基于深度學習的數學教學實踐研究

施芳

【摘要】本文記述了“探索勾股數”一課的教學過程.筆者通過參加活動探究課，感悟到深度學習需要問題導向、優(yōu)化設計的課堂以及學生課外的學習活動來實踐，學科的核心素養(yǎng)才能有效提高.

【關鍵詞】勾股數;深度學習;問題導向;優(yōu)化設計;案例分析

初中階段，學生的學業(yè)負擔繁重，長期的模仿式學習容易固化思維，認知停留在淺層，不利于學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不利于長遠發(fā)展.那么，教師如何在平時的教學實踐中引導學生進入深度學習？

筆者今年10月參加了一次公開活動課，教師通過開展“探索勾股數”的探究活動，將深度學習的理念貫徹到教學實踐中，現將活動整理成文，與同人共享.

一、案例描述

案例是蘇教版八年級數學上“勾股定理”的專題活動課“探索勾股數”.

（1）課前導練

A.32=______，42=______，52=______，62=______，72=______，82=______，92=______，102=______，112=______，122=______，132=______，142=______，152=______，162=______，172=______，182=______，192=______，202=______.

B.（a+b）2=______，（a-b）2=______，（a+b）2-（a-b）2=______.

（2）新課導學

師：美國哥倫比亞大學圖書館收藏著一塊古巴比倫泥板，上面印有文書，研究發(fā)現文書實際上是一張表格，展示的都是一些較大的勾股數，那么，這些勾股數是如何找到的？由此可以做什么猜想？

生：（思考）

師：猜想：a.任何大于或等于3的正整數都可存在于某組勾股數之中;b.19與其他哪兩個數可組成勾股數？28與哪兩個呢？c.如何利用一個數找出與其構成勾股數的另兩個數？

（3）活動探究

活動1：填表

師：（a+b）2-（a-b）2= ？

生1：（a+b）2-（a-b）2 =4ab.

師：計算準確.上式中，若令a=m2，b=n2，如何化簡？

生2：原式=（m2+ n2）2-（m2- n2）2= 4m2n2.

師：不錯.若將4m2n2視為（2mn）2，令a=2mn，b= m2- n2，c=m2+ n2（m，n為正整數，m>n），完成下表，有何發(fā)現？

生3：2mn，m2-n2，m2+ n2是一組勾股數.

師：2mn，m2-n2，m2+ n2是一組勾股數（m，n為正整數，m>n）.

活動2：填空

在直角三角形中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c.

（1）若a=3，b=4，則c=______;（2）若a=6，b=8，則c=______;

（3）若a=12，b=16，則c=______;（4）若a=15，c=25，則b=______.

師：填好表格，有何發(fā)現？

生：若a，b，c為勾股數，則它們的正整數倍是勾股數.

師：若a，b，c為勾股數，則ma，mb，mc也是勾股數（m為正整數）.

活動3：觀察表格

師：觀察表格，有何發(fā)現？

生1：橫向看，c比b大1;縱向看，a是奇數，b是4的整數倍.

師：按照行和列的順序來觀察，回答得很漂亮，還有其他發(fā)現嗎？

生2：b與c的和是a的平方.

師：太棒了，能深入地觀察到數量關系，鼓掌！

師生小結：①a為奇數;②c=b+1;③b是4的正整數倍;④b+c=a2.

師：若一個數為19，另兩個勾股數是什么？

師生一起計算，將a視為19，則b+c=192，c=b+1，得b=180，c=181.

師：若將勾a表示為2n+1，其余兩個勾股數是什么？

師生計算，b+c=（2n+1）2，c-b=1，得b=2n2+2n，c=2n2+2n+1.

師：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1（n為正整數）是一組勾股數.

活動4：觀察表格

師：吸取活動3的經驗，有何發(fā)現？

生：橫向看，c比b大2;縱向看，a是大于2的偶數.

師：若一個數為28，另兩個勾股數是什么？

師生一起計算，將a視為28，則c2-b2=a2，c-b=2，得b=195，c=197.

師：若將a表示為2n（n為大于1的正整數），另兩個勾股數是什么？

生：（快速計算）

師：c2-b2=a2=4n2，c=b+2，解得b=n2-1，c= n2+1，從而2n，n2-1，n2+1（n為大于1的正整數）是一組勾股數.

（4）反饋練習

1.一個勾股數是11，其余兩個勾股數可以是______.

2.一個勾股數是12，其余兩個勾股數可以是______.

3.a，b，c是一組勾股數，試說明ma，mb，mc也是一組勾股數.

4.若一組數中最大的數是2n2+2n+1（n為正整數），其他兩個數是______.

二、案例分析與思考

（一）深度學習具備問題導向性

初中階段，學生需要運用很多定理和公式做題，不少同學只知其然，不知其所以然.學習勾股數時，學生記住了（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13）等勾股數，但勾股數其實有無數組，那么如何構造很少有同學深入思考.本節(jié)探究課就是讓學生發(fā)現問題，深入研究.