高考中的數列求和問題

廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

我們知道，等差數列和等比數列是兩類最基本的數列，求通項公式和前n項和是數列的兩個基本問題，解答一般數列求和問題的基本思想是根據數列通項的特征，運用適當的方法，把它轉化為等差數列、等比數列、或其它可求和數列的求和問題，常用的方法有：公式法、分組轉化法、裂項相消法、并項求和法、倒序相加法和錯位相減法等.下面以近年高考題為例，闡述如下：

一、公式法

如果數列是等差數列或等比數列，那么它的前n項和可直接用求和公式求得.公式法是數列求和最基本、最重要的方法.

例1(2020·海南)已知公比大于1的等比數列{an}滿足a2+a4=20，a3=8．

(1)求{an}的通項公式；

(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1．

分析(1)設數列{an}的公比為q(q>1)，先用基本量法求出a1和q，再求出數列{an}的通項公式；

(2)依題意，數列{(-1)n-1anan+1}是以a1a2為首項，-q2為公比的等比數列，根據等比數列求和公式，即可求出答案．

解析(1)設等比數列{an}的公比為q(q>1)，

所以an=2·2n-1=2n．

點評本題考查等比數列的通項公式、前n項和公式，考查轉化思想和方程思想，屬于基礎題．

二、分組轉化法

如果數列的各項是由若干個可求和數列的對應項之和構成，那么這個數列的前n項和可用分組轉化法求得，這個數列的前n項和等于這些數列前n項和的和.分組轉化法是數列求和常用的方法之一.

解題步驟：(1)把已知數列拆分成若干個可求和的數列；(2)求出各個數列的前n項和；(3)把所得的結果相加.例如，數列{an+b+cqn-1}可拆分成數列{an+b}和{cqn-1}等.

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)設bn=2an+(-1)nan，求數列{bn}的前2n項和．

所以數列{bn}的前2n項和為22n+1+n-2．

點評本題主要考查數列通項公式的求法及數列求和的方法，考查學生的運算能力，屬中檔題．

三、裂項相消法

如果數列的通項可以拆分成兩項之差，并且在求和時大部分中間項可以相互抵消，只剩下首尾有限項，那么這個數列的前n項和可用裂項相消法求得.裂項相消法是數列求和重要的方法之一.

解題步驟：(1)把通項拆分成兩項之差；(2)寫出和式；(3)化簡.

(1)求{an}的通項公式;

分析(1)根據數列的遞推關系，利用作差法可以求出{an}的通項公式；

因為an>0，所以an+1-an=2.

所以{an}是首項為3，公差d=2的等差數列.

所以{an}的通項公式an=3+2(n-1)=2n+1.

點評本題主要考查數列的通項公式以及數列求和的計算，利用裂項法是解決本題的關鍵，屬中檔題.

分組轉化法與裂項相消法本質上都是拆：前者是把數列拆分成若干個可以分別求和的數列；后者是把數列拆分成兩個大部分項可以相互抵消的數列.

四、并項求和法

如果依次把數列相鄰的若干項合并，可以構成一個新的可以求和的數列，那么這個數列的前n項和可用并項求和法求得.并項求和法是數列求和常用的方法之一.

解題步驟：(1)依次把數列相鄰的若干項合并；(2)構造新數列；(3)求新數列各項之和.形如{(-1)n(an+b)}的數列、周期數列等求和問題都可用此法.

分析易知，數列{an}是周期數列，且周期為4.算出ai(i=1,2,3,4)的值，即可算出所求的結果．

點評本題主要考查數列的求和方法，正確找出數列{an}的周期性是解題的關鍵，屬中檔題.

例5(2012·新課標)數列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為____．

分析這是一個遞推公式中含有(-1)n的數列求和問題，可按奇數項、偶數項分別找出各項之間的規(guī)律，進而求出結果.

解析因為an+1+(-1)nan=2n-1，

所以an+2+(-1)n+1an+1=2n+1.

兩式相減，得an+2+an=2.

所以S奇=(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)=2×15=30.

兩式相加，得an+2+an=4n.

故{an}的前60項和S=S奇+S偶=30+1800=1830.

點評本題考查數列的遞推公式，考查用分組轉化法和并項求和法求數列的前n項和，運用分類討論思想分別找出奇數項、偶數項之間的關系是解題的關鍵，屬中檔題．

五、倒序相加法

推導等差數列前n項和公式的方法就是倒序相加法.一般地，如果數列中與首尾等距離的兩項之和相等，那么這個數列的前n項和可用倒序相加法求得.倒序相加法也是數列求和常用的方法之一.

設S=f(-5)+f(-4)+…+f(5)+f(6)，

則S=f(6)+f(5)+…+f(-4)+f(-5).

并項求和法與倒序相加法本質上都是合：前者是依次把數列相鄰的若干項合并，構成一個新的可以求和的數列；后者是把兩個數列(原數列和倒序數列)中的對應項依次合并，構成一個新的可以求和的數列.

六、錯位相減法

推導等比數列前n項和公式的方法就是錯位相減法.一般地，如果數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成，那么這個數列的前n項和可用錯位相減法求得.即形如{(an+b)qn-1}的數列求和都可以用錯位相減法.錯位相減法也是數列求和的重要方法之一.

例7(2014·新課標全國Ⅰ卷)已知{an}是遞增的等差數列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根．

(1)求{an}的通項公式；

分析(1)解出方程的根，根據遞增數列求出a2，a4的值，從而求出通項；

(2)將(1)中求得的通項代入，用錯位相減法求和．

①

②

點評本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．

綜上，盡管數列求和的考查形式千變萬化，但是其解法的本質卻一成不變，歸根結底就是根據通項公式的特征，把一般數列的求和問題轉化為已知數列的求和問題.只有靈活掌握所學知識，深刻領會求和方法的思想精髓，才能運用自如，得心應手，真正提升自己的解題能力.