明暗交織話建模

徐錚

【摘要】教學(xué)“相遇”一課要突出模型思想，可以引導(dǎo)學(xué)生在理解數(shù)量關(guān)系上搭建相遇問題的模型，同時(shí)在用方程解決問題的策略上搭建方程思想，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了建模的過程，最終掌握了相遇問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)——“速度×?xí)r間=路程”這一典型模型，兩條線一明一暗，相輔相成，有效促進(jìn)了學(xué)生建模思想的形成和解決問題能力的提升.

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；相遇問題；方程；模型思想

2013年在“特級(jí)教師研修班”的一次磨課活動(dòng)中，我上了一堂“相遇”.這是北師大版五上的一節(jié)課，在此之前，已經(jīng)分別學(xué)習(xí)過“路程、時(shí)間和速度”，也學(xué)過了列方程解應(yīng)用題，本課在“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域中把這兩者結(jié)合在一起，要上一節(jié)“用方程解決相遇問題”的課，到底該教給學(xué)生什么新的東西呢？在備課和磨課的過程中，進(jìn)行了很多的思考，慢慢明白了這節(jié)課，其實(shí)就是一個(gè)建模的過程，并且不單單是一個(gè)模型，而是有一明一暗兩條線，引導(dǎo)學(xué)生建模，獲得數(shù)學(xué)體驗(yàn)和方法.

一、明線：搭建“相遇問題”的模型

“相遇”這節(jié)課，如何讓學(xué)生明確什么是相遇問題，并真正理解相遇問題的本質(zhì)，是本節(jié)課的重中之重.我安排了六個(gè)環(huán)節(jié)，由淺入深，螺旋上升，引導(dǎo)學(xué)生逐步地揭開“相遇問題”的神秘面紗.

（一）以理想模型為起點(diǎn)

教材中的例題，是在實(shí)際公路上的相遇問題，路也不一定是一條直線，對(duì)于學(xué)生最初接觸到相遇問題時(shí)，理解上有一定的難度.于是，我將“相遇問題”最基本的模型抽象出來(lái)，用“手指走路”這個(gè)游戲展示，是理想中的相遇問題.這樣可以讓學(xué)生更快地感知到“相遇”的幾要素，抓住問題最典型的特征.

課堂片段：

師：（在黑板上畫一條線段）在數(shù)學(xué)中，我們可以把它看成是一段路程.

師：（用食指和中指站立在線段的一端，兩只手指交替在線段上前行）誰(shuí)能用數(shù)學(xué)中的一個(gè)數(shù)量關(guān)系來(lái)描述我剛才的動(dòng)作？

生：路程=速度×?xí)r間.

師：現(xiàn)在，我想邀請(qǐng)一位同學(xué)上來(lái)和老師一起走完這段路，誰(shuí)想上來(lái)？

一位學(xué)生上來(lái)，和老師分別用手指站立在線段的兩端，師喊“開始”，同時(shí)出發(fā)，相向而行，最終在線段上的某一點(diǎn)相遇.

師：誰(shuí)能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述一下，我們剛才是怎么走的？

生：從一段路的兩端同時(shí)出發(fā)，相向而行，最終相遇.

師：（用大括號(hào)標(biāo)注）這一段是老師走的路程，另外一段是學(xué)生走的路程，誰(shuí)能用一個(gè)數(shù)量關(guān)系式來(lái)表示它們之間的關(guān)系？

生：老師走的路程+同學(xué)走的路程=總路程.

師：像這樣“兩人”從“兩端”“同時(shí)”出發(fā)，“相向”而行，最終相遇，就是相遇問題，今天這節(jié)課，我們就來(lái)研究相遇問題.（板書：兩人、兩端、同時(shí)、相向）

這段短短的“路”中，學(xué)生觀察思考、親身體驗(yàn)，很快就理解了相遇的幾要素，對(duì)相遇問題的最初印象，有了一個(gè)清晰的輪廓.

（二）從理想到現(xiàn)實(shí)

當(dāng)然，生活中的相遇問題不可能都是這么理想化的，例題中就出示了學(xué)生生活中非常熟悉的乘車問題：

景寧到杭州的公路長(zhǎng)540千米，一輛中巴車從景寧出發(fā)，每時(shí)行駛80千米，一輛小汽車從杭州出發(fā)，每時(shí)行駛100千米，兩車同時(shí)開出，相向而行，經(jīng)過幾時(shí)相遇？

此題中，地點(diǎn)、車輛和事件都是學(xué)生們熟悉的，但是和導(dǎo)入又有所區(qū)別，導(dǎo)入中的線段是理想中的相遇問題，路程和線段圖一樣，都是直線，而景寧到杭州的路并不是一條直線，中巴車和小汽車也不會(huì)在高速公路上真的“相遇”，只是交錯(cuò)而過.但有了前面的鋪墊，學(xué)生們很快就判斷這是一道相遇問題，并寫出了等量關(guān)系：中巴車行駛的路程+小汽車行駛的路程=總路程.

（三）從行程到工程

第三個(gè)環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了一道工程問題，因?yàn)殡m然不是兩輛車相遇，但是這還是在公路上進(jìn)行的，學(xué)生理解起來(lái)并沒有難度.

這時(shí)，相遇問題的范圍明顯拓寬了，不一定是行程問題，在工程問題中，兩隊(duì)從兩端開始修路，最后在中間某點(diǎn)相遇，其本質(zhì)也是一樣的.為了讓學(xué)生更加容易理解，這一題我選擇了用線段圖來(lái)展示.并向?qū)W生提問：這是相遇問題嗎？引發(fā)學(xué)生去思考和比較，從而發(fā)現(xiàn)甲乙兩隊(duì)也是從公路的兩端同時(shí)出發(fā)，相向而行，最終相遇.從圖上，學(xué)生很容易得出：甲隊(duì)修的路+乙隊(duì)修的路=總路程.

（四）從實(shí)遇到虛遇

不管是行程問題還是工程問題，相向出發(fā)并相遇還是非常形象的，這樣學(xué)生就很容易被思維定式：相遇問題一定要有相遇.在這個(gè)時(shí)候，及時(shí)出現(xiàn)下題就顯得尤為重要：

有一份5700字的文件，由于時(shí)間緊急，安排甲、乙兩名打字員同時(shí)開始錄入，甲每分錄入100個(gè)字，乙每分錄入90個(gè)字，錄完這份文件需用多長(zhǎng)時(shí)間？

課堂片段：

師：這是相遇問題嗎？

生：不是，這是打字，他們沒有開車，也沒有走路，不會(huì)相遇.

生：是，我覺得列算式的方法是一樣的.

生：我認(rèn)為可以看成是相遇問題，我們可以這樣想象：如果把這些字打在一條長(zhǎng)長(zhǎng)的紙條上，甲乙分別從兩端開始打，當(dāng)兩人一起把這些字打完的時(shí)候，他們倆就相遇了.

生：甲打的字+乙打的字=總字?jǐn)?shù)，可以用前面幾題的方法去做.所以，這也是一道相遇問題.

學(xué)生一開始認(rèn)為不是相遇問題，到逐漸產(chǎn)生懷疑，最后用各種角度來(lái)說(shuō)明它也可以歸到相遇問題，學(xué)生腦子中的相遇就由前幾道題的真實(shí)相遇到了虛擬相遇，思維的范圍漸漸拓展，離相遇問題的本質(zhì)也就越來(lái)越近了.

（五）總結(jié)提升，構(gòu)建模型

課上到這里，學(xué)生也見識(shí)到了相遇問題的幾種呈現(xiàn)方式，是該停下腳步，整理和思考一下了.于是，安排了對(duì)比和小結(jié)的環(huán)節(jié).

課堂片段：

課件同時(shí)出示四個(gè)線段圖和四條等量關(guān)系.

師：剛才，我們學(xué)習(xí)了四道題目，你發(fā)現(xiàn)它們之間有什么共同點(diǎn)？

四人小組討論.

生：這些都是相遇問題.

生：它們的等量關(guān)系都是差不多的.

生：我覺得它們都是有兩個(gè)人、兩個(gè)隊(duì)或者兩方一起做一件事情.

生：恩，它們都是合作完成一件事情.

師：是啊，只要是兩者合作完成一件事情，我們都可以看成相遇問題，用我們今天學(xué)習(xí)的方法來(lái)解決.生活中還有什么事情是可以看成相遇問題的呢？

生：兩個(gè)工程隊(duì)蓋房子、兩人一起做零件……

自此，相遇問題的內(nèi)涵得到了提升，學(xué)生心中已經(jīng)有了一個(gè)清晰的模型，明白了只要兩者合作完成一件事情，都可以看成相遇問題，就可以用今天所學(xué)的方程來(lái)解決.

（六）抓住本質(zhì)，再次升華

但僅僅到這，并不是相遇問題模型的全部，在拓展部分出示了古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一道題目：今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今鳧雁俱起.問何日相逢.

這明顯是一道相遇問題，但是總路程并沒有告訴我們，如果我們把總路程看成是單位“1”的話，野鴨和大雁的速度也已知，即可根據(jù)“野鴨飛的路程+大雁飛的路程=總路程”來(lái)列出方程.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)相遇問題的總路程或工作總量沒有告知，而看成是單位“1”的話，題目就變成的工程問題.從本質(zhì)上說(shuō)，相遇問題就是工程問題的前身，此時(shí)，相遇問題的模型進(jìn)一步得到了升華.

二、暗線：搭建用方程解應(yīng)用題的解題策略的模型

在用方程解決相遇問題的過程中，“線段圖—等量關(guān)系—列方程解決問題”是密不可分的三環(huán)節(jié)，為學(xué)生正確解決問題區(qū)分了梯度、降低了難度，也是學(xué)生必須掌握的幾個(gè)策略.我安排了以下四個(gè)環(huán)節(jié)，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生在不知不覺中構(gòu)建了解題策略的模型.

（一）初步認(rèn)識(shí)線段圖，體驗(yàn)等量關(guān)系

在導(dǎo)入部分，我先在黑板上畫出一條線段，并和學(xué)生在線段上用手指走路，后面用大括號(hào)標(biāo)注了教師走的部分和學(xué)生走的部分，寫出了等量關(guān)系：教師走的路程+學(xué)生走的路程=總路程.此時(shí)，黑板上留下的板書其實(shí)就是一個(gè)線段圖，學(xué)生充分經(jīng)歷了這個(gè)線段圖形成的過程，并對(duì)線段圖有了動(dòng)態(tài)的認(rèn)識(shí)，對(duì)等量關(guān)系有了初步的印象，為例題中學(xué)生自己嘗試畫線段圖奠定了基礎(chǔ).并且，留在黑板上的板書，也是對(duì)后面不會(huì)畫線段圖的同學(xué)，提供了一個(gè)提醒和示范的作用.

（二）親自設(shè)計(jì)線段圖，說(shuō)出等量關(guān)系

例題中，先是讓學(xué)生用自己會(huì)的方法解決問題，有的學(xué)生用算術(shù)方法，也有的學(xué)生在黑板上的等量關(guān)系的遷移下，想到用方程解決問題.在展示了學(xué)生的方程后，我提問：你能看懂這個(gè)方程嗎？能不能根據(jù)這個(gè)方程畫出線段圖呢？學(xué)生開始嘗試畫出線段圖，在巡回指導(dǎo)的過程中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生依照原來(lái)的平面圖用彎曲的線來(lái)畫，提醒學(xué)生在數(shù)學(xué)中我們可以把總路程抽象成一段直的線段.又有部分學(xué)生在畫出總路程之后，不知道下一步該做什么，此時(shí)就提醒這些學(xué)生，看看黑板上的那個(gè)線段圖，觀察圖中標(biāo)注出了什么東西，并在線段圖上說(shuō)一說(shuō)等量關(guān)系.

（三）依照線段說(shuō)關(guān)系，嘗試列出方程

在剛才的題目中，學(xué)生是由文字到方程，再畫出線段圖的，于是在下面的“工程隊(duì)”的題目中，我故意不出現(xiàn)文字，而是直接出示線段圖，讓學(xué)生根據(jù)線段圖，寫出題目中的等量關(guān)系，并完成題目.于是這個(gè)環(huán)節(jié)的重點(diǎn)，就由上個(gè)環(huán)節(jié)的“畫線段圖”，轉(zhuǎn)移到了“寫等量關(guān)系”上來(lái).能不能找準(zhǔn)等量關(guān)系，是準(zhǔn)確列出方程的關(guān)鍵，因此，這個(gè)環(huán)節(jié)值得我們?nèi)饽夭实孛枥L.

教學(xué)片斷：

師：觀察這幅線段圖，你能讀懂什么？

生：有甲乙兩個(gè)工程隊(duì)，甲單每天修70米，乙每天修50米，他們一起修一條長(zhǎng)1200米的公路，幾天可以修完？

師：這是一道相遇問題嗎？它和剛才的題目有什么相同和不同？

生：雖然他們不是走路和開車，但是他們也是從路的兩端同時(shí)出發(fā)，相向而修，最終把路修完的時(shí)候就相遇了，所以我認(rèn)為是相遇問題.

師：能說(shuō)一說(shuō)每一段線段表示什么意思嗎？

生：左邊是甲工程隊(duì)修的公路，右邊是乙工程隊(duì)修的公路.合起來(lái)是總路程.

師：可以用一個(gè)等量關(guān)系來(lái)概括嗎？

生：甲隊(duì)修的路程+乙隊(duì)修的路程=總路程.

（四）抓住本質(zhì)建模型，獨(dú)立解決問題

前面幾個(gè)環(huán)節(jié)完成之后，學(xué)生對(duì)列方程解決相遇問題的解題步驟有了較清晰的認(rèn)識(shí)，于是在“甲乙打字”的題目中，安排了鞏固練習(xí)，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程，并解決問題.

在這幾個(gè)環(huán)節(jié)中，從線段圖到等量關(guān)系到方程，雖然呈現(xiàn)的形式不同，但學(xué)生慢慢抓住了最本質(zhì)的東西，就是“甲完成的+乙完成的=工作總量”.并利用這個(gè)關(guān)系列出方程，解決了問題.

新課標(biāo)中明確指出：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展.”在“相遇”這節(jié)課中，讓學(xué)生由淺入深的親身經(jīng)歷了建模的過程，并讓學(xué)生不斷地提出質(zhì)疑和解釋，最終掌握了相遇問題的模型以及用方程解決相遇問題的數(shù)量關(guān)系的模型，兩條線一明一暗，相輔相成，有效促進(jìn)了學(xué)生建模思想的形成和解決問題能力的提升.

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