淺談如何通過構(gòu)建生活實(shí)踐情境實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模能力

高詠詠

摘 要：聚焦2020年高考試題，數(shù)學(xué)試卷上出現(xiàn)鋼琴黑白鍵這一現(xiàn)象引起了廣泛討論。如何應(yīng)對(duì)高考試題創(chuàng)新中出現(xiàn)的變數(shù)再次成為熱議話題。文章將回顧歷年高考及?？紨?shù)學(xué)真題中的“樂理題”，分析其具體知識(shí)考查重點(diǎn)，并試圖指出：高考題中音樂題頻繁出現(xiàn)，恰恰是落實(shí)1952年以來，教育部課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力”這一條標(biāo)準(zhǔn)的要求。對(duì)數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于生活藝術(shù)諸領(lǐng)域的考察，正是對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。對(duì)此，我們應(yīng)該著重培養(yǎng)靈活運(yùn)用高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的能力，鍛煉學(xué)生在生活實(shí)踐情境中解決數(shù)學(xué)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科意識(shí)與問題關(guān)切。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);音樂與數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模

聚焦2020年高考試題，數(shù)學(xué)試卷上出現(xiàn)鋼琴黑白鍵這一現(xiàn)象引起了廣泛討論。媒體紛紛評(píng)論：“從小學(xué)鋼琴的孩子有福了。”從一方面看，這種說法固然有其合理性，加強(qiáng)對(duì)中學(xué)學(xué)生的美學(xué)教育不但是教育部推進(jìn)素質(zhì)教育改革發(fā)展的要求，也是時(shí)代發(fā)展的必然趨勢(shì)。另一方面，這種說法也必然會(huì)引起另一個(gè)問題：難道不會(huì)鋼琴的孩子就一定做不出這道高考數(shù)學(xué)題嗎？答案當(dāng)然是否定的。如果我們進(jìn)一步深入分析命題人的出題思路，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)：高考題中音樂題頻繁出現(xiàn)，事實(shí)上是對(duì)將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于生活實(shí)踐情境能力的考查，這并不強(qiáng)求學(xué)生具備相關(guān)的樂理知識(shí)。

需要進(jìn)一步澄清的是：音樂與數(shù)學(xué)并非兩個(gè)毫不相干的學(xué)科，恰恰是數(shù)學(xué)建模思維的發(fā)展，賦予我們認(rèn)識(shí)文化生活實(shí)踐諸領(lǐng)域一個(gè)新的維度。因而，高考試題中出現(xiàn)樂理題并不是出人意料的超綱，而恰恰是教育部課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力”這一條標(biāo)準(zhǔn)的要求。面對(duì)高考數(shù)學(xué)試題的創(chuàng)新沿革，我們需要擔(dān)憂的恰恰不是“如何補(bǔ)充領(lǐng)域外的知識(shí)來應(yīng)對(duì)考查范圍的變數(shù)”，而是如何用數(shù)學(xué)建模思維統(tǒng)攝生活中的雜多。簡(jiǎn)而言之便是：用數(shù)學(xué)思想滲透生活實(shí)踐，數(shù)學(xué)不僅僅在試題本上，也在生活中。對(duì)數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于生活藝術(shù)諸領(lǐng)域的考查，正是對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。

同時(shí)，我們也需要意識(shí)到，2020全國(guó)2卷文科高考數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)樂理題，或者更寬泛地來說，高考數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)與藝術(shù)美育相關(guān)的題，并不是一個(gè)個(gè)別現(xiàn)象。如果我們追蹤五年內(nèi)各省市高考題和模擬試題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這種通過構(gòu)建生活情境來檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與建模能力的考查思路與方法，在近幾年數(shù)學(xué)考試命題中是一脈相承的。因此，在對(duì)高考數(shù)學(xué)進(jìn)行準(zhǔn)備復(fù)習(xí)工作時(shí)，我們聚焦題目考查的重點(diǎn)、方法與思路，培養(yǎng)學(xué)生在生活實(shí)踐情境中靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思維發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力。

文章主要分為三個(gè)部分，首先，我們將回顧歷年高考及?？紨?shù)學(xué)真題，給出較為合理的解題方法，并分析其具體知識(shí)考查重點(diǎn)。其次，我們將進(jìn)一步分析命題人的考查重點(diǎn)與考查思路對(duì)學(xué)生相應(yīng)能力的要求。最后，我們將著眼于這些要求，探索如何針對(duì)這類題目的命題思路，培養(yǎng)學(xué)生的相關(guān)能力，以應(yīng)對(duì)考試。

一、 試題解法分析

（一）2020全國(guó)卷二文科高考數(shù)學(xué)第3題分析

題目：如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2…a12，設(shè)1≤i≤j≤k≤12，若k-j=3且j-i=4，則稱ai，aj，ak，為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦，用這12鍵可以構(gòu)成原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)為（? ）

A. 5

B. 8

C. 10

D. 15

這道題目看上去較為抽象復(fù)雜，事實(shí)上用排列組合中的簡(jiǎn)單列舉法就可以解出。

綜上，一共有10個(gè)，答案選C。

如果學(xué)生有過學(xué)過鍵盤樂器的經(jīng)驗(yàn)，確實(shí)容易對(duì)此類生活情境有著更直觀的把握。但事實(shí)上，命題人在這里引入鋼琴鍵盤，并不是為了考查學(xué)生的樂理知識(shí)，而是要考查學(xué)生在生活實(shí)踐情境中靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)的能力。另一點(diǎn)需要澄清的是：要解答這道試題需要的并不是額外的樂理知識(shí)，事實(shí)上，解答這道題所需要的樂理知識(shí)已經(jīng)以數(shù)學(xué)模型的方式在題目中表達(dá)了出來。更具體地說，命題人在題目中已經(jīng)對(duì)黑白鍵進(jìn)行了數(shù)學(xué)符號(hào)化，將原位大三和弦和原位小三和弦的定理用數(shù)學(xué)公式表達(dá)出來，為考生對(duì)陌生領(lǐng)域的把握提供了橋梁，因而已經(jīng)將音樂問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題。恰恰是通過數(shù)學(xué)橋梁的搭建，學(xué)生能夠用最基礎(chǔ)的排列組合知識(shí)，解決陌生領(lǐng)域的問題。

數(shù)學(xué)建模在生活情境中的運(yùn)用遠(yuǎn)不止于此，《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“音樂的要素都與數(shù)學(xué)相關(guān)，特別是音的律制與數(shù)學(xué)的關(guān)系十分密切?！?018年北京高考數(shù)學(xué)第2題道選擇題就精確貼合課程標(biāo)準(zhǔn)，考察了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決律制問題的能力。

（二）2018年北京高考數(shù)學(xué)第2題分析

題目：“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。十二平均律將一個(gè)純八度音程分為十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于122，若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為（? ）

A. 32f

B. 322f

C. 1225f

D. 1227f

這道題是建立了等比數(shù)列模型，需要運(yùn)用的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是冪指數(shù)的運(yùn)算，是高中數(shù)學(xué)必修一的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)之一。如果說上一題是在生活情境之上構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，那么這道題則是與音樂領(lǐng)域用數(shù)學(xué)表達(dá)的既有范式有關(guān)。作為給樂器人聲調(diào)音校準(zhǔn)的范式，五度相生律、純律、十二平均律等律制的演變革新恰恰與人類歷史上數(shù)學(xué)的進(jìn)展密切相關(guān)。培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科意識(shí)和學(xué)科關(guān)切，擴(kuò)展學(xué)生的學(xué)科視野近些年愈發(fā)被重視，因此，音樂與數(shù)學(xué)模塊作為D類選修課程變得愈發(fā)重要起來。

以上選擇的兩道題目都是高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)樂理題的典型案例。事實(shí)上，回溯歷年高考數(shù)學(xué)及模擬真題，有不少試題涉及音樂及相關(guān)藝術(shù)文化實(shí)踐場(chǎng)景。選擇這兩道題目作為示例的原因是：首先，這兩道題目均為高考真題，在一定程度上代表了近幾年高考命題的命題思路和方向;其次，這兩道試題較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與音樂深度結(jié)合的思路。在第一道題中，命題人用數(shù)學(xué)建模的方法較為精簡(jiǎn)準(zhǔn)確地概括了抽象的和聲學(xué)知識(shí)，將黑白琴鍵數(shù)字化、符號(hào)化，不僅符合課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的考察重點(diǎn)，也切實(shí)符合當(dāng)代音樂研究的發(fā)展方向。在第二道題中，命題人用短短幾十字揭示了數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展與律學(xué)變革的關(guān)系，體現(xiàn)了命題人相當(dāng)精深數(shù)學(xué)科學(xué)史素養(yǎng)，這種歷史的跨學(xué)科思維與素養(yǎng)是近年來中學(xué)數(shù)學(xué)教育新的側(cè)重點(diǎn)。