一道關(guān)于“角的存在性”中考試題的解題感悟

李玲玲

摘? 要：以2019年中考山東濟(jì)南卷第27題為例，對(duì)比分析試題的多種解法，獲得求解角的存性問題的基本策略是抓住角的特殊性，運(yùn)用幾何變換思想轉(zhuǎn)化問題. 其中起到關(guān)鍵性思路觸發(fā)作用的是學(xué)生的圖形變換意識(shí)和積累的幾何模型經(jīng)驗(yàn). 由此帶來的教學(xué)啟示是，教師在日常的解題教學(xué)過程中要提高學(xué)生的幾何變換思想，注重對(duì)基本幾何模型的提煉和積累.

關(guān)鍵詞：存在性;圖形變換;幾何模型

角的存在性問題是近幾年中考的熱點(diǎn)問題之一，往往出現(xiàn)在綜合性較強(qiáng)的壓軸題中，具有較高的難度. 學(xué)生初次解答此類題目時(shí)，常有無從下手的感覺. 因此，從解題和教學(xué)兩個(gè)層面探索此類問題的破解策略很有必要. 2019年中考山東濟(jì)南卷第27題就是一道以角的存在性為指向的試題，具有典型性. 筆者希望通過對(duì)此題多種解法的對(duì)比分析，管窺角的存在性問題的破解之道，與同行交流.

一、試題評(píng)析

【評(píng)析】初讀此題有可能被看似復(fù)雜的圖形“嚇退”. 細(xì)看會(huì)發(fā)現(xiàn)，盡管此題涉及了對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)、待定系數(shù)法、平行線、相似三角形、勾股定理等眾多初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)的考查，且第（3）小題更有難度，承載著全卷壓軸的功能，但此題并不是新題型，若平時(shí)多加積累，會(huì)發(fā)現(xiàn)是有章可循的. 由于前兩道小題較為簡(jiǎn)單，本文不予解析，下面僅就第（3）小題角的存在性問題進(jìn)行分析.

二、第（3）小題多解呈現(xiàn)及其對(duì)比分析

第（3）小題中，去掉二次函數(shù)和一次函數(shù)背景，只保留關(guān)鍵信息，如圖4所示. 由于題目已明確點(diǎn)P在直線DE下方的拋物線C上，故不再需要分類討論. 下面分析解答此題的基本策略.

45°角是個(gè)特殊角. 因此，該題第（1）小題無論采用哪種方法解決都會(huì)很簡(jiǎn)單;在第（2）小題中，因?yàn)閇∠DBP=135°]，所以它的補(bǔ)角為45°，從而轉(zhuǎn)化為45°角的存在性問題;第（3）小題分三種情況進(jìn)行討論即可;在第（4）小題中，雖然[∠DBP]不再是特殊角，但用前文提到的處理策略亦可輕松解決.

四、教學(xué)感悟

1. 幾何變換是求解角的存在性問題的基本策略

從解題的角度來看，本文給出的關(guān)于角的存在性問題的解法各具特色，哪種方法更容易被接受，相信讀者心中自有定論. 值得說明的是，當(dāng)一道題目，尤其是綜合性較強(qiáng)的壓軸題有多種解法時(shí)，每個(gè)人所擅長的解法往往是不一樣的，究其原因是每個(gè)人的解題習(xí)慣、知識(shí)技能儲(chǔ)備及對(duì)題目的理解角度都有所不同. 自然解法生成的提出從表面上看是關(guān)注其是否為學(xué)生最容易想到的解法，但本意應(yīng)該更多的關(guān)注學(xué)生為什么容易想到，怎樣才能使學(xué)生容易想到，這比多發(fā)現(xiàn)一種或幾種解法更加重要. 至于“怎樣才能容易想到”，筆者認(rèn)為，首先要增強(qiáng)學(xué)生的圖形變換（相似變換、全等變換）意識(shí). 綜合以上解法，可以發(fā)現(xiàn)無論是構(gòu)造“相似三角形”“一線三等角”“母子型相似”，還是“整體旋轉(zhuǎn)”，其本質(zhì)都是運(yùn)用幾何變換來轉(zhuǎn)化問題.

2. 模型的提煉與積累是提高學(xué)生幾何變換思想的有效途徑

從教學(xué)的角度來看，通過以上幾種方法分析，筆者認(rèn)為，幾何模型的提煉、積累和構(gòu)造，是提高學(xué)生幾何變換思想、增強(qiáng)學(xué)生解題能力的有效途徑. 例如，對(duì)于“一線三等角”模型，教師要培養(yǎng)學(xué)生能夠正確識(shí)別、提煉模型，隨著做題數(shù)量、模型出現(xiàn)頻率和積累反思的增加，教師要引導(dǎo)學(xué)生逐步達(dá)到“知兩角構(gòu)一角”或“知一角構(gòu)兩角”（方法2），甚至根據(jù)題目條件“構(gòu)造三個(gè)角”（方法3和方法4）的境界，這樣幾何變換思想方能體現(xiàn). 此外，對(duì)于模型的構(gòu)造通常技巧性較強(qiáng)、要求較高，常常需要抓住圖形的某一幾何特征，從而實(shí)施幾何變換. 而這些學(xué)生很難獨(dú)立做到，此時(shí)教師的教學(xué)策略、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)引導(dǎo)就顯得尤為重要.

總之，掌握并靈活應(yīng)用幾何變換，通過構(gòu)造基本幾何模型，能夠達(dá)到快速、準(zhǔn)確解決問題的目的，這也是探究性幾何問題常見的處理策略. 例如，本文中角的存在性問題常見的處理策略（構(gòu)造“相似三角形”“一線三等角”“母子型相似”“整體旋轉(zhuǎn)”等），均為通過添加輔助線構(gòu)造幾何模型，利用幾何變換思想將有關(guān)角的問題轉(zhuǎn)化為邊的問題進(jìn)行處理. 因此，教師在教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)基本幾何模型的滲透，注重培養(yǎng)學(xué)生的圖形變換意識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭學(xué)濤. 一道中考題的自然解法分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（10）：29-30.