基于PSO-CV算法的信息擴(kuò)散插值模型及其在黃河源區(qū)的應(yīng)用

黃華平，尹開(kāi)霞，靳高陽(yáng)

(中水珠江規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)有限公司，廣東 廣州 510610)

準(zhǔn)確的降水空間分布信息是理解不同尺度范圍內(nèi)水量及能量變化過(guò)程的前提條件，對(duì)于區(qū)域水文水資源分析及管理、洪澇災(zāi)害預(yù)測(cè)及防治和生態(tài)環(huán)境治理等關(guān)鍵問(wèn)題具有重要意義[1]。根據(jù)有限的雨量站觀測(cè)資料進(jìn)行空間插值是探索降水空間特征的有效手段，也是當(dāng)前水科學(xué)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[2-5]。

目前，針對(duì)降水的空間插值已有大量研究，依據(jù)其原理可以大致分為三類，包括“確定性插值方法”“空間統(tǒng)計(jì)學(xué)方法”及“其他方法”[6]。確定性空間插值方法中最具代表性的是泰森多邊形法、等雨量線法及反距離加權(quán)法[7-8]。這類方法一般采用均化處理來(lái)描述降水空間特征變化，以便水文模型的產(chǎn)流計(jì)算。其特點(diǎn)是原理簡(jiǎn)單且運(yùn)算速度快，但結(jié)果易受控于距離較近的站點(diǎn)[9]。而空間統(tǒng)計(jì)學(xué)方法則以區(qū)域化變量為基礎(chǔ)，致力于利用相鄰觀測(cè)點(diǎn)間的相互關(guān)系來(lái)對(duì)未知點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)[10]?？死锝鸱ㄅc其變種方法均屬于此范疇內(nèi)。該類方法具有堅(jiān)實(shí)的科學(xué)理論基礎(chǔ)，因此較之確定性插值方法受到更廣泛的重視。但其缺點(diǎn)也不容忽視，如原理復(fù)雜且假設(shè)過(guò)于理想化、理論半變異函數(shù)選取主觀化及結(jié)果易產(chǎn)生“平滑效應(yīng)”等[11]。第三類是基于非線性科學(xué)理論的插值方法，充分考慮了降水具有隨機(jī)性與模糊性的雙重特征，并以此對(duì)降水空間特征進(jìn)行刻畫(huà)，具體包括了信息熵法、貝葉斯最大熵法、互信息理論及信息擴(kuò)散理論等理論方法[12-14]。該類方法無(wú)需過(guò)多的理論假設(shè)，且能提供更多的降水空間信息，但與前兩者相比，相關(guān)研究較少。

本文介紹了一種基于信息擴(kuò)散理論的空間插值模型，針對(duì)模型中的關(guān)鍵參數(shù)-窗寬值，考慮已有經(jīng)驗(yàn)公式法難以合理估計(jì)偏態(tài)分布樣本參數(shù)的不足，提出了一種粒子群算法與交叉驗(yàn)證相結(jié)合的最優(yōu)窗寬估計(jì)方法。研究以黃河源區(qū)為例，在綜合分析流域降水空間分布特征的基礎(chǔ)上，分別對(duì)2種信息擴(kuò)散插值模型關(guān)于年、季、月及日降水量的插值精度進(jìn)行評(píng)估，并引入了4種常用的空間插值方法作為參照。

1 方法

1.1 信息擴(kuò)散插值模型

記M={X,Y}為雨量隨機(jī)場(chǎng)，X為任意點(diǎn)位置，Y為該點(diǎn)降水量。假定該隨機(jī)場(chǎng)內(nèi)存在分布函數(shù)f(X,Y)，其反映了空間內(nèi)的降水信息分布密度，則降水量Y=yj關(guān)于觀測(cè)點(diǎn)X=xi的條件密度函數(shù)依據(jù)全概率公式可表示為：

(1)

(2)

最終，對(duì)隸屬度函數(shù)進(jìn)行去模糊化即可得到對(duì)應(yīng)估計(jì)值，見(jiàn)式(3)：

(3)

由式(1)—(3)不難發(fā)現(xiàn)，該模型重點(diǎn)在于如何估計(jì)降水信息分布密度函數(shù)f(X,Y)?；谟炅空军c(diǎn)觀測(cè)資料m={xi,yi,i=1,2,…,n}(n為雨量站數(shù)量)，可采用信息擴(kuò)散理論對(duì)該密度函數(shù)進(jìn)行無(wú)偏估計(jì)，見(jiàn)式(4)：

(4)

式中，hx與hy分別為X與Y維度對(duì)應(yīng)的窗寬值。

最終，將式(4)代式(1)—(3)中，即可確定雨量隨機(jī)場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)處降水量隸屬度函數(shù)，并實(shí)現(xiàn)降水插值計(jì)算。

1.2 參數(shù)估計(jì)方法

確定上述插值模型后，還需估計(jì)模型內(nèi)關(guān)鍵參數(shù)——窗寬值。目前，已有估計(jì)方法存在結(jié)果非最優(yōu)參數(shù)或原理過(guò)于復(fù)雜等問(wèn)題[13,15-16]。因此，本文簡(jiǎn)要介紹其中的經(jīng)驗(yàn)窗寬公式法，并提出一種基于粒子群算法與交叉驗(yàn)證相結(jié)合的最優(yōu)窗寬估計(jì)方法。該方法較之已有方法無(wú)過(guò)多繁瑣公式推導(dǎo)，且插值精度較高。

1.2.1經(jīng)驗(yàn)窗寬公式法

基于“平均距離模型”與“兩點(diǎn)擇近原則”，黃崇福[17]推導(dǎo)了窗寬h的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式。

(5)

式中，a=min(li)；b=max(li)；i=1,2,…,n。不難看出，窗寬大小僅與觀測(cè)樣本的數(shù)量、各維度上最大值和最小值相關(guān)。

該方法具有計(jì)算快速且簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)，但其僅是對(duì)單變量擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)得到的，而對(duì)于插值過(guò)程中需要解決的多元問(wèn)題，該方法并不能保證參數(shù)結(jié)果的最優(yōu)性。并且當(dāng)觀測(cè)樣本為非對(duì)稱、非正態(tài)結(jié)構(gòu)時(shí)，該參數(shù)估計(jì)方法將產(chǎn)生較大偏差。而降水在空間上往往服從偏態(tài)分布，因此采用經(jīng)驗(yàn)窗寬公式法推求相關(guān)參數(shù)難免存在一定偏差。

1.2.2基于PSO-CV算法的最優(yōu)窗寬估計(jì)法

為克服已有方法的不足，本文提出一種基于粒子群算法與交叉驗(yàn)證相結(jié)合的最優(yōu)窗寬估計(jì)方法。該方法通過(guò)采用留一交叉驗(yàn)證法，逐一計(jì)算估計(jì)值與實(shí)測(cè)值間的絕對(duì)誤差，并將整個(gè)過(guò)程中的絕對(duì)誤差之和作為目標(biāo)函數(shù)，采用粒子群算法對(duì)該目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最小尋優(yōu)，具體步驟如下。

步驟一確定目標(biāo)函數(shù)。累計(jì)每次“留一交叉驗(yàn)證法”估計(jì)值與實(shí)際值間的絕對(duì)誤差，將其最小化作為算法的優(yōu)化準(zhǔn)則，見(jiàn)式(6)：

(6)

式中，Pobs(si)與Pest(si)分別為點(diǎn)si處的觀測(cè)值與估計(jì)值。

步驟三迭代更新。在迭代過(guò)程中，每個(gè)粒子依據(jù)歷史所處的最優(yōu)位置和整個(gè)群體的最優(yōu)位置，結(jié)合隨機(jī)擾動(dòng)來(lái)確定下一步的移動(dòng)，具體為：

(7)

步驟四確定最優(yōu)窗寬。當(dāng)粒子群迭代到最大迭代次數(shù)時(shí)，即停止迭代計(jì)算。此時(shí)，選擇目標(biāo)函數(shù)最小值對(duì)應(yīng)粒子的位置h=(h1,h2,…,hn)(n為待尋優(yōu)參數(shù)個(gè)數(shù))作為整個(gè)觀測(cè)樣本的最優(yōu)窗寬值。

1.3 誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)

a)均方根誤差(RMSE)。RMSE值是實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和插值結(jié)果之間偏差平方均值的平方根，反映空間插值方法的精準(zhǔn)度，其值越小，說(shuō)明插值結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)越接近，計(jì)算公式為：

(8)

b)絕對(duì)偏差(ABIAS)。ABAIS值是插值結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間誤差絕對(duì)值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)均值的比值，反映了插值結(jié)果相對(duì)于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的偏差程度，計(jì)算公式為：

(9)

c)相關(guān)系數(shù)(CC)。CC值描述了插值結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度，其值越接近于1，表明兩者相關(guān)性程度越高，計(jì)算公式為：

(10)

2 結(jié)果分析

本文以黃河源區(qū)為例，搜集了源區(qū)內(nèi)及附近區(qū)域17個(gè)氣象站和5個(gè)水文站1986—2015年逐日降水?dāng)?shù)據(jù)，源區(qū)基本概況及站點(diǎn)分布見(jiàn)圖1。研究引入了反距離加權(quán)法(IDW)、普通克里金法(OK)，泛克里金法(DUK)及考慮高程的協(xié)克里金法(COK)作為對(duì)比參照，比較且評(píng)估了上述2種信息擴(kuò)散插值模型，即經(jīng)驗(yàn)信息插值模型(EMP)及基于PSO-CV算法的最優(yōu)信息插值模型(OPT)。首先，研究對(duì)黃河源區(qū)多年平均年及各季降水量的空間分布特征進(jìn)行了綜合分析，在此基礎(chǔ)上采用留一交叉驗(yàn)證法分別從年、季、月與日4種時(shí)間尺度對(duì)各空間插值方法的精度進(jìn)行了比較與評(píng)價(jià)。

圖1 研究區(qū)位置及水文、氣象站點(diǎn)分布

2.1 源區(qū)降水特征分析

為比較不同插值方法結(jié)果的空間差異性，研究先將22個(gè)站點(diǎn)作為已知數(shù)據(jù)，對(duì)源區(qū)多年平均年及各季降水量的空間分布特征進(jìn)行估計(jì)，考慮到流域面積較大，此次采用地區(qū)性插值法，即選取各未知點(diǎn)距離最近的10個(gè)站點(diǎn)進(jìn)行插值估計(jì)。圖2提供了不同方法對(duì)應(yīng)多年平均年降水量空間分布，整體來(lái)看，6種方法刻畫(huà)的年降水量空間分布特征基本相似，均呈現(xiàn)“南高北低，東高西低”的基本特征，年降水整體呈現(xiàn)帶狀分布，東南部降水量大，西北部降水量小。對(duì)比不同插值方法的空間分布特性，可以發(fā)現(xiàn)圖2b克里金法和圖2d協(xié)克里金法差異很小，而2種信息擴(kuò)散插值方法除部分細(xì)節(jié)外，整體也較為類似。不同方法的主要差異在于源區(qū)西北部。具體來(lái)看，普通克里金法和協(xié)克里金法對(duì)應(yīng)年降水量在該地區(qū)顯著大于其他方法，而2種信息擴(kuò)散插值方法對(duì)于該地區(qū)的估計(jì)值則小于其他方法。對(duì)比2種信息擴(kuò)散插值方法，可以發(fā)現(xiàn)圖2f最優(yōu)信息插值模型在西北區(qū)域和東南區(qū)域均略大于圖2e經(jīng)驗(yàn)信息插值模型。考慮到文章篇幅，其他季節(jié)降水量的空間分布未展示在本文中。

a)IDW

各方法對(duì)應(yīng)年及季節(jié)性面平均降水量見(jiàn)表1。其中，春季面平均降水量為93～103 mm，夏季面平均降水量為280～293 mm，秋季面平均降水量為111～119 mm，冬季面平均降水量為12～14 mm，全年面平均降水量為498～521 mm。比較不同插值方法的面平均雨量，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于全年和各季，普通克里金法和協(xié)克里金法對(duì)應(yīng)面平均降水量均大于其他4種方法，且差異較大，其他4種方法差異較小。對(duì)比經(jīng)驗(yàn)信息插值模型和最優(yōu)信息插值模型2種模型，可發(fā)現(xiàn)后者對(duì)應(yīng)面平均降水量在夏季和冬季小于前者，在其他季節(jié)大于前者。

表1 不同插值方法對(duì)應(yīng)流域面平均季節(jié)性及年降水量 單位：mm

2.2 不同時(shí)間尺度插值

為了精確評(píng)估信息擴(kuò)散插值模型的插值精度，研究采用留一交叉驗(yàn)證法對(duì)年、季、月及日降水?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)插值研究，并以1.3節(jié)中精度指標(biāo)為依據(jù)，對(duì)應(yīng)結(jié)果如下。

2.2.1年及季節(jié)性降水量

各插值方法對(duì)應(yīng)多年平均年及季節(jié)性降水量插值精度見(jiàn)圖3。從絕對(duì)偏差來(lái)看，各方法對(duì)于全年和夏季降水量的插值精度最高，ABIAS值約為10%，而后依次是秋季、春季，精度最差的是冬季，ABIAS值達(dá)到了28%；全年、春季和秋季降水量對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)相當(dāng)，整體在0.85左右，夏季降水量對(duì)應(yīng)的CC值最低，僅為0.71。

a)相關(guān)系數(shù)

不同方法對(duì)比結(jié)果表明，對(duì)于全年、春、夏和冬季降水量而言，最優(yōu)信息插值模型對(duì)應(yīng)插值精度顯著優(yōu)于其他方法，而對(duì)于秋季降水量的插值精度也僅次于泛克里金法。經(jīng)驗(yàn)信息插值模型對(duì)應(yīng)插值精度在絕大多數(shù)情況下與泛克里金法相當(dāng)，普通克里金法與考慮高程因素的協(xié)克里金法整體精度相近，但部分季節(jié)協(xié)克里金法精度甚至要低于普通克里金法，說(shuō)明考慮高程影響對(duì)于分析黃河源區(qū)全年及季節(jié)性降水空間分布特征的作用較小。反距離加權(quán)法的插值精度變幅較大，對(duì)于全年、春季和冬季降水量的插值精度尚可，但對(duì)于夏季和秋季降水量的插值精度會(huì)差于其他方法。

2.2.2月降水量

各插值方法對(duì)應(yīng)多年平均月降水量插值精度見(jiàn)圖4。從ABIAS來(lái)看，所有方法關(guān)于5—10月(降水較大月份)的插值精度會(huì)顯著大于其他月份，前者的ABIAS處于0.08～0.18范圍內(nèi)，而后者的ABIAS處于0.15～0.45范圍內(nèi)。對(duì)比CC結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，7、8、12月對(duì)應(yīng)CC較小，均處于0.55左右；10、11月對(duì)應(yīng)CC較大，均處于0.9左右，其他月份對(duì)應(yīng)CC差異不大，整體處于0.7～0.8范圍內(nèi)。

a)CC

不同方法對(duì)比結(jié)果表明，最優(yōu)信息插值模型對(duì)于絕大多數(shù)月份的插值精度會(huì)高于其他方法，全年平均 CC為0.80，ABIAS為0.17，RMSE為6.13。經(jīng)驗(yàn)信息插值模型、普通克里金法和泛克里金法3種方法的插值精度相當(dāng)，全年平均CC為0.75～0.77，ABIAS為0.18～0.20，RMSE為6.45～6.91；反距離加權(quán)法和協(xié)克里金法的插值精度略差于其他4種方法，兩者全年平均CC分別為0.72和0.71，ABIAS為0.21和0.22，RMSE為8.09和8.88。

2.2.3日降水量

考慮日降水量的年際差異較大，且存在大量“零值”，為盡可能保證日降水?dāng)?shù)據(jù)的特性，本次研究直接將1986年1月1日至2015年12月31日的逐日降水量過(guò)程作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用于比較不同空間插值方法的精度，具體結(jié)果見(jiàn)圖5。該圖提供了22個(gè)站點(diǎn)的不同精度指標(biāo)分布特性，不難看出，各插值方法對(duì)應(yīng)精度指標(biāo)均顯著差于年、季和月降水量，且不同插值方法間精度差異也不大，這一現(xiàn)象說(shuō)明了日降水空間插值計(jì)算的難度要顯著高于年、季和月降水量。

a)CC

不同方法對(duì)比結(jié)果表明，最優(yōu)信息插值模型的精度要略優(yōu)于其他5種方法，22個(gè)站點(diǎn)平均CC為0.53，ABIAS為0.95，RMSE為3.21。普通克里金法、泛克里金法、考慮高程因素的協(xié)里金法和經(jīng)驗(yàn)信息插值模型間差異不大，平均CC為0.51～0.52，ABIAS為0.97～0.99，RMSE為3.26～3.30。反距離加權(quán)法對(duì)應(yīng)精度略差于其他5種方法，平均CC為0.49，ABIAS為1.00，RMSE為3.38。與年、季和月降水量相似，日降水量的插值結(jié)果同樣表明，考慮高程因素并不能有效地提高空間插值方法的精度。

3 結(jié)論

a)整體來(lái)看，基于PSO-CV算法的最優(yōu)信息擴(kuò)散插值模型精度要顯著高于其他方法。除反距離加權(quán)法精度略低外，其他4種方法在黃河源區(qū)的插值效果相差不大，多數(shù)情況下精度指標(biāo)值差異在10%以內(nèi)。不同方法間的精度差異程度隨著時(shí)間尺度的減小而減小。

b)對(duì)年降水量而言，各方法均能反映黃河源區(qū)“南高北低，東高西低”的空間分布特征。而源區(qū)對(duì)應(yīng)年及各季面平均降水量結(jié)果表明，普通克里金與協(xié)克里金法估計(jì)值較之其他方法大致偏大4%～12%，其他方法估計(jì)值間的差異較小。

c)對(duì)比普通克里金法與考慮高程因素的協(xié)克里金法，不難發(fā)現(xiàn)兩者精度差異較小，在部分情況下，協(xié)克里金法精度甚至更低。因此，考慮高程因素影響對(duì)于分析黃河源區(qū)內(nèi)降水量空間分布特征的意義不大。