用裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列和的應(yīng)用舉例

徐長溉

【摘要】筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常能遇到應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的題型，經(jīng)過精心歸納總結(jié)，現(xiàn)舉例如下供師生們參考借鑒.裂項(xiàng)相消法就是利用分解與組合的思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（一般是通項(xiàng)）進(jìn)行分解，然后再重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.特別適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)的差的形式，即利用a璶=f（n+1）-f（n），然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)從而化繁為簡.從而解決數(shù)列求和的問題.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列和的求解；裂項(xiàng)相消法

數(shù)列和的求解問題是數(shù)列學(xué)習(xí)中比較棘手的一類問題.如何從復(fù)雜紛繁的求數(shù)列和的式子中，準(zhǔn)確地找出切入的關(guān)鍵手法，是我們所要探討和尋求的關(guān)鍵所在.裂項(xiàng)相消法就是我們所能舉一反三的借鑒所在.下面我就從具體例子中來觀察裂項(xiàng)相消法的具體優(yōu)勢所在.

1.等差數(shù)列積的倒數(shù)和

已知等差數(shù)列{a璶}首項(xiàng)a1，公差d.求和：S璶=1[]a1a2+1[]a2a3+…+1[]a璶a璶+1.

解 1[]a璶a璶+1=1[]a璶+1-a璶1[]a璶-1[]a璶+1=1[]d1[]a璶-1[]a璶+1.

S璶=1[]d1[]a1-1[]a2+1[]a2-1[]a3+…+1[]a璶-1[]a璶+1=1[]d1[]a1-1[]a璶+1.

其中a璶+1=a1+nd.

求和：（1）S璶=1[]1·2+1[]2·3+…+1[]n·（n+1）.

（2）S璶=1[]1·4+1[]4·7+…+1[]（3n-2）·（3n+1）.

2.含二次根式的數(shù)列和

已知正項(xiàng)等差數(shù)列{a璶}首項(xiàng)a1，公差d.求和：S璶=1[]a1+a2+1[]a2+a3+…+1[]a璶+a璶+1.

解 1a璶+a璶+1=a璶+1-a璶（a璶+a璶+1）（a璶+1-a璶）=1d（a璶+1-a璶）.

S璶=1d（2-1+3-2+…+a璶+1-a璶）=1d（a璶+1-1）.

其中a璶+1=a1+nd.

求和：S璶=11+2+12+3+…+1n+n+1.

3.含對數(shù)的數(shù)列和

已知正項(xiàng)數(shù)列a璶，求和：S璶=log璦a2a1+log璦a3a2+…+log璦a璶+1a璶（a>0且a≠1）.

解 log璦a璶+1a璶=log璦a璶+1-log璦a璶.

S璶=log璦a2-log璦a1+log璦a3-log璦a2+…+log璦a璶+1-log璦a璶=log璦a璶+1-log璦a1.

求和：S璶=lg21+lg32+…+lgn+1n.

4.含三角函數(shù)的數(shù)列和

（1）求和：S璶=sinx+sin2x+…+sinnx.

解 sinnx=sinnxsinx2sinx2=-12sinx2cosnx+x2-cosnx-x2

=-12sinx2cos2n+12x-cos2n-12x.

S璶=-12sinx2cos32x-cosx2+cos52x-cos32x+…+cos2n+12x-cos2n-12x

=-12sinx2cos2n+12x-cosx2.

（2）求和：S璶=tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tannxtan（n+1）x.

解 tanx=tan[（n+1）x-nx]=tan（n+1）x-tannx1-tan（n+1）xtannx.

tan（n+1）xtannx=1-tan（n+1）x-tannxtanx.

S璶=1-tan2x-tanxtanx+1-tan3x-tan2xtanx+…+1-tan（n+1）x-tannxtanx=n+tanx-tan（n+1）xtanx=n+1-tan（n+1）xtanx.

5.含排列組合種數(shù)求和

（1）S璶=1·1！+2·2！+…+n·n！.

解 n·n！=（n+1）！-n！，S璶=2！-1！+3！-2！+…+（n+1）！-n！=（n+1）！-1.

（2）S璶=12！+23！+…+n（n+1）！.

解 n（n+1）！=（n+1）-1（n+1）！=1n！-1（n+1）！.

S璶=11！-12！+12！-13！+…+1n！-1（n+1）！=1-1（n+1）！.

（3）S璶=c22+c23+c24+…+c2璶.

解 由組合性質(zhì)c2璳=c3璳+1-c3璳，得S璶=c22+c34-c33+c35-c34+…+c3璶+1-c3璶=c3璶+1.

6.含指數(shù)的數(shù)列求和

求和：S璶=a（a+1）（a2+1）+a2（a2+1）（a3+1）+…+a琻（a琻+1）（a琻+1+1）（a>0，且a≠1）.

解 a琻（a琻+1）（a琻+1+1）=1a-11a琻+1-1a琻+1+1.

S璶=1a-11a+1-1a2+1+1a2+1-1a3+1+…+1a琻+1-1a琻+1+1=1a-11a+1-1a琻+1+1.

求和：S璶=2（2+1）（22+1）+22（22+1）（23+1）+…+2琻（2琻+1）（2琻+1+1）.

7.等差數(shù)列的和

已知a璶=2n+1，求S璶

解 a璶=（n+1）2-n2，S璶=22-12+32-22+…+（n+1）2-1=n2+2n.

8.等比數(shù)列的和

已知a璶=2琻，求S璶.

解 a璶=2琻+1-2琻，S璶=22-2+23-22+…+2琻+1-2琻=2琻+1-2.

9.等差數(shù)列乘等比數(shù)列的和（主要用錯(cuò)位相減法）

已知a璶=4n-55琻，求S璶.

解 a璶=4n-55琻=n-15琻-1-n5琻，S璶=0-15+15-252+…+n-15琻-1-n5琻=-n5琻.

綜上，我們可以看到裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.它使我們找到了一個(gè)能夠切入紛繁多變的數(shù)列求和中行之有效的實(shí)用手法.同行不妨一試，學(xué)者不妨效法.