立足教材，追尋本質(zhì)，發(fā)展思維

趙群

摘 要：“角平分線的性質(zhì)”是初中幾何教學(xué)的重要部分，文章作者教學(xué)所涉及的思想方法經(jīng)常出現(xiàn)在九年級(jí)的專題訓(xùn)練中，角平分線的問題處理策略和截長補(bǔ)短思想是教學(xué)中學(xué)生所要重點(diǎn)掌握的思想方法。文章通過對(duì)例題進(jìn)行深入的研究，尋求不同解法，進(jìn)行變式訓(xùn)練，有效開展例題教學(xué)，力求達(dá)到傳遞新知、探究方法、領(lǐng)會(huì)思想、學(xué)以致用、學(xué)科育人的目的，使學(xué)生能夠觸類旁通，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展思維。

關(guān)鍵詞：例題教學(xué);一題多解;變式教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?文章編號(hào)：2095-624X（2021）19-0083-02

一、例題呈現(xiàn)

北師大版教材八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章《三角形的證明》第4節(jié)角 平分線例3：如圖1，在?ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是?ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E。

（1）已知CD=4 cm，求AC的長;

（2）求證：AB=AC+CD。

二、功能分析

（一） 聯(lián)系舊知，鞏固新知

本例題是在學(xué)生學(xué)習(xí)了角平分線的概念、角平分線的性質(zhì)和全等三角形的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，學(xué)生通過聯(lián)系已有知識(shí)解答本例題，加深了對(duì)角平分線性質(zhì)的理解，有效地鞏固應(yīng)用了新學(xué)知識(shí)。解題回顧，本例題具備利用角平分線性質(zhì)的條件，即?ACD和?AED以AD所在直線為對(duì)稱軸成軸對(duì)稱圖形，有過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，因此可得全等和等線段。一般來說，我們可以把過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線的方法叫作角分線邊垂線法[1]，基本圖形如圖2。

（二）通過變式，挖掘價(jià)值

從知識(shí)的學(xué)習(xí)運(yùn)用、挖掘例題的思想方法出發(fā)，可以使例題發(fā)揮更大的作用。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者將例題里的一個(gè)條件隱藏，題目如下。

變式1：如圖3，在?ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E。

（1）已知CD=4 cm，求AC的長;

（2）求證：AB=AC+CD。

學(xué)生在解答時(shí)，需要分析題目中已知條件，聯(lián)系以前學(xué)過的方法。已知中含有構(gòu)成三角形全等的部分條件，結(jié)合本節(jié)課學(xué)習(xí)的角平分線性質(zhì)，輔助線添加順理成章。

證法1：利用角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E（見圖4）。不難看出，用原例題的解答方法即可完成證明。

幫助學(xué)生梳理與角平分線性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固全等三角形的性質(zhì)和判定，培養(yǎng)學(xué)生合理聯(lián)系已學(xué)知識(shí)，作輔助線的學(xué)習(xí)遷移能力。從解題方法上看，這是間接利用截長補(bǔ)短的方法來解決線段的和差問題，即通過作垂線，將長線段AB分割成兩部分，利用全等得到線段AE=AC，相當(dāng)于在AB上截取AE=AC，再證明EB=CD，問題迎刃而解。這樣的設(shè)計(jì)，利于新舊知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，使例題有更高的探究價(jià)值。對(duì)于線段和差問題的解決辦法，我們常用截長補(bǔ)短的方法來解決，這樣的變式和總結(jié)更有利于促進(jìn)學(xué)生思維深度發(fā)展，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)角平分線性質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（三）一題多解，滲透思想

構(gòu)造角分線兩邊的圖形關(guān)于角分線對(duì)稱，簡稱角分線對(duì)稱法，如圖5，作點(diǎn)B關(guān)于角分線AD的對(duì)稱點(diǎn)C，則DB=DC。

教材的探究活動(dòng)為本題的證明提供了思想方法，絕大多數(shù)學(xué)生在思考后都會(huì)得到證法1的解決方法，教學(xué)中，筆者大膽放手，給學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，通過小組活動(dòng)讓學(xué)生自行探索，尋求其他解題方法。根據(jù)角分線對(duì)稱法，學(xué)生可以利用補(bǔ)短來構(gòu)造全等三角形，通過直觀感知較長線段AB所在?ABD關(guān)于AD的對(duì)稱圖形，進(jìn)而在同伴的互相討論中，逐步形成新的解題思路。

證法2： 如圖6，延長線段AC到E，使得CE=CD，連接ED，通過證明?ABD≌?AED，得線段AB=AE。

通過證法1和證法2的分析和總結(jié)，學(xué)生對(duì)于本例中第（2）小題證明線段之間的和差關(guān)系這種數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)形式由不熟悉到會(huì)分析能解題，培養(yǎng)了學(xué)生關(guān)聯(lián)已知條件與已有知識(shí)借助已有解題經(jīng)驗(yàn)來解決未知問題的能力。對(duì)學(xué)生來講，這是為解決線段和差問題開辟新的思路，更重要的是本例題教學(xué)滲透的截長補(bǔ)短的數(shù)學(xué)思想方法，可以為九年級(jí)的以二次函數(shù)和圓為背景的截長補(bǔ)短問題的學(xué)習(xí)作鋪墊，具有承前啟后的作用。

三、變式教學(xué)

回顧是解題中的一個(gè)重要而且有益的活動(dòng)。通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑，這樣能夠鞏固知識(shí)，并培養(yǎng)學(xué)生的解題能力[2]。

筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧思考本例中的已知條件，AD是?ABC的角平分線，∠C=90°，∠B=45°，不難發(fā)現(xiàn)存在∠C=2∠B的倍角關(guān)系，可以利用二倍角等腰法構(gòu)輔助線，如果把例題中的特殊角變式轉(zhuǎn)化成一般的角，即∠B=2∠C，那么AC=AB+BD這一結(jié)論是否成立？

變式2：如圖7，已知AD是△ABC的角平分線，∠B=2∠C，求證：AC=AB+BD。

證法1：如圖8，在AC上截取AE=AB，證△ABD≌

?AED，得BD=DE，∠B=∠AED，因?yàn)椤螧=2∠C，易證DE=EC，從而得證。

證法2：如圖9，延長AB到F，使得BF=BD，因?yàn)椤螦BC=2∠C，易證∠F=∠C，證?AFD≌?ACD，得AC=AF，從而得證。

變式2：基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在探尋變式題目的產(chǎn)生及證明思路的過程中，學(xué)生感悟到從特殊到一般的思想方法，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。在解題反思和回顧中，總結(jié)本題所蘊(yùn)含的解題策略有角分線對(duì)稱法、二倍角等腰法，以及截長補(bǔ)短法思想方法，讓學(xué)生體會(huì)到解題研究的快樂。

波利亞在《怎樣解題》中指出，要解決一個(gè)問題，必須讓學(xué)生理解這個(gè)問題，對(duì)條件進(jìn)行聯(lián)想[3]，分析它們之間的關(guān)聯(lián)，再讓學(xué)生利用已有解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析，尋求解決問題的對(duì)策和方法。在變式2教學(xué)之前，學(xué)生初步掌握了此類幾何問題的思維方法，從已知條件出發(fā)，根據(jù)條件進(jìn)行知識(shí)關(guān)聯(lián)，基本掌握角分線問題的處理策略——角分線對(duì)稱法、邊垂線對(duì)稱法結(jié)合截長補(bǔ)短構(gòu)造全等，實(shí)現(xiàn)線段轉(zhuǎn)換解答問題。通過一系列思考、引導(dǎo)和鼓勵(lì)一題多解，學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)角度提出問題、分析問題，并綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能解決問題。在課堂教學(xué)中，教師要力求使學(xué)生成為知識(shí)的探究者、獲得者，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問題勤于思考、敢于質(zhì)疑，善于解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維[4]。