深度理解幾何概念，促進學(xué)科關(guān)鍵能力的形成

金雯雯 易良斌

摘? 要：概念教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力具有重要意義. 文章以“認識三角形”的教學(xué)內(nèi)容為載體，基于范希爾幾何思維水平研究，從信息、定向、解釋、自由定位和整合五個階段開展幾何概念課的教學(xué)研究，由此提出培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的策略：情境引入，從感知和共情中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象;活動探究，從探索與合作中培養(yǎng)幾何直觀;難點突破，從批判與思辨中培養(yǎng)邏輯推理;改編題目，從創(chuàng)新與檢驗中培養(yǎng)問題解決;思維導(dǎo)圖，從構(gòu)建與整合中培養(yǎng)整體思維.

關(guān)鍵詞：深度理解;關(guān)鍵能力;高階思維;幾何概念

一、緣起：幾何概念課教學(xué)中的學(xué)生數(shù)學(xué)思維現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)是一門概念性很強的學(xué)科，概念是發(fā)展思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ). 作為數(shù)學(xué)三大核心領(lǐng)域之一的幾何學(xué)，研究幾何概念課具有十分重要的啟示意義. 而三角形作為初中階段學(xué)生接觸最頻繁、最為熟悉的幾何圖形，教學(xué)中又存在很多難點. 故筆者選擇浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）八年級上冊“認識三角形”一課進行概念課教學(xué)研究.

在幾何概念課教學(xué)中，教師往往會因為過于注重題目分析，而缺乏數(shù)學(xué)思維性教學(xué)，使得學(xué)生顧此失彼，無法深入學(xué)習(xí).

1. 學(xué)生疲于應(yīng)付課堂習(xí)題，缺乏必要的思考時間

教學(xué)中，部分教師為了提升學(xué)生的成績，在課堂上著重針對習(xí)題部分進行教學(xué). 學(xué)生忙于做題、修改訂正，注重題目的完成率，遇到有思維含量的題目，也沒有時間進行深入思考.

對于“認識三角形”一課，教師容易忽視對三角形概念的教學(xué). 其實，該幾何概念中蘊含著豐富的內(nèi)容，教師應(yīng)該深度挖掘，不能只注重題目的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生認識概念的自然形成與落實更加重要.

2. 學(xué)生對知識理解模糊，缺乏應(yīng)有的思維支點

初中生的思維具有片面性和表面性，在分析問題時，經(jīng)常被事物的個別特征或外部特征所困擾，難以深入分析事物的本質(zhì). 在一個關(guān)于兒童和青少年獲得幾何概念的實驗中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生一般都能歸納出某幾何概念較為明顯而重要的性質(zhì)，但也容易遺漏.

本節(jié)課是章節(jié)起始課，也是初中階段幾何學(xué)的開端. 如果學(xué)生的思維不能立足于整體概念進行建構(gòu)，則會導(dǎo)致對知識內(nèi)容理解不到位和記憶困難. 因此，在數(shù)學(xué)幾何概念課中培養(yǎng)并提升學(xué)生的高階思維是十分有必要的.

二、架構(gòu)：高階思維導(dǎo)向下的幾何概念課教學(xué)思路

發(fā)展學(xué)生的高階思維是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的應(yīng)有追求，目的在于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 筆者認為，指向高階思維培養(yǎng)的幾何概念課，應(yīng)該落腳在數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理三個方面. 數(shù)學(xué)抽象體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則是高階思維所要求的. 在三角形的概念概括中，需要通過構(gòu)圖落實三角形的概念要點，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 在三邊關(guān)系的證明中蘊涵了邏輯推理素養(yǎng).

范希爾夫婦提出的“幾何思維五階段”和幾何概念課的高階思維培養(yǎng)相通，其認為學(xué)生需要在教師的引導(dǎo)下通過信息、定向、解釋、自由定位、整合五個階段，才能達到新的思維水平，即培養(yǎng)高階思維. 幾何思維五階段對應(yīng)了本節(jié)課的課堂環(huán)節(jié)，在每個環(huán)節(jié)要注重培養(yǎng)學(xué)生對應(yīng)的關(guān)鍵能力，目的是通過高階思維的培養(yǎng)，落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

幾何概念課教學(xué)流程框架如圖1所示.

階段1：信息. 在本節(jié)課中，該階段處在課堂剛開始的環(huán)節(jié)，學(xué)生需要理解三角形的概念，教師要了解學(xué)生的概括能力和思維水平，從而引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)抽象，理解概念的本質(zhì).

階段2：定向. 該階段處于本節(jié)課的知識點講解環(huán)節(jié)，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進行探究，并得到本節(jié)課的重點——三角形任何兩邊的和大于第三邊. 利用數(shù)形結(jié)合，將未知概念轉(zhuǎn)化為已知概念.

階段3：解釋. 教師在該階段講解本節(jié)課的難點，由于學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過不等式的基本性質(zhì)，無法完整給出證明過程，教師可以在討論的過程中進行引導(dǎo).

階段4：自由定位. 教師在該階段引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)的基礎(chǔ)上改編題目，允許學(xué)生有不同想法，教師要對其正確性進行判斷.

階段5：整合. 該階段是課堂小結(jié)階段，采用思維導(dǎo)圖的形式，幫助學(xué)生歸納、整合知識，形成三角形學(xué)習(xí)的整體框架.

三、實踐：指向高階思維培養(yǎng)的幾何概念課教學(xué)

1. 信息階段——情境引入，從感知與共情中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想之一，是培養(yǎng)理性思維的重要構(gòu)成要素. 在學(xué)習(xí)“認識三角形”一課之前，學(xué)生已經(jīng)對三角形有了初步的認識，但是對于三角形的概念，學(xué)生仍無法完整回答或者并沒有完全理解其內(nèi)涵. 在本節(jié)課的初始階段，筆者設(shè)計了回顧舊知、描述概念等活動，以便幫助學(xué)生進一步認識三角形的概念，感受數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴謹性. 以下是筆者在情境引入階段通過提問引發(fā)學(xué)生高階思維的教學(xué)片斷.

師：大家回憶一下，我們在小學(xué)階段學(xué)習(xí)過關(guān)于三角形的哪些知識？

生1：計算三角形的面積，三角形的內(nèi)角和為180°，按角可以把三角形分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形，三角形的兩邊之和大于第三邊.

師：誰能描述一下什么是三角形？

生2：由三條邊組成的圖形叫做三角形.

師：圖2是三角形嗎？

生3：圖2不是三角形，由三條邊組成的封閉圖形叫做三角形.

師：圖3是三角形嗎？

生：不是.

師：封閉圖形？能不能用一個更加形象的詞進行描述.

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出“首尾順次相接”.

師：圖4滿足“首尾順次相接”，但它是不是三角形？請繼續(xù)完善定義.

生4：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

師：大家在教材上劃出概念，圈出關(guān)鍵詞.

練習(xí)：在紙上隨意畫一個三角形.

在信息階段，通過多次追問幫助學(xué)生透徹理解三角形的定義，而不是簡單的定義教法. 這是課堂起始階段，學(xué)生的思維剛剛轉(zhuǎn)換到上課狀態(tài)，注意力不集中，故要設(shè)法在本階段通過追問吸引學(xué)生的注意力. 追問要注意如下幾點.

（1）問之有據(jù)——規(guī)范性和科學(xué)性.

教師應(yīng)該在教學(xué)過程中對學(xué)生的思維方式和接受程度進行較為深入地了解. 初中生的思維水平處于形象思維到抽象思維的過渡階段，以形象思維為主，抽象思維剛開始發(fā)展. 為此，教師在設(shè)計提問時要化隱為顯，將思維可視化.

（2）問之有序——邏輯性和層次性.

教師要結(jié)合課程內(nèi)容的知識點和重、難點，并借助最近發(fā)展區(qū)理論設(shè)計提問. 建議教師對提示性提問進行深入挖掘，力求做到層層設(shè)疑、步步遞進、由點入面、舉一反三. 設(shè)計提示性提問時，需要關(guān)注學(xué)生幾何思維水平的不同階段，立足學(xué)生進行設(shè)問，幫助學(xué)生梳理證明過程的依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，歸納、總結(jié)出概念，完成概念精致的過程.

（3）問之有趣——趣味性和藝術(shù)性.

使用形象、幽默的語言設(shè)計提問可以提升學(xué)生的注意力，引發(fā)學(xué)生的好奇心，提升學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣，將學(xué)生引入課堂并成為課堂的主體. 提問要能引發(fā)學(xué)生積極思考，從而將思維從低階向高階提升.

2. 定向階段——活動探究，從探索與合作中培養(yǎng)直觀想象

探究活動的設(shè)計是否合理直接影響學(xué)生對知識的掌握程度. 筆者通過多次課堂教學(xué)實踐，發(fā)現(xiàn)以下兩種策略可以在活動探究階段有效促進學(xué)生的合作學(xué)習(xí)，以便更好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

（1）在發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)中自主探究.

數(shù)學(xué)概念的生成往往需要學(xué)生經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)過程. 教師應(yīng)該精心設(shè)計活動環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，形成合理猜想，并通過驗證得出結(jié)論.

（2）在合作式學(xué)習(xí)中掌握知識.

合作學(xué)習(xí)可以促進學(xué)生之間產(chǎn)生思維碰撞，有利于高階思維的培養(yǎng). 教師需要在合作學(xué)習(xí)前期做好充足的準備，將學(xué)生按照思維水平進行合理分組，以確保合作環(huán)節(jié)的流暢性.

筆者在教學(xué)中設(shè)計了關(guān)于理解三角形邊長的內(nèi)容，意在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明的數(shù)學(xué)活動過程，讓學(xué)生有條理地、清晰地闡述自己的觀點，理解并掌握“三角形任何兩邊的和大于第三邊”的性質(zhì).

探究活動：有四根長度分別為11 cm，9 cm，5 cm，4 cm的小棒，從中任取三根，有幾種取法？在不同的取法中，哪幾種可以組成三角形？猜想三角形的兩邊之和與第三邊有什么關(guān)系？嘗試證明你的猜想.

師：從四根小棒中任選三根，怎么選？有幾種選法？

教師引導(dǎo)學(xué)生逆向思考去掉一根小棒，防止遺漏.

生5：一共有四種選法，其中有兩種選法可以組成三角形.

學(xué)生搭建的三角形示意圖如圖5所示.

師：為什么有的情況做不到“首尾順次相接”？怎樣的三條線段可以做到“首尾順次相接”呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生猜想：三角形任何兩邊的和大于第三邊.

師：可以運用學(xué)過的哪個性質(zhì)證明該猜想？

生6：兩點之間線段最短.

教師進行展開說理，同時使用符號語言表示.

師：我們已經(jīng)知道了三角形任何兩邊的和大于第三邊. 反過來，給出三條線段的長，你能判斷其能否組成三角形嗎？

例? 判斷下列各組線段中，哪些能組成三角形，哪些不能組成三角形，并說明理由.

（1）a = 2.5 cm，b = 3 cm，c = 5 cm;

（2）e = 6 cm，f = 6 cm，g = 12 cm.

【評析】大部分學(xué)生會在驗證任意兩條邊之和都大于第三邊之后才進行判斷，教師要肯定這種做法. 同時還要展示優(yōu)秀做法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用直接比較兩條相對短的邊的和與最長邊長度的方法解決問題. 在這個過程中要提問學(xué)生為什么這樣做，這樣做的依據(jù)是什么.

通過探究活動，讓學(xué)生感受三角形存在的條件，同時讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)實例、猜想、驗證的探究過程，掌握證明問題的基本思路和基本方法. 在探索中，學(xué)生通過小棒搭建三角形感受幾何直觀. 利用反例排除、正例驗證、嚴格推理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、證明的命題探究過程，不僅可以幫助學(xué)生發(fā)展空間想象能力，還可以鍛煉學(xué)生綜合運用圖形和空間想象解決問題的能力，進而提升數(shù)形結(jié)合能力.

3. 解釋階段——難點突破，從批判與思辨中培養(yǎng)邏輯推理

該階段是難點突破階段，主要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力. 該環(huán)節(jié)的難點是讓學(xué)生理解“三角形任何兩邊的差小于第三邊”，學(xué)生此前沒有學(xué)習(xí)過不等式的基本性質(zhì)，缺乏證明兩邊的差和第三邊關(guān)系的能力. 所以教師要指導(dǎo)學(xué)生突破難點，促進高階思維的形成.

師：猜想三角形任何兩邊的差和第三邊的關(guān)系，并嘗試證明.

學(xué)生猜想三角形任何兩邊的差小于第三邊.

生7：可以采用疊合法進行驗證. 如圖6，設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c. 以點A為圓心、AC為半徑作弧，交邊AB于點O，則OB = c - b. 以點B為圓心、OB為半徑作弧，與邊BC有交點，則可以確定[a>c-b，] 即三角形的任意兩邊之差小于第三邊.

師：非常好，這樣的想法很不錯. 但是這并不是理論證明的過程. 誰能證明該結(jié)論成立？

生8：可以列舉幾個邊長試一試.

生9：通過列舉進行證明是概括不了所有情況的. 應(yīng)該采用嚴格的邏輯推理，對不等式的兩邊同時減去某一項來進行證明.

由[a+b>c，a+c>b，b+c>a，] 得[a>c-b，c>b-a，b>a-c.]

練習(xí)：三角形的三邊長分別是3，5，x，求x的取值范圍.

變式：已知三角形的三條邊長分別是a，b，x，其中[a>b，] 求x的取值范圍.

【評析】利用三角形任何兩邊的和、兩邊的差與第三條邊的之間關(guān)系，可以確定第三條邊的取值范圍. 在這里分別設(shè)置一道練習(xí)題和變式題，目的是基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)展開思維訓(xùn)練，以提升學(xué)生的邏輯思維.

數(shù)學(xué)知識具有嚴密性，思維具有批判性. 新、舊知識相輔相成，學(xué)生認知活動的展開要以已有經(jīng)驗為前提. 在教學(xué)中，教師要利用學(xué)生已有的知識來搭建橋梁，引導(dǎo)學(xué)生將未知轉(zhuǎn)化為已知、能知，在獲取新知的過程中發(fā)展高階思維. 批判性思維意味著積極質(zhì)疑，不盲從權(quán)威，推理合乎邏輯和基本事實，實事求是.

4. 自由定位階段——改編題目，從創(chuàng)新與檢驗中培養(yǎng)問題解決

在自由定位階段，教師要選擇合適的問題進行提問，鼓勵學(xué)生采用不同的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生對問題及解法進行反思和說明，以培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，提升學(xué)生的思維水平. 筆者在該階段開放課題，讓學(xué)生對題目進行改編或創(chuàng)新，并自行進行解答. 學(xué)生熱情參與，引發(fā)了課堂的高潮.

師：試對前述練習(xí)題進行改編和創(chuàng)新. 同桌之間可以相互交流.

改編題1：△ABC的三邊長分別為[a，b，c，] 且滿足[a-9+b-22=0，] 若[c]為奇數(shù)，則[c]的值為? ? ?.

改編題2：已知一個三角形的兩條邊長分別為3 cm和4 cm，若第三邊為整數(shù)，則第三邊的長可以是? ? .

改編題3：已知△ABC的三邊長a，b，c均為整數(shù)，且滿足[a-4+b-12=0，] 求c的值.

開放性問題具有研究價值，改編題目可以促進學(xué)生思考命題者的用意. 在改編題目的過程中，學(xué)生要思考問題可以如何進行改編，以及改編是否有效，這個過程的本質(zhì)就是高階思維. 讓學(xué)生參與評價可以引發(fā)學(xué)生對題目的合理性進行驗證和思考，既可以檢驗學(xué)生對知識的掌握程度，又有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

5. 整合階段——思維導(dǎo)圖，從構(gòu)建與整合中培養(yǎng)整體思維

思維導(dǎo)圖融文字與圖形于一體，是一種開發(fā)思維潛力、提升思維能力的工具. 學(xué)生在制作思維導(dǎo)圖的過程中需要將知識融會貫通，并進行整合. 思維導(dǎo)圖有圓圈圖、氣泡圖、樹狀圖、括號圖、流程圖等多種形式. 數(shù)學(xué)課堂中經(jīng)常使用的有括號圖和流程圖，這兩種思維導(dǎo)圖的優(yōu)勢在于能夠簡潔、直觀地體現(xiàn)思維過程. 將思維導(dǎo)圖融入課堂教學(xué)可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的高階思維.

基于路徑學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂是目前的研究主流. 通過三角形的學(xué)習(xí)路徑，可以明確本章知識點，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

師：本節(jié)課我們從三角形的概念展開研究，從三角形的組成要素進行概念劃分，用高效的合作學(xué)習(xí)探究三角形邊的性質(zhì)，形成了對三角形的整體研究框架，體會了平面幾何的研究方法，即“定義—表示—劃分—性質(zhì)—應(yīng)用”，為將來研究四邊形奠定了基礎(chǔ).

師生共同完成如圖7所示的學(xué)習(xí)路徑圖.

（1）教學(xué)要注重思維的延續(xù)性.

思維的延續(xù)性指的是在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師要尊重學(xué)生的思維過程，通過循序漸進的引導(dǎo)，在學(xué)生已有知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，保持學(xué)生思維順暢，這符合“以學(xué)生為主體”的理念.

（2）教學(xué)要注重思維的整體性.

思維的整體性指的是系統(tǒng)地學(xué)習(xí)，將新、舊知識串聯(lián)起來. 利用思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生整體地理解知識，構(gòu)建起知識體系. 有利于學(xué)生通過思維類比將三角形的學(xué)習(xí)框架延伸到四邊形和特殊四邊形的學(xué)習(xí)中.

四、結(jié)束語

本文是筆者在高階思維導(dǎo)向下的一次探索與反思，基于幾何思維水平，設(shè)計了有關(guān)三角形學(xué)習(xí)路徑的課堂. 教學(xué)時，在信息階段，進行有思維梯度且有利于突破難點的設(shè)問，完善概念的精致過程;在定向階段，設(shè)計問題引導(dǎo)、高效合作的活動探究，引導(dǎo)學(xué)生感受問題解決的一般路徑;在解釋階段，設(shè)計認知沖突、批判反思的論證環(huán)節(jié)，進行重、難點的落實突破;在自由定位階段，設(shè)計形式新穎、啟發(fā)思維的改編活動，測評教學(xué)目標的精準落實;在整合階段，啟發(fā)構(gòu)建框架、整合知識的思維導(dǎo)圖，促進學(xué)生整體思維的提升.

在今后的教學(xué)中，希望能繼續(xù)將此項研究推廣到代數(shù)領(lǐng)域，以及初中數(shù)學(xué)的其他課堂中，進而改善教學(xué)現(xiàn)狀，落實對學(xué)生高階思維的培養(yǎng).

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