初中數(shù)學(xué)單元整體復(fù)習(xí)的新視角

李馨

摘? 要：平行四邊形內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)圖形的變化的良好載體. 在平行四邊形的復(fù)習(xí)教學(xué)中，以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，以圖形變化為主軸，用圖形研究的一般觀念引領(lǐng)單元整體復(fù)習(xí)教學(xué)，幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的廣泛聯(lián)系. 通過這些教學(xué)策略，旨在促進(jìn)學(xué)生空間觀念、幾何直觀和邏輯推理等能力的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：課程標(biāo)準(zhǔn);復(fù)習(xí)教學(xué);整體教學(xué);教學(xué)策略

教育部《關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》指出：取消初中學(xué)業(yè)水平考試大綱，嚴(yán)格依據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)命題，不得超標(biāo)命題. 在此重大變革的機(jī)遇下，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）成為初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試命題的根本依據(jù). 因此，遵從數(shù)學(xué)課程基本理念，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，專注于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù).

2020年4月20日，筆者有幸在“深化課堂教學(xué)改革提升數(shù)學(xué)育人水平行動(dòng)研究”第一次主題教研活動(dòng)中做了題為“從圖形變化的視角整體設(shè)計(jì)平行四邊形單元復(fù)習(xí)”的報(bào)告. 筆者現(xiàn)將報(bào)告準(zhǔn)備過程中的所思所想進(jìn)行呈現(xiàn)，與大家共同探討.

一、復(fù)習(xí)教學(xué)的策略

復(fù)習(xí)教學(xué)有別于新課教學(xué)，其意義不應(yīng)止步于“溫故”，而應(yīng)積極探索如何“知新”. 同時(shí)，復(fù)習(xí)教學(xué)不應(yīng)否認(rèn)新課教學(xué)的效果和作用，應(yīng)在學(xué)生已有“四基”的基礎(chǔ)上，尋找新的增長(zhǎng)點(diǎn).

1. 以課程標(biāo)準(zhǔn)為根本依據(jù)

《標(biāo)準(zhǔn)》中的課程內(nèi)容（第三學(xué)段）與平行四邊形（包括平行四邊形、矩形、菱形和正方形）有關(guān)的描述是“探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理;探索并證明平行四邊形的判定定理”“探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理以及它們的判定定理”“探索矩形、菱形、正多邊形的軸對(duì)稱性質(zhì)”“探索平行四邊形、正多邊形的中心對(duì)稱性質(zhì)”. 其中，對(duì)平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理的要求均為“探索并證明”，對(duì)其軸對(duì)稱性質(zhì)與中心對(duì)稱性質(zhì)的要求均為“探索”.《標(biāo)準(zhǔn)》中將描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞“探索”定義為“獨(dú)立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對(duì)象的特征及其與相關(guān)對(duì)象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認(rèn)識(shí)”，將描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞“證明”定義為“綜合使用已掌握的對(duì)象，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題”. 這兩個(gè)行為動(dòng)詞體現(xiàn)出《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)平行四邊形教學(xué)內(nèi)容有很高的要求. 因此，以平行四邊形單元整體復(fù)習(xí)為例來(lái)談復(fù)習(xí)教學(xué)的策略，可以為其他單元的復(fù)習(xí)提供借鑒與參考，具有一定的研究?jī)r(jià)值.

在平行四邊形單元整體復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)中把上述目標(biāo)具體分為以下四個(gè)方面.

（1）能辨別平行四邊形、矩形、菱形、正方形，理清它們之間的關(guān)系.

（2）能運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行相關(guān)證明和計(jì)算.

（3）會(huì)利用圖形的對(duì)稱性對(duì)具體問題進(jìn)行分析與推理.

（4）經(jīng)歷以圖形對(duì)稱性的視角研究平行四邊形的過程，尋求該視角下的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法.

2. 以圖形變換為主軸，用圖形研究的一般觀念引領(lǐng)單元整體復(fù)習(xí)教學(xué)

（1）以圖形變換為主軸，開展單元整體復(fù)習(xí)教學(xué).

平行四邊形單元整體復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的基本思路是以圖形的對(duì)稱性為主軸，串聯(lián)平行四邊形大單元的復(fù)習(xí)，共設(shè)置三個(gè)課時(shí)，分別為“平行四邊形的中心對(duì)稱性”“軸對(duì)稱在矩形、菱形中的應(yīng)用”“正方形的對(duì)稱性”. 每個(gè)課時(shí)均由具體活動(dòng)引入，通過引導(dǎo)學(xué)生探究，感受圖形對(duì)稱性在平行四邊形中的重要價(jià)值，并最終解釋圖形對(duì)稱性之間的聯(lián)系.

圖形的對(duì)稱性包括軸對(duì)稱、中心對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱. 軸對(duì)稱的代表圖形是等腰三角形，中心對(duì)稱的代表圖形是平行四邊形，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的代表圖形是圓. 平行四邊形具有中心對(duì)稱性，將其特殊化后得到的矩形和菱形均為軸對(duì)稱圖形，再進(jìn)一步特殊化后得到的正方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形（正方形繞對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后能與原正方形重合）. 因此，以圖形的對(duì)稱性為主軸對(duì)平行四邊形單元進(jìn)行整體復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)不但有利于用整體的視野，以平行四邊形為載體，從研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法上統(tǒng)一認(rèn)識(shí)圖形的對(duì)稱性，而且可以實(shí)現(xiàn)以一個(gè)全新的視角對(duì)平行四邊形進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀.

（2）以圖形研究的一般觀念引領(lǐng)單元整體教學(xué).

在新課教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了研究幾何圖形的基本思路：概念—性質(zhì)—判定—特例—應(yīng)用. 同時(shí)，在初學(xué)平行四邊形時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了通過對(duì)四邊形的要素（邊和角）特殊化（數(shù)量和位置）生成新的研究對(duì)象的方法. 在本單元復(fù)習(xí)中，學(xué)生可以通過類似的研究方法，以新的視角，從相關(guān)要素（對(duì)角線）的特殊化（數(shù)量和位置）方向進(jìn)行繼續(xù)研究. 這樣的研究方法與之前的幾何研究保持了內(nèi)容結(jié)構(gòu)的整體性和邏輯一致性，對(duì)研究其他幾何圖形同樣具有示范性.

3. 幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的廣泛聯(lián)系

單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)內(nèi)容的內(nèi)部聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)活動(dòng)設(shè)計(jì)的自然連貫，強(qiáng)調(diào)思想方法的良好承接，以幫助學(xué)生構(gòu)建更全面的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

本單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)圖形對(duì)稱性與平行四邊形的性質(zhì)、判定之間的關(guān)系. 圖形的對(duì)稱性是平行四邊形性質(zhì)的幾何直觀，平行四邊形是圖形對(duì)稱性的載體，在學(xué)生的圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，兩者共同發(fā)揮著重要作用，相互依存、密不可分.

二、復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)核心流程

教學(xué)設(shè)計(jì)不僅要圍繞《標(biāo)準(zhǔn)》提出的教學(xué)目標(biāo)、落實(shí)目標(biāo)解析，還需要重視內(nèi)容中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值. 本單元以深度學(xué)習(xí)理念設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)教學(xué)活動(dòng)，逐一突破難點(diǎn)，完成知識(shí)完整、思想一致、方法普適、思維系統(tǒng)和邏輯連貫的整體復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì).

1. 分析教學(xué)內(nèi)容，確定教學(xué)重點(diǎn)

（1）分析知識(shí)內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu).

平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，這是從整體上對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)，而平行四邊形的兩條對(duì)角線與一組對(duì)邊所組成的兩個(gè)三角形成中心對(duì)稱，這是從局部看圖形各部分之間的關(guān)系. 在解決具體問題時(shí)，可以先對(duì)圖形整體建立幾何直觀，再細(xì)化到局部，探索要素之間的關(guān)系. 有時(shí)候也可以根據(jù)問題中對(duì)局部圖形的描述，發(fā)現(xiàn)其具有對(duì)稱性的本質(zhì)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)圖形的整體. 對(duì)稱圖形要素之間的關(guān)系需要從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面進(jìn)行研究. 如何綜合運(yùn)用圖形的對(duì)稱性解決問題需要學(xué)生進(jìn)行分析與推理.

（2）分析思想方法和育人價(jià)值.

平行四邊形內(nèi)容中蘊(yùn)涵的基本思想是推理和圖形變換思想，核心的育人價(jià)值是發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力.

（3）確定單元教學(xué)重點(diǎn).

基于以上分析，確定平行四邊形單元復(fù)習(xí)的教學(xué)重點(diǎn)是：通過圖形的對(duì)稱性，再認(rèn)識(shí)平行四邊形的性質(zhì)和判定; 以圖形的對(duì)稱性為主軸探究研究平行四邊形的具體方法.

2. 診斷教學(xué)問題，明確教學(xué)難點(diǎn)，完善教學(xué)策略

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圖形的軸對(duì)稱、中心對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變化. 在學(xué)習(xí)過程中，多次以圖形的變化為工具解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，具備了一定的基礎(chǔ). 也已經(jīng)通過要素之間的關(guān)系研究了平行四邊形的性質(zhì)和判定，并清楚平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，矩形、菱形和正方形都是軸對(duì)稱圖形. 但是用整體視角，以圖形的對(duì)稱性為主軸，串聯(lián)平行四邊形的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法是學(xué)生沒有經(jīng)歷過的.

基于以上分析，確定平行四邊形單元復(fù)習(xí)的教學(xué)難點(diǎn)是：利用圖形的對(duì)稱性解決與平行四邊形相關(guān)問題的計(jì)算或證明.

在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要抓住平行四邊形兩條對(duì)角線之間的特殊數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生建立圖形對(duì)稱性與平行四邊形的性質(zhì)及判定之間的關(guān)系，借助信息技術(shù)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)平行四邊形對(duì)稱性的直觀感受，幫助學(xué)生建立解決較為復(fù)雜問題的思路和方法，再進(jìn)一步進(jìn)行完整的推理和證明.

3. 在整體視野下設(shè)計(jì)單元教學(xué)的課時(shí)方案

課時(shí)安排如下表所示.

具體課時(shí)的教學(xué)核心流程及解析如下.

下面是三個(gè)課時(shí)教學(xué)的核心流程圖、基本設(shè)計(jì)思路及深度學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì). 核心流程圖主要體現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)組織的過程、內(nèi)容之間的聯(lián)系和蘊(yùn)涵的思想方法等. 在基本設(shè)計(jì)思路中簡(jiǎn)單介紹了各課時(shí)深度學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織方式及其意義和價(jià)值. 深度學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)在同一課時(shí)中是前后連貫的，在三個(gè)課時(shí)中是思路統(tǒng)一的，具有良好的承接性.

（1）第1課時(shí).

[①]“平行四邊形的中心對(duì)稱性”一課的核心流程圖如圖1所示.

② 基本設(shè)計(jì)思路.

第1課時(shí)的活動(dòng)從整體到局部，根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性，以小見大. 在探究“平行四邊形與其過中心的直線組合后能獲得哪些結(jié)論”的活動(dòng)中，對(duì)問題進(jìn)行分解，關(guān)注一邊中點(diǎn)關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)的位置，一邊上的中線關(guān)于中心對(duì)稱的線段的位置等. 再?gòu)木植康秸w引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知，最終以中心對(duì)稱的視角獲得“過平行四邊形兩條對(duì)角線交點(diǎn)的任意一條直線把平行四邊形分為兩個(gè)全等圖形”的結(jié)論，并結(jié)合圖形的相關(guān)要素對(duì)問題進(jìn)行各種拓展與變化.

③ 深度學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì).

活動(dòng)1：讓學(xué)生通過兩個(gè)三角形關(guān)于一點(diǎn)成中心對(duì)稱獲得平行四邊形. 利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)再次理解平行四邊形的性質(zhì)，幫助學(xué)生從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從整體到局部，重新認(rèn)識(shí)平行四邊形. 接下來(lái)，讓學(xué)生在平行四邊形中畫出一邊中點(diǎn)關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)，通過一系列的追問，由點(diǎn)到線再到角，最后到形，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形的要素和相關(guān)要素，讓學(xué)生再次從局部到整體認(rèn)識(shí)平行四邊形的性質(zhì)與其中心對(duì)稱性之間的聯(lián)系.

活動(dòng)2：將平行四邊形一邊的中點(diǎn)變化為三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)，以及更一般的n等分點(diǎn)，讓學(xué)生在這個(gè)一般化的變化過程中，尋找不變的關(guān)系，并以中心對(duì)稱的視角獲得“過平行四邊形兩條對(duì)角線交點(diǎn)的任意一條直線把平行四邊形分為兩個(gè)全等圖形”的結(jié)論，最后再添加對(duì)角線，引導(dǎo)學(xué)生由整體到局部關(guān)注圖形的要素與相關(guān)要素之間的關(guān)系.

活動(dòng)3：在前面活動(dòng)獲得的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，再增加一條過中心的直線，由學(xué)生判斷這兩條直線與平行四邊形的交點(diǎn)順次連接后所得四邊形的形狀，為下一課時(shí)研究矩形和菱形的軸對(duì)稱性做鋪墊.

（2）第2課時(shí).

[①] “軸對(duì)稱在矩形、菱形中的應(yīng)用”一課的核心流程圖如圖2所示.

② 基本設(shè)計(jì)思路.

第2課時(shí)延續(xù)第1課時(shí)的設(shè)計(jì)思路，從整體到局部，通過將局部小三角形兩邊（平行四邊形對(duì)角線的一半）之間數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系特殊化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)矩形和菱形既延續(xù)了平行四邊形的中心對(duì)稱性，又因?yàn)榫植刻厥饣螽a(chǎn)生的等腰三角形而擁有了軸對(duì)稱性，再回到整體，因此矩形和菱形產(chǎn)生了一般平行四邊形沒有的新性質(zhì)，這些性質(zhì)的根源在于它們的軸對(duì)稱性. 最后，以軸對(duì)稱結(jié)合中心對(duì)稱，對(duì)矩形和菱形性質(zhì)的進(jìn)行應(yīng)用.

③ 深度學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì).

活動(dòng)1：回顧新課學(xué)習(xí)中將平行四邊形的要素（角）特殊化獲得矩形和菱形，結(jié)合第1課時(shí)平行四邊形的獲得過程，從整體到局部，再將局部特殊化. 分別通過局部小三角形的兩邊（平行四邊形對(duì)角線的一半）數(shù)量的特殊化和位置的特殊化獲得矩形和菱形. 通過設(shè)置問題串及追問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)矩形和菱形呈現(xiàn)的軸對(duì)稱性與其局部中隱藏的等腰三角形的軸對(duì)稱性有密切關(guān)系，從而將圖形局部的軸對(duì)稱性和整體的軸對(duì)稱性進(jìn)行了有機(jī)的統(tǒng)一. 在此基礎(chǔ)上，由矩形和菱形的中心對(duì)稱性和軸對(duì)稱性出發(fā)，整體復(fù)習(xí)矩形和菱形的性質(zhì)，從而對(duì)其對(duì)稱性及特殊性質(zhì)形成整體認(rèn)知.

活動(dòng)2：以矩形為背景，圍繞其一條對(duì)稱軸上點(diǎn)的不同位置展開探究，通過變式，借助圖形對(duì)稱性的視角解決系列問題，串聯(lián)整個(gè)學(xué)習(xí)過程.

（3）第3課時(shí).

[①] “正方形的對(duì)稱性”一課的核心流程圖如圖3所示.

② 基本設(shè)計(jì)思路.

第3課時(shí)對(duì)圖形局部進(jìn)一步特殊化，發(fā)現(xiàn)正方形不但延續(xù)了平行四邊形的中心對(duì)稱性，同時(shí)還延續(xù)了矩形和菱形的軸對(duì)稱性，擁有四條對(duì)稱軸，于是正方形有了其他四邊形所沒有的性質(zhì). 而正方形所體現(xiàn)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，本質(zhì)上正是因?yàn)樗扔芯匦蔚妮S對(duì)稱性，又有菱形的軸對(duì)稱性. 關(guān)于這兩條對(duì)稱軸各作一次軸對(duì)稱就體現(xiàn)出了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.

③ 深度學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì).

活動(dòng)1：延續(xù)前兩個(gè)課時(shí)中對(duì)平行四邊形、矩形和菱形的研究思路，繼續(xù)特殊化矩形和菱形的對(duì)角線獲得正方形，再次將局部的對(duì)稱性和整體的對(duì)稱性進(jìn)行統(tǒng)一. 從而發(fā)現(xiàn)正方形不僅延續(xù)了平行四邊形的中心對(duì)稱性，同時(shí)還延續(xù)了矩形和菱形的軸對(duì)稱性，擁有四條對(duì)稱軸，于是有了其他四邊形所沒有的性質(zhì).

活動(dòng)2：讓學(xué)生在正方形中尋找和已知線段（連接正方形的一個(gè)頂點(diǎn)和與其不相鄰的邊上一點(diǎn)的線段）相等的線段，并對(duì)畫出的各種圖形根據(jù)與已知線段的不同位置進(jìn)行分類，最終引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一切源于正方形的對(duì)稱性——中心對(duì)稱性、軸對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性. 然后通過兩次軸對(duì)稱解釋正方形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，使學(xué)生構(gòu)建對(duì)正方形所體現(xiàn)的圖形對(duì)稱性的統(tǒng)一認(rèn)識(shí).

三、后續(xù)思考與展望

1. 復(fù)習(xí)教學(xué)建立在教師“四個(gè)理解”的基礎(chǔ)上

《標(biāo)準(zhǔn)》為復(fù)習(xí)教學(xué)指明了方向，同時(shí)也對(duì)教師本身的教學(xué)能力提出了更高要求. 在進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)前應(yīng)做好“前測(cè)”工作，即充分了解學(xué)生知識(shí)和能力的起點(diǎn)，找準(zhǔn)復(fù)習(xí)教學(xué)的提升點(diǎn). 教師要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)和評(píng)價(jià)“四個(gè)理解”上多下工夫，切勿把習(xí)題教學(xué)當(dāng)成復(fù)習(xí)教學(xué).

2. 復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)以單元整體復(fù)習(xí)的思路進(jìn)行設(shè)計(jì)

在當(dāng)前的教學(xué)改革形勢(shì)下，加強(qiáng)“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)的研究是深化數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有力抓手，廣大初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)給予充分重視. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)單元整體學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行解構(gòu)、重構(gòu)和建構(gòu)，對(duì)復(fù)習(xí)教學(xué)整體設(shè)計(jì)的可行性進(jìn)行科學(xué)論證，完成有“數(shù)學(xué)味”的單元整體復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì).

3. 關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)才具有生命力

教師通過全新的視角引導(dǎo)學(xué)生重新認(rèn)識(shí)熟悉的數(shù)學(xué)對(duì)象，用相似的方法更系統(tǒng)地發(fā)現(xiàn)和提出問題，并進(jìn)一步分析和解決問題. 正所謂“研究對(duì)象在變，研究套路不變，思想方法不變”，這在培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和科學(xué)態(tài)度的過程中起著積極作用. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，使學(xué)生能看得更高、走得更遠(yuǎn).

參考文獻(xiàn)：

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