數(shù)學(xué)建模在初中教學(xué)中的應(yīng)用舉例

張志強(qiáng)

摘 要：隨著課程改革的深入開展及新課標(biāo)的頒布，數(shù)學(xué)教學(xué)也由注重學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果向關(guān)注學(xué)生的活動(dòng)轉(zhuǎn)變，教師應(yīng)倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主探索、合作探究、體會(huì)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的過程，新課標(biāo)對(duì)學(xué)生提出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總體目標(biāo)，其中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一“數(shù)學(xué)建?！本秃芎玫卦忈屃恕斑\(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察和分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)”這一理念。筆者從用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題、通過典型建?？碱}的解讀促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模意識(shí)、對(duì)數(shù)學(xué)再建模歸納出優(yōu)秀的解題模型，解決同系列多層次的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)再建模進(jìn)行精準(zhǔn)命題等四個(gè)方面舉例談?wù)剶?shù)學(xué)建模在初中教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;初中;教學(xué)

一、 解決實(shí)際問題——初中數(shù)學(xué)建模意識(shí)形成的主陣地

在初中數(shù)學(xué)范圍內(nèi)針對(duì)實(shí)際問題可以建立的數(shù)學(xué)模型有：數(shù)與式模型、方程（組）模型、不等式（組）模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等。也就是說，在實(shí)際情境中的現(xiàn)實(shí)問題用數(shù)學(xué)語言來描述，從而形成了含有一定的數(shù)學(xué)已知條件，及一個(gè)或幾個(gè)需要解決的數(shù)學(xué)問題的命題。這是數(shù)學(xué)建模最為關(guān)鍵的一步，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成了純數(shù)學(xué)問題來解決。下面以人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)中數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)——學(xué)校旗桿高度的測(cè)量為例，談?wù)劺脭?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模理念的一些方法。

【建立模型一】其實(shí)，本實(shí)踐活動(dòng)最早在八年級(jí)學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)就涉及了，利用升旗用的繩子，先沿旗桿拉直到旗桿底部，測(cè)出多出部分繩子的長(zhǎng)度a米，再將整條繩子拉直到與升旗臺(tái)等高處，測(cè)量該處與旗桿的距離b米，這時(shí)建立了一個(gè)直角三角形的模型，已知一直角邊的長(zhǎng)（BC=b）及斜邊與另一直角邊的長(zhǎng)度差（AC-AB=a），求直角邊的長(zhǎng)。

問題解決：設(shè)AB=x米，根據(jù)勾股定理，AB2+BC2=AC2，則x2+b2=（x+a）2，解方程可求得旗桿AB的高度。

【建立模型二】利用相似的知識(shí)及陽光是平行光，構(gòu)建相似模型，在同一時(shí)刻的陽光下，取一支1m長(zhǎng)的標(biāo)桿，垂直地面放置在陽光下，分別測(cè)出標(biāo)桿的影長(zhǎng)a米與旗桿的影長(zhǎng)b米。

問題解決：由于同一時(shí)刻實(shí)物與影長(zhǎng)比相等，得1a=xb，解方程可求得旗桿AB的高度。

【建立模型三】利用平面鏡反射的入射角等于反射角原理，建立相似三角形模型，將一平面鏡放置在人與旗桿之間，測(cè)量出鏡子與旗桿的距離a米、人與鏡子的距離b米、人的目高c米。

問題解決：利用有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似的判定，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得ab=xc，解方程可求得旗桿AB的高度。

【建立模型四】利用相似三角形的預(yù)備定理，建立相似三角形模型，準(zhǔn)備2支標(biāo)桿與皮尺，分別為1米長(zhǎng)與1.2米長(zhǎng)，然后將2支標(biāo)桿與旗桿放置在同一水平面上且在同一直線上，測(cè)量出兩支標(biāo)桿的距離a米，再測(cè)量出旗桿與較近標(biāo)桿的距離b米。

問題解決：平行于三角形一邊的直線所截得的三角形與原三角形相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得aa+b=1.2-1x-1，解方程可求得旗桿AB的高度。

【建立模型五】學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后，建立直角三角形形模型，準(zhǔn)備測(cè)角儀、一支1米長(zhǎng)的標(biāo)桿與皮尺，在離旗桿a米處，在垂直于地面的標(biāo)桿上測(cè)出旗桿頂部的仰角為θ。

問題解決：利用正切函數(shù)的定義得tanθ=xa，解方程可求得旗桿AB的高度。

大家至少可以先在室內(nèi)商定出五種不同的建模方式，然后進(jìn)行實(shí)地測(cè)量、匯報(bào)、交流與糾偏。當(dāng)大家都沉醉于成功的喜悅之中時(shí)，教師可適時(shí)提出一個(gè)新的問題：這個(gè)旗桿是底部可以到達(dá)的物體，如果遇到要測(cè)量的物體的底部不能到達(dá)呢？怎么辦呢？例如，山的高度、金字塔的高度等。這時(shí)就又提供了一個(gè)數(shù)學(xué)建模解決新問題的機(jī)會(huì)，大家又投入了新的思考中。

【建立模型六】利用三角函數(shù)建立直角三角形模型，準(zhǔn)備測(cè)角儀、一支1米長(zhǎng)的標(biāo)桿與皮尺，在遠(yuǎn)處某地垂直于地面的標(biāo)桿上，測(cè)出物體頂部的仰角為α，然后在同一直線上往前m米處垂直于地面的標(biāo)桿上測(cè)出物體頂部的仰角為β。

問題解決：利用正切函數(shù)的定義得x-1tanα-x-1tanβ=m，解方程可求得物體的高度。

可以建立許多數(shù)學(xué)模型來解決測(cè)量旗桿高度的問題，這就大大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)手熱情，同時(shí)學(xué)生也積極開動(dòng)了腦筋，無意之間就形成了數(shù)學(xué)建模的意識(shí)與理念。

二、 解讀典型建?？碱}——促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模意識(shí)

原題：

模型建立：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E。求證：△BEC≌△CDA。

模型應(yīng)用：

（1）直線l1=43x+4與y軸交于A點(diǎn)，將直線l1繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至l2，求l2的函數(shù)解析式。

（2）矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（8，6），A、C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC=m，已知點(diǎn)D在第一象限，且是直線y=2x-6上的一點(diǎn)，若△APD是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（一）首先，要在“模型建立”上下功夫。往往模型建立就是最簡(jiǎn)單的解題方法，但容易被忽略，沒有認(rèn)真分析模型，包括模型的背景特征、條件與結(jié)論、構(gòu)建模型所用的幾何元素及代數(shù)元素、所涉及的元素、構(gòu)建模型時(shí)的順序等，從而導(dǎo)致無法解后面的小題。

本題中，模型的背景特征：等腰直角三角形;

條件：過直角任意作一條不與直角邊重合的直線，并過斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)向該直線作垂線段;

結(jié)論：所構(gòu)成的兩個(gè)新直角三角形全等，故而得到對(duì)應(yīng)直角邊相等。

（二）學(xué)生應(yīng)該要“立”起來，能“走”，即在大腦中確立正確的、清晰的模型、簡(jiǎn)約的模型，以至于在新的圖形環(huán)境中能認(rèn)得出來。

如本題中，模型可簡(jiǎn)約成“45°→等腰直角三角形→一線三直角”，這樣就可以拿著走了，學(xué)生只要看到45°，就有了序列模型化的思考。