多元函數(shù)極值問(wèn)題的解法研究

徐莉　周創(chuàng)

摘? 要：近幾年，許多學(xué)者對(duì)多元函數(shù)進(jìn)行了更深入的研究，有關(guān)多元函數(shù)方面的理論也逐漸完善，應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。多元函數(shù)極值問(wèn)題的解法通常是研究的重點(diǎn)，故本文也進(jìn)行了相關(guān)的分析和研究，分別是多元函數(shù)極值的概念、多元函數(shù)極值的判定、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法以及多元函數(shù)極值問(wèn)題的幾種解法，并分別進(jìn)行了相應(yīng)的總結(jié)。

關(guān)鍵詞：多元函數(shù);極值問(wèn)題;解法

中圖分類號(hào)：O174.1? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1673-7164（2021）19-0145-04

多元函數(shù)從一元函數(shù)演變過(guò)來(lái)，具有一元函數(shù)的某些基本性質(zhì)，也具有自身的一些特性。因此，在研究多元函數(shù)時(shí)應(yīng)結(jié)合一元函數(shù)來(lái)研究。解多元函數(shù)通常需要研究二元函數(shù)[1]。多元函數(shù)極值問(wèn)題的解法通常是研究的重點(diǎn)，當(dāng)然也是學(xué)習(xí)高數(shù)的重點(diǎn)，通過(guò)閱讀大量文獻(xiàn)以及結(jié)合自身學(xué)習(xí)函數(shù)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，本文對(duì)多元函數(shù)極值問(wèn)題的幾種解法進(jìn)行了分析探討，并進(jìn)行了相應(yīng)的總結(jié)。

一、多元函數(shù)極值的概念

值，也就是指多元函數(shù)在給定的范圍內(nèi)或者定義域內(nèi)的最大值或者最小值。多元函數(shù)的極值，是對(duì)于二元函數(shù)的極值來(lái)定義的。假設(shè)函數(shù)z=f（x，y）的定義域?yàn)镈，P0（x0，y0）是D內(nèi)的點(diǎn)，如果存在某個(gè)定義域內(nèi)的領(lǐng)域?qū)儆贒，該領(lǐng)域內(nèi)的點(diǎn)與P0不同，但是都存在f（x，y）<f（x0，y0），則稱f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處有極大值，點(diǎn)P0（x0，y0）稱為函數(shù)f（x，y）的極大值點(diǎn);反之，則稱f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處有極小值，點(diǎn)P0（x0，y0）稱為函數(shù)f（x，y）的極小值點(diǎn)[2]。

假設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在（x0，y0）處具有偏導(dǎo)數(shù)，并且在點(diǎn)（x0，y0）處有極值，那么

把該點(diǎn)稱為二元函數(shù)z=f（x，y）的駐點(diǎn)。如果z=f（x，y）存在偏導(dǎo)數(shù)，那么函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)。但是相反地，函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

二、多元函數(shù)極值的判定

對(duì)于多元函數(shù)極值的判定存在必要條件和充分條件，必要條件就是極值所在點(diǎn)是駐點(diǎn)。充分條件為z=f（x，y）在定義域或者某領(lǐng)域包含點(diǎn)（x0，y0）存在二階導(dǎo)數(shù)，且是連續(xù)的，如果對(duì)x進(jìn)行二次求導(dǎo)設(shè)為A，即fxx（x0，y0）=A，對(duì)x再對(duì)y偏導(dǎo)數(shù)記為B，即fxy（x0，y0）=B，對(duì)y二次求導(dǎo)設(shè)為C，即fyy（x0，y0）=C[3]。

（1）AC-B2>0，則表明具有極值，且（x0，y0）即為極值點(diǎn)，當(dāng)A<0時(shí)，存在極大值，（x0，y0）點(diǎn)處為極大值，反之，存在極小值，（x0，y0）為極小值;（2）若AC-B2<0，則表明沒(méi)有極值，即函數(shù)在（x0，y0）處不存在極值點(diǎn);（3）若AC-B2=0，則可能存在極值，也可能不存在極值，即無(wú)法判斷函數(shù)在（x0，y0）處是否存在極值，還需另作討論。

對(duì)于可進(jìn)行二次求導(dǎo)的連續(xù)的z=f（x，y）進(jìn)行極值點(diǎn)的求解時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生首先對(duì)z=f（x，y）的x，y分別進(jìn)行一次求導(dǎo)，并解，從而會(huì)得到多組駐點(diǎn)，要想判斷哪個(gè)駐點(diǎn)為所求的極值點(diǎn)，可以分別對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)進(jìn)行二次求導(dǎo)，通過(guò)AC-B2的值來(lái)判斷是否存在極值，若存在極值則進(jìn)一步判斷是極大值還是極小值。

三、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

（一）條件極值

對(duì)多元函數(shù)的概念進(jìn)行定義時(shí)，只需要研究的點(diǎn)在定義域之內(nèi)，沒(méi)有其他任何條件，這就是無(wú)條件極值，條件極值其實(shí)在生活日常的運(yùn)用中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)，例如下面一道例題：z=f（x，y）=x3y（4-x-y）在由x+y=6，求x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的極值、最大值與最小值。

此題中x+y=6，x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D就是題目的兩個(gè)條件，可以將x+y=6，轉(zhuǎn)換為y=6-x，帶入z中再研究極值。其實(shí)這一步驟是將條件極值轉(zhuǎn)換成了無(wú)條件極值進(jìn)行求解。但是，并不是任何一個(gè)有條件的極值求解都可以轉(zhuǎn)換成無(wú)條件極值，因此有學(xué)者提出拉格朗日乘數(shù)法能夠?qū)θ魏我环N條件極值題目進(jìn)行求解。

（二）拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日乘數(shù)法主要是對(duì)存在一個(gè)條件或者多個(gè)條件的多元函數(shù)的極值進(jìn)行求解。拉格朗日乘數(shù)法實(shí)質(zhì)上就是將n個(gè)變量與k個(gè)約束條件最優(yōu)解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成n+k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題，從而使得變量不再有約束條件，在轉(zhuǎn)變的過(guò)程中引入了拉格朗日乘數(shù)[4]。具體定義介紹如下：

假設(shè)給定了二元函數(shù)z=f（x，y）和條件函數(shù)為φ（x，y）=0，要求z的極值。那解答者首先要構(gòu)建拉格朗日函數(shù)L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中拉格朗日乘數(shù)就是λ，分別對(duì)x，y進(jìn)行求導(dǎo)，使其值為零，并與附加條件聯(lián)立，即

L′x（x，y）=f ′x（x，y）+λφ′x（x，y）=0

L′y（x，y）=f ′y（x，y）+λφ′y（x，y）=0

φ（x，y）=0

根據(jù)這三個(gè)方程求解出x，y，λ，這樣所求解出的（x，y）就是可能的極值點(diǎn)，要是該點(diǎn)唯一就必然是題目所要求解的點(diǎn)。

四、多元函數(shù)極值問(wèn)題的幾種解法

（一）二元導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)求解多元函數(shù)極值

如果（x，y）存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則可以通過(guò)二元導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)來(lái)求解多元函數(shù)極值。具體步驟可以分為三步，第一步是對(duì)（x，y）進(jìn)行求導(dǎo)后，解的方程組，從而得到所有的駐點(diǎn);第二步是對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)求解相應(yīng)的A、B、C的值;第三步就是通過(guò)判斷AC-B2的值從而來(lái)判斷駐點(diǎn)是否為極值，若為極值，是極大值還是極小值。值得注意的是如果AC-B2=0或者（x，y）不存在偏導(dǎo)數(shù)，則需要采取其他的求解辦法進(jìn)行求解。相應(yīng)的例題如下：求解函數(shù)f（x，y）=x3-y3+3x2+3y2-9x的極值

解（1）求解的方程組。求解出所有駐點(diǎn)，分別為（1，0），（1，2），（-3，0），（-3，2）;（2）對(duì)于每個(gè)駐點(diǎn)求解相應(yīng)的A，B，C的值;（3）通過(guò)判斷AC-B2的值從而來(lái)判斷駐點(diǎn)是否為極值。通過(guò)計(jì)算得AC-B2<0，則表明（1，2），（-3，0）不是函數(shù)的極值點(diǎn);而在點(diǎn)（1，0）處AC-B2>0，且A的值小于零，這表明（1，0）是所要求函數(shù)的極小值點(diǎn)，將（1，0）代函數(shù)可得f（1，0）=-5;在點(diǎn)（-3，2）處AC-B2<0，且A的值大于零，這表明（-3，2）是所要求函數(shù)的極大值點(diǎn)，將（-3，2）代入函數(shù)可得f（-3，2）=31。

至此，本題利用二元導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)求解完畢，得出正確答案。

（二）拉格朗日乘數(shù)法求解多元函數(shù)極值

前文也有提到過(guò)，拉格朗日乘數(shù)法實(shí)質(zhì)上就是將n個(gè)變量與k個(gè)約束條件最優(yōu)解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成n+k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題，它所要解決的是條件極值的問(wèn)題，具體的步驟和相關(guān)例題如下：求解t=xyz的極值，約束條件為（x>0，y>0，z>0，a>0）。

解（1）構(gòu)建拉格朗日函數(shù)。

（2）分別對(duì)x，y，λ進(jìn)行求導(dǎo)使其值為零。即，可以求解出x=y=z=3a，因此解答者可以得出t=xyz的極值點(diǎn)為（3a，3a，3a），再加上這個(gè)極值點(diǎn)唯一，因此本題的極值點(diǎn)一定存在，將（3a，3a，3a）代入t=xyz，可得極值為27a3。

上題中如果想嚴(yán)格地確定所求出的點(diǎn)（3a，3a，3a）是否真的為極值點(diǎn)，解答者可以將z用x，y，a表示出來(lái)，帶到t=xyz中，從而得到一個(gè)二元函數(shù)，再用二元函數(shù)求解多元函數(shù)的極值進(jìn)行求解，上節(jié)關(guān)于二元函數(shù)求解多元函數(shù)極值的方法和步驟已經(jīng)有詳述，此處不做過(guò)多贅述。

（三）參數(shù)方程求解多元函數(shù)極值

求函數(shù)z=f（x，y）的極值點(diǎn)，x=ueu，y=ue（-u）。

解dy=（1-u）e（-u）;dx=（1+t）eu，讓，求解可得u=1，駐點(diǎn)為x=e。經(jīng)過(guò)分析可以得出，當(dāng)u<1，也就是在x=e的左側(cè)時(shí)，y的導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)遞增;當(dāng)u>1，也就是在x=e的右側(cè)時(shí)，y的導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)遞減;這可以證明x=e處為函數(shù)的極大值點(diǎn)。

在對(duì)此題進(jìn)行思考和作答時(shí)，值得注意的是，當(dāng)dx=0，即u=-1，此時(shí)函數(shù)是沒(méi)有意義的，當(dāng)u=-1，x=ueu時(shí)，解答者對(duì)其求導(dǎo)可得，二次求導(dǎo)后可得其值大于零，根據(jù)定義可以看出u=1是x=ueu的極小值點(diǎn)，此時(shí)，這是z=f（x，y）的左端點(diǎn)，并不是所謂的極小值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)極值有定義，極值點(diǎn)是定義區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)。

五、總結(jié)

綜上所述，本文簡(jiǎn)單介紹了多元函數(shù)的概念、多元函數(shù)極值的判定、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法，并介紹了多元函數(shù)的三種常見(jiàn)的解法，在實(shí)際解決問(wèn)題或者解決題目時(shí)，可以具體情況具體分析，找到適合的方法和手段，更快地解決問(wèn)題[5]。

參考文獻(xiàn)：

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（薦稿人：陶立平，金華廣播電視大學(xué)副教授）

（責(zé)任編輯：汪旦旦）