言之有理 落筆有據(jù)
——《比的基本性質(zhì)》教學與思考（二）

文|王敏烽

【教學內(nèi)容】

人教版六年級上冊第50 頁。

【教學過程】

一、比一比，“類比”中萌發(fā)知識

1.課件呈現(xiàn)，觀察比較。

師：仔細觀察，它們有什么不同的地方和相同的地方？

生：不同點在于第一個是除法算式，第二個是比，第三個是分數(shù)；相同點是它們都相等。

師：雖然它們的呈現(xiàn)方式不同，但值相等。

2.求值說理。

師：怎樣能快速得到它們的值？

生：同時擴大10 倍，算3÷5 就可以了；把比看做6÷10，再計算；最后一個只要約分就可以了。

師：為什么可以這樣算？

生：兩個數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商不變；兩個數(shù)的比也表示兩個數(shù)相除；分數(shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0 除外），分數(shù)的大小不變。

3.類比，形成猜想。

師：這些都是以前研究過的，今天我們來研究比的基本性質(zhì)。結(jié)合學過的知識大膽猜想一下，比的基本性質(zhì)會是怎么樣的？

生：比的前項和后項同時乘或者除以一個相同的數(shù)（0 除外），比值不變。

【設計意圖：“形式不同”但“值相同”，在復習的同時，把有著某些外在關(guān)聯(lián)的三個對象同時呈現(xiàn)，為內(nèi)在關(guān)聯(lián)的進一步學習做好“類”的鋪墊。以求值為抓手，通過對求值原理的復習，不僅喚起舊知，提供說理依據(jù)，還在“比”中形成對比的基本性質(zhì)的猜想?！?/p>

二、探一探，“歸納”“演繹”中生長思維

1.嘗試驗證。

師：有了猜想，接下去怎么辦？

生：驗證。

師：請你創(chuàng)造一個比并結(jié)合學過的知識和探究經(jīng)驗來驗證它的正確性。

2.集中反饋。

反饋1：

師：他是怎么驗證的？

生：舉例子，同時乘以10，但比值都是相等的。

師：舉例子是數(shù)學證明中常用的方法，只是這樣的一、兩個例子就能證明剛才的猜想成立嗎？

生：需要舉很多例子才行。

反饋2：

師：他沒有求比值，能說明它們相等嗎？

生：9∶13 就是9÷13，把被除數(shù)和除數(shù)同時擴大了兩倍，再把18÷26變成18∶26。就說明它們相等了。

3.師生小結(jié)，形成板書。

師：根據(jù)比和除法的關(guān)系把比變成除法，依據(jù)商不變性質(zhì)同時擴大了兩倍，再把除法轉(zhuǎn)化成比。雖沒有求比值，但是也有理有據(jù)地說明了9∶13=18∶26。

4.再次驗證。

師：剛才我們根據(jù)除法和比的關(guān)系，結(jié)合商不變性質(zhì)證明了比的基本性質(zhì)的存在。還可以結(jié)合什么來證明？

生：結(jié)合分數(shù)的基本性質(zhì)證明比的基本性質(zhì)。

【設計意圖：通過對同伴反饋的解讀，學生體會具有倍數(shù)關(guān)系的兩個比的比值相等。教師在肯定不完全歸納法的同時，提出“例子是舉不完的”，指出歸納推理的局限性。通過對“沒求比值”反饋的解讀，體會每一步轉(zhuǎn)化中的邏輯關(guān)系，對演繹推理的過程和方法有初步了解，感受到演繹推理在數(shù)學證明中的作用。同時借類比引導學生自主經(jīng)歷演繹的證明過程，解讀多種演繹過程，進一步體會可以用已知知識和關(guān)系來證明，感知知識間的內(nèi)在聯(lián)系?！?/p>

三、比一比，“類比”中歸納建模

題一：填一填。

師：第（1）題為什么是“÷5”？

生：要使比值不變，后項÷5，前項也要÷5，遵循比的基本性質(zhì)。

師：你覺得像第（2）題這樣的算式能寫完嗎？能不能用一個算式把它給寫完？

生：2.7∶0.9=（2.7×或÷x）∶（0.9×或÷x），0 要除外。

師：第（3）題怎么填最合適？

生：同時×6。

小結(jié)：我們可以通過同時乘或除以相同的數(shù)，把一個比化簡成是最簡整數(shù)比。

題二：化簡。

（1）比較兩位同學的反饋，你有什么想說的？為什么？

（2）做這些題目時，你還有什么知識或技巧要提醒同學們？

小結(jié)：如果比的前、后項都是整數(shù)，可以同時除以它們的最大公因數(shù)；如果有小數(shù)和分數(shù)，先轉(zhuǎn)化成整數(shù)；如果兩個都是分數(shù)，可以同時乘以分母的最小公倍數(shù)。

題三：解決問題。

師：你能找到比嗎？

生：可以找到糖和水的比、糖或者水和糖水的比。第一杯和第二杯一樣甜，因為它們水和糖的比都是2∶1，比的大小相等。

師：你有沒有辦法，讓第三杯也跟它們一樣甜？

生：我會把糖再增加15 份，化簡后變成了2∶1，也就一樣甜了。

【設計意圖：題一，填數(shù)不難，但為什么可以這樣填？還可以怎么填？怎樣填更合適？適時介入最簡整數(shù)比概念；題二，化簡不難，怎么想到乘或除以幾？面對不同的數(shù)，怎樣化簡更合適？題三，對接生活問題，先找到合適的比，再化簡、比較解決問題，感悟化簡比與生活問題的聯(lián)系?！?/p>

【課后思考】

本課以“猜想—驗證—運用”為學習主線，圍繞“是什么？”“為什么？”“怎么用？”開展系列數(shù)學推理活動，致力于學生推理表現(xiàn)水平進階。教學中，學生的參與性強，推理氛圍濃厚，主要有三個特點。

一、等值為媒，基于類比形成猜想

除法、分數(shù)和比是三個緊密聯(lián)系的概念，它們的知識結(jié)構(gòu)相似，特別是都可以用除法來求值，有利于學習遷移。課中以“等值”為抓手，引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)相同點。通過問題“怎樣能快速得到它們的值？”回顧了先化簡再計算除法的值，以及通過約分求分數(shù)值的方法。再跟進問題“為什么可以這樣算？”引導學生調(diào)用“商不變性質(zhì)”以及“分數(shù)的基本性質(zhì)”闡明這樣算的原因。與其說是對知識的回顧，不如說是再一次有理有據(jù)地完成了一次運算。在除法、比、分數(shù)三者關(guān)聯(lián)的同時，類比形成對“比的基本性質(zhì)”的猜想也就順“理”成章了。當然，此時的“理”僅限于“看出來的”。

二、舉例為基，基于關(guān)系演繹證明

如何從“看出來”到“證出來”呢？舉例驗證是學生較熟悉的驗證方式，課堂上學生最容易想到的就是舉兩個有著倍數(shù)關(guān)系的比，再求出比值來證明性質(zhì)的存在。學生在舉例時，沒有計算比值的需求，但在用除法求值過程中，特別是當兩個除法算式放在一起時，前經(jīng)驗支持下的“商不變性質(zhì)”容易被喚醒。教學中，通過對“反饋2”的解讀，學生不難發(fā)現(xiàn)不求比值也可以說明兩個比是相等的。在此基礎(chǔ)上，把“轉(zhuǎn)化”“商不變性質(zhì)”“再轉(zhuǎn)化”的關(guān)系厘清，也就實現(xiàn)了演繹推理。同時引導學生運用比與分數(shù)之間的關(guān)系、分數(shù)的基本性質(zhì)開展演繹證明，既是模仿，又是推理路徑的擴展。

三、類比為徑，基于優(yōu)化歸納建模

類比是學生常見的學習方式。練習反饋中，多次運用了比較思考的方式來開展辨析，并在此基礎(chǔ)上進行優(yōu)化、歸納，形成一般方法。如“為什么是÷5？”引導學生明確比的性質(zhì)應用；“這樣的算式能寫完嗎？”“這樣”到底是“怎樣？”引導學生歸納得出2.7∶0.9=（2.7×或÷x）∶（0.9×或÷x）；“怎么填最合適？”在比較中，類比分數(shù)已有知識，歸納形成“最簡整數(shù)比”概念；“比一比，你有什么想說的？”比較不同學生作品，歸納并總結(jié)化簡比的一般方法。