評(píng)析近兩年高考題中“復(fù)數(shù)”題的命題規(guī)律

陸漢俊

(江蘇省邗江中學(xué)(集團(tuán))北區(qū)校維揚(yáng)中學(xué) 225009)

仔細(xì)分析近兩年的高考數(shù)學(xué)題，歸納發(fā)現(xiàn)“復(fù)數(shù)”一章在內(nèi)容的呈現(xiàn)上難度降低了很多，尤其最值問題近兩年都未涉及.但即便如此，有不少學(xué)生遇到復(fù)數(shù)題，方法還是不靈活，錯(cuò)誤率較高.為了能幫助學(xué)生進(jìn)一步把握好高考中的復(fù)數(shù)題，提高得分率，現(xiàn)將近兩年高考中的復(fù)數(shù)題的類型歸納、分析如下：

一、復(fù)數(shù)的基本概念

例1(2020年浙江卷)已知a∈R，若a-1+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則a=( ).

A. 1 B. -1 C. 2 D. -2

分析按照復(fù)數(shù)作為一個(gè)實(shí)數(shù)來列式進(jìn)行求解.

解析因?yàn)?a-1)+(a-2)i為實(shí)數(shù)，所以a-2=0，解得a=2.故選C.

評(píng)析主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念,考查了基本的理論分析和邏輯求解問題的能力.

二、復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算

例2 (2019年江蘇卷)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是____.

分析本題依據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，先求得復(fù)數(shù)的最簡形式,然后令其中的實(shí)部為0，列方程可得解.

解析因?yàn)?a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i，令a-2=0，得a=2.

評(píng)析本題重點(diǎn)考查了復(fù)數(shù)實(shí)部的定義和復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則,充分考查了學(xué)生的綜合邏輯推理轉(zhuǎn)化和分析求解的能力.

三、復(fù)數(shù)的幾何意義

例3(2020年北京卷理數(shù))在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)，則i·z=( )．

A. 1+2i B. -2+i C. 1-2i D. -2-i

分析本題首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出z=1+2i,其次根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的法則得出結(jié)果.

解析由題意，得z=1+2i，所以iz=i-2.故選B.

評(píng)析本題重點(diǎn)考查了復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，進(jìn)一步考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

四、共軛復(fù)數(shù)的概念

A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i

評(píng)析本題注重對復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和正確理解共軛復(fù)數(shù)的概念的考查,很多學(xué)生比較容易出現(xiàn)理解或計(jì)算上的錯(cuò)誤.

五、復(fù)數(shù)模的定義及運(yùn)算

分析本題首先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則(分母實(shí)數(shù)化)求出z,其次再由復(fù)數(shù)模的定義求出|z|的值.

評(píng)析本題著重考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則(分母實(shí)數(shù)化)和復(fù)數(shù)模的定義，考查了學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.

六、復(fù)數(shù)模的幾何意義

例6(2019年全國Ⅰ卷理數(shù))設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則( ).

A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

分析本題根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義得出點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(0,1)之間的距離為1,從而得到圓的方程.

故選C.

評(píng)析本題著重考查了復(fù)數(shù)的模的幾何意義，進(jìn)一步滲透了直觀想象的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和數(shù)形結(jié)合思想．

七、復(fù)數(shù)模的綜合應(yīng)用

分析1 令z1=a+bi,(a∈R,b∈R)，z2=c+di,(c∈R,d∈R)，根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)的模都等于2及復(fù)數(shù)相等的結(jié)論可求得ac+bd=-2，代入|z1-z2|公式中可求出正確的答案.

分析3運(yùn)用公式|z1-z2|2+|z1+z2|2=2(|z1|2+|z2|2)

所以a2+b2=4，c2+d2=4.

所以(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2(ac+bd)=4.

所以ac+bd=-2.

所以|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|

評(píng)析解法1主要運(yùn)用了復(fù)數(shù)相等時(shí)的結(jié)論、復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算法則；

解法2著重測試了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；

解法3是公式或結(jié)論的靈活運(yùn)用.說明：多掌握公式和結(jié)論，尤其在解決選擇題和填空題時(shí)會(huì)發(fā)揮強(qiáng)大的力量，達(dá)到事半功倍的效用.

總之，通過對近兩年高考題中的“復(fù)數(shù)”題的全面分析，可以看出《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》這一章重點(diǎn)考查：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模的定義及模的幾何意義.考查的難點(diǎn)是復(fù)數(shù)模的綜合應(yīng)用.我想，只要緊扣定義，掌握好幾何意義，加大運(yùn)算能力的培養(yǎng)，同時(shí)在難點(diǎn)上精練精析，就一定能解決好“復(fù)數(shù)”高考題.