(xué)生的知識(shí)是有限的，對(duì)于簡(jiǎn)單的基本函數(shù)，一般是用描點(diǎn)畫圖象的方法展開研究;而對(duì)于一些較為復(fù)雜的函數(shù)，我們可以參考已學(xué)函數(shù)的研究方法（如從特殊到一般的研究方法），也可以通過相關(guān)的條件轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)展開研究，這也是后續(xù)高中函數(shù)學(xué)習(xí)研究中的重要方法.

四、教學(xué)反思

本節(jié)課在回顧二次函數(shù)研究過程的基礎(chǔ)上，從學(xué)生的一個(gè)疑問出發(fā)，從特殊到一般，抽象出學(xué)生命名的“二次型絕對(duì)值函數(shù)”，實(shí)現(xiàn)了對(duì)一個(gè)新類型函數(shù)的歸類處理. 采用整體建構(gòu)的策略，讓學(xué)生經(jīng)歷研究函數(shù)的一般過程：選取研究對(duì)象—規(guī)劃研究路徑—具體實(shí)施研究—反思、總結(jié)研究策略. 在研究過程中，通過創(chuàng)設(shè)新問題情境，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，鞏固了畫函數(shù)圖象、分析描述函數(shù)性質(zhì)等基本技能;引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，利用類比、化歸等方法主動(dòng)調(diào)用已有學(xué)習(xí)和研究函數(shù)問題的經(jīng)驗(yàn)，將之有效地遷移到新的情境中. 在得出結(jié)果的過程中，注重對(duì)結(jié)果的結(jié)構(gòu)性、數(shù)學(xué)化的表達(dá)，形成新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累.

學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，加強(qiáng)遷移應(yīng)用可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上升到更高的水平，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的改造或重組. 學(xué)生在解決問題的過程中，形成經(jīng)驗(yàn)的遷移不是一蹴而就的，而是需要教師不斷創(chuàng)設(shè)新的問題情境，在參與活動(dòng)的過程中讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，主動(dòng)提取和遷移已有經(jīng)驗(yàn);傾聽他人的方法，進(jìn)行質(zhì)疑和判斷，調(diào)整解決問題的策略，增強(qiáng)共同學(xué)習(xí)、合作交流的能力，豐富自己思考和解決問題的經(jīng)驗(yàn);回顧整理活動(dòng)過程，關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)及其聯(lián)系的把握，主動(dòng)進(jìn)行反思、總結(jié)，提煉和提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]丁福珍. 整體觀指導(dǎo)下的初中函數(shù)單元總復(fù)習(xí)實(shí)踐研究[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（4）：47-51.

[3]張逢成. 探究式教學(xué)中的問題設(shè)計(jì)[M]. 徐州：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2011.

[4]羅敏娜. 中學(xué)數(shù)學(xué)思維教學(xué)研究[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[5]章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[6]王成剛. 例析研究新函數(shù)圖像的基本策略[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（10）：53-57，61.

[7]仲秀英. 學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵探究[J].? 課程·教材·教法，2010，30（10）：52-56，80.