尋找內部聯(lián)系 豐富推理路徑
——《比的基本性質》教學與思考（一）

文|鮑莉麗 陳楚楚

【教學內容】

人教版六年級上冊第50 頁。

【教學過程】

一、知識關聯(lián)，引發(fā)猜想

1.回憶比的各部分名稱，尋找知識關聯(lián)點。

師：我們前面學習了比，關于比，你有哪些了解？

生：比有前項、后項，前項除以后項的商是比值。

生：比的前項和后項是除法中的被除數(shù)和除數(shù)，比值等于商。

生：比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數(shù)值。

2.回憶所學“基本性質”，類比猜想“比的基本性質”。

師：今天繼續(xù)學習比的知識：比的基本性質?！盎拘再|”不是第一次見了，你還記得哪些“基本性質”？

生：商不變性質。被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個不為0 的數(shù)，商不變。

生：分數(shù)的基本性質。分子和分母同時乘或除以一個不為0 的數(shù)，分數(shù)大小不變。

師：猜想一下，比的基本性質會是怎樣的？

生：比的前項和后項同時乘或除以一個不為0 的數(shù)，比值不變。

【設計意圖：通過回憶，充分喚醒比的相關知識，主動和除法、分數(shù)建立聯(lián)系，幫助學生順利地進行類比遷移，實現(xiàn)知識的自然生長，同時也為后續(xù)驗證猜想、推理得出“比的基本性質”做了有效鋪墊。】

二、自主探究，證明猜想

1.追疑猜想，設法求證。

師：比值真的不變嗎？請你通過寫一寫、算一算，把道理寫在《學習單》上。

2.求比值驗結果，“不完全歸納”得結論。

生：把1∶2 的前項和后項同時乘2 得到了2∶4，通過計算發(fā)現(xiàn)1∶2 的比值是，2∶4 的比值也是，比值相等。舉例發(fā)現(xiàn)，比的前后項同時乘或除以相同的數(shù)，比值大小相等，說明猜想是正確的。

師：從嚴格意義上講，只能驗證你們舉的例子是成立的，這些例子能說明所有的比都成立嗎？

生：不夠。要很多例子。

師：舉得完嗎？

生：舉不完。

師：那還有其他方法說明這個結論一定成立嗎？

3.找內部關聯(lián)，演繹推理證結論。

生：比的前項相當于被除數(shù)，比的后項相當于除數(shù)，比值就是商，因為除法中有商不變性質，所以比的前項和后項同時乘或除以一個不為0 的數(shù)，比值不變。

師：這位同學是依據(jù)什么來驗證的？

生：根據(jù)比和除法的關系及商不變性質來驗證的。

師：除了用除法，還可以聯(lián)系什么來說理？

生：分數(shù)。

生：（上臺連線并說理）比的前項相當于分數(shù)中的分子，后項相當于分母，因為分數(shù)中有分數(shù)的基本性質（分子和分母同時乘或除以一個不為0 的數(shù)，分數(shù)大小不變），所以比的前項和后項同時乘或除以一個不為0 的數(shù)，比值也是不變的。

【設計意圖：學生通過自主探究、暴露思維，展現(xiàn)不同的推理過程：1.反饋常見方法，“不完全歸納”求值。采用舉例子的方式，明確并體會不完全歸納法只能證明已有的例子成立，有其局限性。2.聯(lián)系前知促思考，開展演繹推理轉換推理思路，展現(xiàn)更能確認結論的推理方式，凸顯演繹推理的價值。3.回顧驗證過程，加深對推理方法的理解。在回顧“猜想——驗證——結論”的過程中，使學生明白兩種推理方式的不同，演繹推理的結論更為可靠?！?/p>

三、新舊聯(lián)系，遷移類比

1.梳理教材，方法遷移。

師：四年級時只通過“舉例子”得出了“商不變性質”，五年級時增加了“聯(lián)系已有的商不變性質”說明“分數(shù)的基本性質”，六年級我們不僅能通過“舉例子”驗證，還掌握了通過“已有性質推理”證明“比的基本性質”。以后要繼續(xù)學習抓住內部間的聯(lián)系進行方法的遷移。

2.應用性質，概念類比。

師：你能不通過求比值快速判斷哪些比的大小一樣嗎？請快速思考，說說你的依據(jù)。

（1）用概念辨析。

生：60∶90 和120∶180 的比值是相等的。60∶90 的前項和后項同時乘2 就是120∶180。依據(jù)比的基本性質。

生：60∶90=2∶3，60 和90 同時除以30，比值不變，也是通過比的基本性質。

小結：利用比的基本性質可以快速判斷比值相等。

（2）遷移類比引出最簡整數(shù)比。

師：剛剛得到了很多比值一樣的比，你覺得哪一個最簡單？

生：2∶3。因為2∶3 都是整數(shù)，方便看，化簡的話是整數(shù)中最小的一個。

生：主要因為是一對互質數(shù)，不可以再約分化簡。

生：就像最簡分數(shù)一樣。

小結：如果比的前項和后項互質，它就叫做最簡整數(shù)比。

【設計意圖：通過梳理教材，使學生對性質推理序列有一個整體的認識，有助于知識的結構化。同時在應用知識的過程中，通過和“最簡分數(shù)”的聯(lián)系，遷移內化“最簡整數(shù)比”的概念?！?/p>

【課后思考】

一、類比，打通關聯(lián)

類比，是由兩個對象的某些相同或相似的性質，推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理形式。在小學數(shù)學中，類比是一種很重要的推理方式。本課中，首先在引入部分通過學生對比的“點狀”回憶，形成了比的“知識塊”（包括比的組成、意義等），又通過與除法、分數(shù)的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)它們在構成、意義等方面都有其相似的地方，進一步遷移類比出“比的基本性質”。其次在“最簡整數(shù)比”概念的構建中，也存在著“最簡分數(shù)”的類比遷移。像這樣的類比，由已知推向未知，不僅促進學生對新知的理解，同時形成了一張彼此關聯(lián)的知識網絡，幫助學生構建完整的知識結構系統(tǒng)。

二、聯(lián)系，推及本質

推理是數(shù)學的基本思維方式，一般包括合情推理和演繹推理。兩種推理功能不同，相輔相成。合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結論；演繹推理用于證明結論，兩者不可偏頗。在本課中，學生多會用舉例驗證的方法（不完全歸納）發(fā)現(xiàn)結論，缺乏演繹推理的意識和能力。所以本課重點抓住尋找內部聯(lián)系，幫助學生學習演繹推理，豐富推理的路徑。主要落實在三處：一是聯(lián)系合情推理“例子舉不完”的缺陷，體會演繹推理的需求。二是聯(lián)系具體例子解釋說理，引導學生通過與除法（分數(shù)）之間的關聯(lián)說理。三是聯(lián)系關系圖說理，搭建相對直觀的關系圖，通過關系圖輔助學生說理。在聯(lián)系的過程中，將知識間的內部關系通過思維導圖的形式相互串聯(lián)，形成知識網絡，以直觀的方式幫助學生內化理解，從而化解演繹推理的難度。同時從特殊的“比”的例子到一般的“語義符號”，去偽存真，不僅使得推理更加科學嚴謹，還培養(yǎng)了學生的抽象思維。