讓學生學會建立方程模型解決實際問題

劉璇

摘? 要：以“實際問題與一元二次方程（3）”一課為例，在實際問題情境中，引導學生利用波利亞的數(shù)學解題步驟分析問題結(jié)構(gòu)，抽象出一元二次方程模型. 得到方程的解后，通過實際意義的解釋最終解決問題，并回顧、反思、總結(jié)解決問題的一般步驟，以及建立方程模型解決問題的思路. 通過這種教學活動的設計，發(fā)展學生的數(shù)學模型思想，提升學生分析問題和解決問題的能力.

關鍵詞：一元二次方程;實際問題;模型思想

方程是刻畫現(xiàn)實問題中數(shù)量關系的有效數(shù)學模型，應用廣泛. 模型思想是數(shù)學的基本思想之一. 把數(shù)學模型應用于現(xiàn)實問題的解決過程中，內(nèi)化為思考指南并作為思維的工具在實際問題情境中自覺運用，就是模型思想，它是學生需要具備的關鍵能力之一. 讓學生真正形成模型思想，需要通過實際問題解決中的數(shù)學建?；顒蛹捌浞此肌⒖偨Y(jié)，讓學生總結(jié)、提煉分析問題和解決問題的一般步驟，積累解決問題的數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展模型意識，提升分析問題和解決問題的能力. 利用波利亞的“怎樣解題表”中的思考步驟指導學生建立數(shù)學模型解決問題，是一種可行的教學策略. 本文以“實際問題與一元二次方程（3）”一課為例，闡述如何讓學生學會建立方程模型解決實際問題.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課選自人教版《義務教育教科書·數(shù)學》九年級上冊“21.3 實際問題與一元二次方程（3）”.

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課沿用“引入—定義—解法—應用”的方程內(nèi)容主線展開一元二次方程的教學，其與已經(jīng)學習的一元一次方程、二元一次方程組、分式方程研究主線相同，因此采用與前面相同的研究方法——方程建模、化歸求解，體現(xiàn)知識安排的螺旋上升，以及內(nèi)在邏輯的一致性和思想方法的一致性.“實際問題與一元二次方程”的內(nèi)容注重建立一元二次方程解決實際問題，而本課時強調(diào)在設計情境下解決實際問題，屬于一元二次方程知識的實際應用. 因此，本節(jié)課的教學重點是：在方程和模型思想的指導下，建立一元二次方程模型解決實際問題.

二、目標和目標解析

1. 目標

本節(jié)課的教學目標設定如下.

（1）能在實際情境中建立一元二次方程模型解決問題.

（2）進一步體會方程建模思想.

（3）體會分析問題和解決數(shù)學問題的一般步驟.

2. 目標解析

達成目標（1）的標志：能把實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，得到方程的解后，通過實際意義的解釋最終解決問題. 能系統(tǒng)分析數(shù)量關系，尋找相等的兩個量的決定要素，設未知數(shù)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關量，用等號連接相等的兩個量，最終列出一元二次方程.

達成目標（2）的標志：學生能在解決實際問題的過程中應用方程思想，在解決問題后對解題過程和方法進行反思總結(jié)，進一步體會方程的應用價值.

達成目標（3）的標志：學生能通過問題的解決和反思總結(jié)，提煉出分析問題和解決問題的一般步驟，即“理解問題—制定計劃—實施計劃—回顧”.

三、教學問題診斷分析

學生之前對實際問題的解決經(jīng)歷較少，不知道從哪里著手，朝哪個方向思考，這是學習的難點. 另外，雖然學生在小學階段接觸過“線段比”，但這個內(nèi)容在初中階段安排在“圖形的相似”中，此時學生還沒有形成對線段比含義的深刻理解，導致學生在分析等量關系時存在困難，而且找等量關系列方程一直是學生學習的難點. 因此，本節(jié)課的教學難點是：在實際問題情境中分析等量關系、列方程.

用波利亞“怎樣解題表”中的步驟指導學生選擇解題方法，指導學生建立方程模型，這是幫助學生突破難點的有效策略.

四、教學過程設計

1. 創(chuàng)設情境，呈現(xiàn)問題

情境：每一本書都有精美的封面設計. 探究：如圖1，要設計一本書的封面，封面長27 cm、寬21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形. 如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，且上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計這個封面四周邊襯的寬度？（結(jié)果保留小數(shù)點后一位.）

師生活動：教師介紹問題的背景，引導學生初步閱讀問題.

【設計意圖】體會情境的意義與價值，激發(fā)學生解決問題的興趣.

2. 理解問題

問題1：上述情境中，我們要解決什么問題？有哪些約束條件？

師生活動：教師引導學生通過閱讀問題明確目標和約束條件.

目標：給出設計方案，求出封面的左、右邊襯和上、下邊襯的寬.

約束條件：封面是長、寬分別為27 cm、21 cm的長方形，中央長方形的長是封面的長減去上、下邊襯的寬度，中央長方形的寬是封面的寬減去左、右邊襯的寬度，兩個長方形的長寬比相等，中央長方形的面積是封面面積的四分之三.

【設計意圖】引導學生明確問題的目標與約束條件，進一步理解問題.

3. 制訂計劃

問題2：根據(jù)情境的目標和約束條件，你準備用什么方法解決問題？

師生活動：教師引導學生進一步分析問題中的目標與約束條件，明確問題的結(jié)構(gòu)，選擇適當?shù)姆椒?，?guī)劃解決問題的思路.

選擇方法：決定面積的要素是長方形的長和寬，雖然長方形的長和寬不是等量變化的，但是這種變化可以用“兩個長方形的長寬比例相同”這一約束條件來確定. 因此，可以設上、下邊襯或左、右邊襯中的一個為未知數(shù)，或根據(jù)比例關系設未知數(shù)，再根據(jù)中間長方形的面積和封面的面積關系列方程解決問題.

規(guī)劃思路：教師引導學生回顧建立方程模型解決問題的一般思路，如圖2所示.

[實際問題][方程問題][實際問題的解][方程的解] [設未知數(shù)，列方程][解釋實際意義][解方程][圖2]

【設計意圖】引導學生分析目標與約束條件之間的關聯(lián)結(jié)構(gòu)，并選擇適當?shù)姆椒ê退悸分贫ń鉀Q問題的計劃.

4. 實施計劃

問題3：現(xiàn)在大家能獨立解決這個實際問題了嗎？

師生活動：學生獨立解題，教師巡視并幫助思路受阻的學生.

分析：因為封面長方形的長、寬比為27∶21 = 9∶7，所以中央長方形的長寬比也是9∶7. 設中央長方形的長和寬分別是9a cm和7a cm，由此得到上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是[1227-9a ∶ 1221-7a=][9∶7.]

學生列方程步驟如下.

步驟1：合理設未知數(shù).

設左、右邊襯的寬為7x cm，上、下邊襯的寬為9x cm，則中央長方形的長為[27-18x cm]、寬為[21-14x cm].

步驟2：根據(jù)等量關系列方程.

列方程[27-18x21-14x=34×27×21].

步驟3：解方程得到方程的解，解釋實際意義得到實際問題的解.

整理，得[16x2-48x+9=0]. 解出兩個根，舍去不符合題意的根，最后根據(jù)實際意義得到左、右邊襯的寬約為1.4 cm，上、下邊襯的寬約為1.8 cm.

【設計意圖】學生通過獨立思考，學會用數(shù)學模型表達和研究問題.

5. 回顧

教師用如下問題引導學生反思、總結(jié)問題解決的過程，積累分析問題和解決問題的活動經(jīng)驗.

問題4：你還能列出不同的方程解決這個問題嗎？

問題5：在解決這個問題的過程中你是怎樣想的？

問題6：能說說你是怎樣列出方程的嗎？

師生活動：首先，引導學生回顧和反思解題過程，檢驗解一元二次方程的正確性，檢驗方程的解與實際意義是否符合;其次，思考是否有不同的解決問題的方法，進而總結(jié)實際問題情境下如何將方程模型作為分析問題和解決問題的工具，總結(jié)出解決實際問題的一般思路（理解問題—制定計劃—實施計劃—回顧），以及建立方程模型解決問題的一般思路（實際問題—設未知數(shù)、列方程，把實際問題轉(zhuǎn)化為方程問題—解方程，得到方程的解—解釋方程解的實際意義，得到實際問題的解），讓學生體會到，在解決實際問題中，往往需要將模型思想作為重要的工具嵌入到分析問題和解決問題的活動中. 在這個過程中，要留給學生充足的時間，讓學生經(jīng)歷用不同方法解決問題并進行評價的過程.

【設計意圖】通過反思總結(jié)，提煉解決問題的一般步驟，深化學生對模型思想的理解，為今后用模型思想解決問題積累可遷移的數(shù)學活動經(jīng)驗.

6. 遷移應用

對一幅畫進行裝裱更能體現(xiàn)出協(xié)調(diào)美. 現(xiàn)要在一幅長為120 cm、寬為60 cm畫的外周裝裱白色的邊襯. 如果邊襯的左、右寬是上、下寬的一半，且邊襯面積是原畫面積的四分之一，試給出設計方案（數(shù)據(jù)精確到0.1 cm），畫出設計草圖，并標上數(shù)據(jù).

要求學生獨立思考，求出邊襯的寬，并畫出設計草圖.

【設計意圖】把提煉出來的解決問題的步驟和建立方程模型的方法遷移應用到相關聯(lián)的情境中.

7. 課堂小結(jié)

在小結(jié)時，教師提出如下問題引導學生反思回顧.

（1）本節(jié)課我們解決了哪些問題？

（2）是按照怎樣的步驟解決這些問題的？

（3）解決問題的過程中是怎樣建立方程模型的？

五、教學反思

運用方程模型解決實際問題，能融合發(fā)展學生的模型思想，提升學生分析問題和解決問題的能力. 在解決實際問題情境的過程中，由于情境并非直接指向用方程來解決，所以需要分析情境，明確目標和約束條件，在進行問題結(jié)構(gòu)和目標導向分析后發(fā)現(xiàn)需要用方程刻畫問題中的數(shù)量關系，確定解決問題的基本方向.

那么，什么因素決定了要利用方程模型解決問題？事實上，含有未知量的代數(shù)式之間有相等關系時適合用方程模型來解決問題. 要知道問題中是否有這種特征，需要在分析問題的數(shù)量結(jié)構(gòu)，明確構(gòu)成要素、決定要素（位置數(shù)）、目標要素的基礎上，從而確定是否選擇用方程模型解決問題.

在實際問題解決的過程中，用波利亞“怎樣解題表”中的步驟引領學生分析問題的結(jié)構(gòu)，明確用方程模型解決問題的方法，讓學生經(jīng)歷“理解問題—制定計劃—實施計劃—回顧”的過程，在制定計劃的過程中嵌入方程模型解決問題，在回顧階段總結(jié)、提煉步驟方法，并進行遷移應用，這是在用方程模型解決實際應用教學中比較可行的教學策略.

參考文獻：

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