基于模糊數(shù)學(xué)的博弈論組合賦權(quán)法邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)

周錦濤

(三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443000)

邊坡失穩(wěn)是工程中常見的問題，嚴(yán)重影響著工程安全，而邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)在邊坡工程有著重要的作用，是判斷邊坡是否失穩(wěn)的重要依據(jù)，所以如何對(duì)邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行合理評(píng)價(jià)是一個(gè)值得研究的問題。目前，很多專家提出了不同的意見，王采慶等[1]將天然邊坡看作是部分信息已知、部分信息未知的灰色系統(tǒng)，用灰色聚類方法預(yù)測(cè)其穩(wěn)定性；李克鋼等[2]采用改進(jìn)的動(dòng)態(tài)權(quán)值評(píng)價(jià)方法，對(duì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)價(jià)，利用關(guān)聯(lián)度函數(shù)在一定程度上克服了專家評(píng)分的主觀性；趙永虎等[3]利用可拓理論建立了物元模型，結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)分析法確定各評(píng)價(jià)因子的權(quán)重，對(duì)黃土斜坡進(jìn)行穩(wěn)定性評(píng)價(jià)，彌補(bǔ)了可拓法中權(quán)重難以確定的不足。上述研究成果在實(shí)際應(yīng)用中取得了較好的效果，但存在一定局限性，對(duì)于邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)，最主要的問題就是確定合理的指標(biāo)權(quán)重?；疑垲惙ㄔ诰垲愔笜?biāo)的選取過程中，過于依賴經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)，精度較低；改進(jìn)的動(dòng)態(tài)權(quán)值評(píng)價(jià)方法雖然改善了確定權(quán)重過程中的主觀性問題，但對(duì)于理想對(duì)象的選取尚無統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

本文在上述研究基礎(chǔ)上提出基于模糊數(shù)學(xué)的模糊綜合評(píng)價(jià)模型，采用博弈論思想將以層次分析法確定的主觀權(quán)重和以熵權(quán)法確定的客觀權(quán)重組合起來得到組合權(quán)重，兼顧了主客觀兩方面，綜合考慮指標(biāo)之間的關(guān)系，賦權(quán)結(jié)果較2種單一的賦權(quán)方法更科學(xué)合理，從而為邊坡的治理提供科學(xué)依據(jù)和建議。

1 模糊綜合評(píng)價(jià)模型的建立

邊坡的穩(wěn)定性是由多種因素共同影響的結(jié)果，為了綜合考慮多種因素的影響，本文結(jié)合蔣家淌滑坡實(shí)例建立了模糊綜合評(píng)價(jià)模型[4-5]，將邊坡評(píng)價(jià)過程中難以量化的、非確定性指標(biāo)的定性評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化為定量評(píng)價(jià)，使每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)相對(duì)于不同的等級(jí)都有不同的隸屬度，評(píng)價(jià)結(jié)果更清晰。

1.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)的確定及評(píng)價(jià)等級(jí)的劃分

根據(jù)邊坡的實(shí)際地質(zhì)環(huán)境條件和評(píng)價(jià)系統(tǒng)的合理性[6-7]，選取地形地貌、地質(zhì)結(jié)構(gòu)、巖土性質(zhì)、賦存環(huán)境4個(gè)一級(jí)指標(biāo)Ci，以及坡高、節(jié)理發(fā)育與組合、內(nèi)摩擦角、大氣降雨等16個(gè)二級(jí)指標(biāo)Cij，見圖1。

圖1 邊坡穩(wěn)定性綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)

根據(jù)巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性，結(jié)合蔣家趟邊坡地質(zhì)情況將評(píng)價(jià)結(jié)果劃分為4個(gè)等級(jí)[8]，即：穩(wěn)定(Ⅰ)、較穩(wěn)定(Ⅱ)、不穩(wěn)定(Ⅲ)、極不穩(wěn)定(Ⅳ)，表示為Nj={N1,N2,N3,N4}={Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ}。

1.2 確定模糊關(guān)系矩陣

分別對(duì)每一個(gè)因素進(jìn)行評(píng)價(jià)，確定評(píng)價(jià)對(duì)象對(duì)評(píng)價(jià)集合Ni的隸屬程度，從而得到模糊關(guān)系矩陣R。例如對(duì)一級(jí)指標(biāo)C1，其模糊關(guān)系矩陣如下：

(1)

式中rij——一級(jí)指標(biāo)C1中第i個(gè)二級(jí)指標(biāo)對(duì)于評(píng)價(jià)等級(jí)j的隸屬程度。

1.2.1定量指標(biāo)

對(duì)所有指標(biāo)進(jìn)行考察得知，坡高、坡腳、植被覆蓋率、內(nèi)摩擦角、黏聚力、大氣降雨為定量因素，故采用嶺形分布函數(shù)確定其隸屬度取值[9]。

(2)

(3)

(4)

式中x——評(píng)價(jià)指標(biāo)的實(shí)際取值；a、b、c——評(píng)價(jià)級(jí)別的基準(zhǔn)界限值，對(duì)于輸入的定量數(shù)據(jù)，經(jīng)隸屬函數(shù)模糊化后寫成矢量式uⅠ(x)、uⅡ(x)、uⅢ(x)、uⅣ(x)，它們分別對(duì)應(yīng)定量指標(biāo)各評(píng)語的隸屬度。

1.2.2定性指標(biāo)

邊坡的穩(wěn)定與否,不僅取決于巖土體內(nèi)部地質(zhì)結(jié)構(gòu),也取決于外部環(huán)境因素的影響,是多種因素的綜合作用。根據(jù)已有的研究結(jié)果[10]以及國家規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)[11-13],遵循重要性、獨(dú)立性和易測(cè)性的原則,同時(shí)考慮實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)[14-15],結(jié)合邊坡實(shí)際資料確定其定性指標(biāo)隸屬度取值見表1。

表1 定性指標(biāo)隸屬度取值

1.3 權(quán)重的確定

1.3.1層次分析法

層次分析法是目前計(jì)算主觀權(quán)重的常用方法，廣泛應(yīng)用在解決復(fù)雜問題的決策分析方面，其具體的計(jì)算步驟如下。

a)根據(jù)實(shí)際情況建立層次分析結(jié)構(gòu)模型。

b)構(gòu)造判斷矩陣[16-17]。根據(jù)目標(biāo)層確定各因素之間相對(duì)重要程度，結(jié)合九段標(biāo)度法(表2)，構(gòu)造兩兩比較的判斷矩陣A見式(5)。

表2 重要性標(biāo)度含義

(5)

式中aij——比例標(biāo)度，表示同層次中第i個(gè)元素與第j個(gè)元素相比前者的重要程度。

(6)

(7)

e)一致性檢驗(yàn)[18]。依據(jù)公式AW=λmaxW，求出最大特征值λmax，進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，見式(8)。

近年來，云計(jì)算因其具有高速的數(shù)據(jù)分析計(jì)算、數(shù)據(jù)共享、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)等服務(wù)，受到了各行各業(yè)的廣泛重視，手機(jī)購物、支付、交易等都是通過云計(jì)算來實(shí)現(xiàn)的，云計(jì)算會(huì)自動(dòng)分析出不同人群的興趣點(diǎn)，并自動(dòng)分別給他們推薦各自喜歡的不同商品，這樣的服務(wù)給企業(yè)提供了創(chuàng)造價(jià)值的新思路；云計(jì)算還可以讓企業(yè)能適時(shí)地獲取網(wǎng)民對(duì)不同商品的關(guān)注數(shù)據(jù)變化情況。圖1顯示了微博的微指數(shù)產(chǎn)品對(duì)30天內(nèi)網(wǎng)民對(duì)洗衣粉和洗衣液的關(guān)注數(shù)據(jù)對(duì)比情況，網(wǎng)民對(duì)洗衣液的興趣度明顯高于洗衣粉，云計(jì)算的應(yīng)用具有巨大的商業(yè)價(jià)值。

(8)

式中λmax——判斷矩陣最大特征值；CI——一致性指標(biāo)；CR——一致性比率；RI——平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，根據(jù)n不同取值見表3。

表3 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI

當(dāng)CR<0.1時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣A具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整判斷矩陣，重復(fù)上述步驟，直到滿足一致性檢驗(yàn)為止。

1.3.2熵權(quán)法

熵權(quán)法廣泛應(yīng)用于計(jì)算客觀權(quán)重方面[19]，主要依據(jù)客觀資料對(duì)指標(biāo)賦權(quán)，避免了因?yàn)橹饔^人為因素的影響而導(dǎo)致賦權(quán)結(jié)果不準(zhǔn)確的問題。其計(jì)算步驟如下。

a)設(shè)有m個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象、n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)構(gòu)成的模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣R=(rij)m×n,見式(9)。

(9)

式中i、j——第i個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象和對(duì)應(yīng)的第j個(gè)評(píng)價(jià)值(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)。

b)計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)的熵值ej，見式(10)。

(10)

c)確定熵權(quán)，見式(11)。

(11)

博弈論又被稱為對(duì)策論，是研究具有斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)性質(zhì)現(xiàn)象的理論和方法。本研究就是通過博弈論的思想將主客觀權(quán)重組合，進(jìn)而得出最優(yōu)組合權(quán)重[20]，其具體的操作步驟如下。

a)構(gòu)造可能的權(quán)重集。假設(shè)使用L種方法計(jì)算權(quán)重，可知其中任意的一個(gè)權(quán)重集合以及這些權(quán)重向量的任何線性組合構(gòu)成一組可能的權(quán)重，見式(12)。

(12)

式中ω——最終的權(quán)重集的綜合權(quán)重向量；βk——權(quán)重系數(shù)，且βk>0。

b)尋找最合理的權(quán)重向量。使用博弈論集結(jié)模型對(duì)L個(gè)權(quán)重集的權(quán)重系數(shù)βk進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，可以得到與各種權(quán)重分配方法協(xié)調(diào)、一致和平衡的組合權(quán)重結(jié)果，見式(13)。

(13)

式中ωg——第g種方式計(jì)算得出的權(quán)重集合。

c)求得最優(yōu)組合系數(shù)。根據(jù)矩陣的微分性質(zhì)，式(13)的最佳一階導(dǎo)數(shù)條件見式(14)，最終求得最優(yōu)組合系數(shù)。

(14)

求出該解β=(β1，β2，…，βk)，進(jìn)行歸一化處理，得出組合權(quán)重，見式(15)。

(15)

1.4 模糊綜合評(píng)價(jià)

通過上述分析，假設(shè)已求出(1)中C1的4個(gè)二級(jí)指標(biāo)的權(quán)重集合：W1={w1，w2，w3，w4}，則C1指標(biāo)的模糊綜合評(píng)判結(jié)果B1為：

B1=W1R1

(16)

同理，可得其他3個(gè)一級(jí)指標(biāo)的模糊綜合評(píng)判結(jié)果B2，B3，B4，因此邊坡綜合評(píng)價(jià)矩陣為：

B={B1，B2，B3，B4}

(17)

組合賦權(quán)法求出4個(gè)一級(jí)指標(biāo)的權(quán)重分配矩陣W，則最終評(píng)價(jià)結(jié)果為：

X=WB=(x1,x2,x3,x4)

(18)

通過最大隸屬度原則xmax={x1,x2,x3,x4}得出相對(duì)于Ni={N1,N2,N3,N4}={Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ}的評(píng)價(jià)等級(jí)。

2 實(shí)例分析

2.1 工程概況

湖北興山蔣家淌滑坡位于興山縣昭君鎮(zhèn)大禮溪村，前緣因山體滑坡擠壓，發(fā)生推移變形，侵占部分大禮溪河道，嚴(yán)重威脅到下方規(guī)劃大禮溪工業(yè)園及當(dāng)?shù)鼐用竦纳?cái)產(chǎn)安全。根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查確定其指標(biāo)調(diào)查結(jié)果見表4。

表4 蔣家趟滑坡穩(wěn)定性調(diào)查結(jié)果

2.2 模糊綜合評(píng)價(jià)

對(duì)C1、C2、C3、C44個(gè)一級(jí)指標(biāo)進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造判斷矩陣A。

(19)

由層次分析法中式(6)—(8)得4個(gè)一級(jí)指標(biāo)的權(quán)重W=(0.115 0.239 0.592 0.054)，CR=0.066<0.1一致性檢驗(yàn)合格。

以一級(jí)指標(biāo)C1為例，結(jié)合式(2)—(4)，以及表1，可知C1的模糊評(píng)價(jià)矩陣R1為：

(20)

層次分析法確定權(quán)重為WC1=(0.245 0.483 0.192 0.080)；由熵權(quán)法確定權(quán)重為WS1=(0.247 0.254 0.207 0.292)；組合權(quán)重為W1=(0.245 0.458 0.194 0.103)。

由式(16)可知C1指標(biāo)的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果為：

B1=W1R1=

(0.305 0.275 0.271 0.149)

(21)

其余二級(jí)指標(biāo)權(quán)重計(jì)算結(jié)果見表5。

表5 蔣家趟滑坡穩(wěn)定性指標(biāo)權(quán)重

以相同方法計(jì)算其余3個(gè)一級(jí)指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果B2、B3、B4后，由式(18)得該邊坡模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。

X=WB=

(0.129 0.080 0.304 0.487)

(22)

由最大隸屬度原則可知xmax={0.129 0.080 0.304 0.487}=0.487，故蔣家趟邊坡的穩(wěn)定等級(jí)為第Ⅳ級(jí)，極不穩(wěn)定，與實(shí)際情況相吻合。

2.3 結(jié)果分析

將分別采用層次分析法、熵權(quán)法、博弈論組合賦權(quán)法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(表6),可以看出3種方法計(jì)算結(jié)果均為“極不穩(wěn)定”，與實(shí)際情況相吻合，但相比于單一的層次分析法或熵權(quán)法，采用博弈論組合賦權(quán)法的模糊評(píng)價(jià)結(jié)果介于層次分析法和熵權(quán)法之間，這是因?yàn)樵诓┺恼摻M合賦權(quán)的過程中不僅考慮到了主觀人為因素的影響，而且有效結(jié)合了客觀實(shí)際情況，使得評(píng)價(jià)結(jié)果能較好地處理各單因素變化對(duì)穩(wěn)定性的影響，評(píng)價(jià)更為合理。

表6 評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)比

3 結(jié)語

a)在層次分析法和熵權(quán)法的基礎(chǔ)上采用博弈論組合賦權(quán)法對(duì)邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)指標(biāo)體系進(jìn)行賦權(quán)，不僅考慮了主觀人為因素的影響，還有效結(jié)合了客觀實(shí)際情況，評(píng)價(jià)結(jié)果較單一賦權(quán)方式更合理。

b)構(gòu)建了模糊綜合評(píng)價(jià)體系，該模型理論易懂，計(jì)算簡(jiǎn)便，綜合考慮了多種因素的影響，每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)相對(duì)于不同的等級(jí)都有不同的隸屬度，評(píng)價(jià)結(jié)果符合研究區(qū)的實(shí)際情況，可為邊坡的穩(wěn)定性評(píng)價(jià)提供一定思路和參考價(jià)值。