立足數(shù)學(xué)本質(zhì) 凸顯數(shù)學(xué)價(jià)值

李靜

摘? ?要：坐標(biāo)系的建立在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著開創(chuàng)性意義，用代數(shù)方式研究圖形的運(yùn)動(dòng)和變化，將數(shù)與形完美地結(jié)合在一起。小學(xué)數(shù)學(xué)“位置”教學(xué)是平面直角、極坐標(biāo)系內(nèi)容的初步滲透，這部分內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、模型思想等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的很好素材。教師應(yīng)立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷坐標(biāo)系模型的抽象過程，感受其價(jià)值，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);坐標(biāo)系;數(shù)學(xué)抽象;直觀想象;模型思想

中圖分類號(hào)：G623.5? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2021）16-0056-05

平面直角（極）坐標(biāo)系的初步認(rèn)識(shí)是21世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的新增內(nèi)容，是“圖形與位置”課程內(nèi)容的組成部分。各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材這部分內(nèi)容的編排都創(chuàng)設(shè)了諸如教室座位、海上船只的位置等現(xiàn)實(shí)情境。教學(xué)時(shí)，教師們也多基于各種生活情境，引導(dǎo)學(xué)生建立規(guī)則（參照系）后，用數(shù)表示位置。在生活化的情境中進(jìn)行學(xué)習(xí)雖然貼近學(xué)生的認(rèn)知，但是如果囿于現(xiàn)實(shí)情境，就“位置”講“位置”也會(huì)淡化坐標(biāo)系的“數(shù)學(xué)味”。那么，如何立足坐標(biāo)系的本質(zhì)，感悟“位置”教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)價(jià)值，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考呢？下面就從數(shù)學(xué)史的發(fā)展，課程內(nèi)的安排和教學(xué)實(shí)施幾個(gè)方面進(jìn)行剖析。

一、圖形的量化研究——從數(shù)學(xué)發(fā)展史看坐標(biāo)系產(chǎn)生的意義

在相當(dāng)長的數(shù)學(xué)發(fā)展史中，算數(shù)一直是幾何的附庸。開創(chuàng)圖形代數(shù)研究歷史的是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬，他們提出的坐標(biāo)系模型將數(shù)與圖形完美的結(jié)合在一起，開啟了解析幾何的現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究。笛卡爾更多的精力放在了哲學(xué)方面，他在《方法論》中闡述了這樣的觀點(diǎn)：至于古代人的幾何和近代人的代數(shù)，都是只研究非常抽象、看起來毫無用處的題材，前者始終局限于考察圖形，直到把想象力累得疲憊不堪后才運(yùn)用理解力;后者則一味地用規(guī)則和數(shù)字來約束，使人感覺晦澀枯燥、頭昏腦脹，卻得不到心靈的學(xué)問。正因?yàn)槿绱?，我們才要尋找另一種方法，包含這些學(xué)問的長處，而沒有他們的短處。

笛卡爾在《方法論》的附錄《幾何學(xué)》中實(shí)踐的想法就是解析幾何的方法。解析幾何的基本方法是引進(jìn)“坐標(biāo)”，即對(duì)一個(gè)幾何對(duì)象附上或標(biāo)上數(shù)，從而完全刻畫了這個(gè)對(duì)象。我們知道，研究物體的運(yùn)動(dòng)是需要參照系的，從這個(gè)意義上說，刻畫圖形的運(yùn)動(dòng)軌跡也必須借助參照系。解析幾何的核心思想是建立一個(gè)參照系，借助參照系通過數(shù)量分析的方法研究幾何圖形及其運(yùn)動(dòng)變化。平面直角坐標(biāo)刻畫平面上任意一點(diǎn)的方法：在平面上做一對(duì)互相垂直的線，作為每一個(gè)點(diǎn)所參照的x軸和y軸，把這兩條直線看成是有方向的數(shù)軸并且用同樣的單位來度量;另外，用一條射線和一個(gè)角度也可以作為參照系，這就是極坐標(biāo)系，牛頓和伯努利最早使用了極坐標(biāo)系。同樣是描述平面上點(diǎn)的位置，直角坐標(biāo)系建立的是橫縱坐標(biāo)的方形網(wǎng)格，極坐標(biāo)系建立的是旋轉(zhuǎn)角的邊與距離為半徑的同心圓的網(wǎng)格。平面坐標(biāo)系包括;平面直角坐標(biāo)系、平面斜角坐標(biāo)系、仿射坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等。利用坐標(biāo)系不僅能推導(dǎo)出幾何圖形的代數(shù)表達(dá)式，還能夠幫助我們利用幾何直觀來研究代數(shù)問題。

二、感悟坐標(biāo)系思想——小學(xué)數(shù)學(xué)“位置”課程內(nèi)容安排

小學(xué)數(shù)學(xué)課程分兩部分來教學(xué)坐標(biāo)系的初步認(rèn)識(shí)，分別是平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的初步認(rèn)識(shí)。基于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)識(shí)水平，兩部分內(nèi)容在各版本教材中均創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的生活情境。平面直角坐標(biāo)系的初步認(rèn)識(shí)一般都基于教室的座位、操場上的隊(duì)列或電影院的座位等場景，在統(tǒng)一的規(guī)則下，用橫、縱兩個(gè)坐標(biāo)參數(shù)，確定人（或物）的位置。極坐標(biāo)系在生活中一般應(yīng)用于導(dǎo)航，各版本教材也多采用公園場館位置或海上船只位置等情境，用相對(duì)于參照點(diǎn)的距離（極徑）和相對(duì)于某方向的旋轉(zhuǎn)角度（極角）來確定位置。

雖然在現(xiàn)實(shí)情境中教學(xué)坐標(biāo)系的內(nèi)容，但是教學(xué)“確定位置”的目標(biāo)并不止于會(huì)用數(shù)對(duì)等表示某個(gè)具體位置，更重要的是讓學(xué)生體會(huì)這種“表示”的價(jià)值?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中給出了數(shù)對(duì)確定位置的實(shí)施建議：小青坐在教室的第3行第4列，請(qǐng)用數(shù)對(duì)表示，并在方格紙上描出來。在同樣的規(guī)則下，小明坐在教室的第1行第3列應(yīng)當(dāng)怎樣表示？需要先在方格紙上標(biāo)明正整數(shù)刻度，希望學(xué)生能夠把握數(shù)對(duì)與方格紙上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且知道不同數(shù)對(duì)之間可以進(jìn)行比較。這個(gè)過程有利于學(xué)生將來直觀理解直角坐標(biāo)系。教學(xué)用數(shù)對(duì)在方格紙上表示點(diǎn)的位置要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷空間結(jié)構(gòu)化、抽象化的過程，有效地溝通初中階段的直角坐標(biāo)系內(nèi)容，感知坐標(biāo)系的表示方法及思想。那么，在教學(xué)中如何就這些內(nèi)容更好的體現(xiàn)“坐標(biāo)系”蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)和價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？下面結(jié)合“用數(shù)對(duì)確定位置”一課的教學(xué)實(shí)踐談一談。

三、凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)——小學(xué)數(shù)學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”教學(xué)實(shí)踐

（一）擺脫生活情境的干擾，感悟數(shù)學(xué)規(guī)定的“合理性”

在生活中，人們用行列描述位置時(shí)并沒有統(tǒng)一規(guī)律，往往因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)情境不同而呈現(xiàn)多種結(jié)果。筆者曾多次在不同場合執(zhí)教“用數(shù)對(duì)確定位置”一課。在情境引入環(huán)節(jié)筆者讓學(xué)生描述自己在教室的位置。多數(shù)情況學(xué)生都會(huì)用“第幾列，第幾位”等語言描述，也就是先確定縱列，再確定橫行來描述位置。但是有一次，幾個(gè)學(xué)生無一例外的都表述為“第幾排（或行），第幾個(gè)”，也就是先確定在第幾橫行再確定在第幾縱列。同樣是描述位置，這個(gè)班的同學(xué)為什么會(huì)與其他班級(jí)情況不同？上完課筆者靜下心來觀察教室座位擺放才恍然大悟：這節(jié)課是在一個(gè)會(huì)議室上的，座位擺放類似于電影院的座椅排列方式，學(xué)生在確定位置時(shí)先找到在第幾排（行），再確定在第幾個(gè)（列）。而學(xué)生平時(shí)上課的教室桌椅都是按列擺放的。

在方格紙上用數(shù)對(duì)確定位置時(shí)，學(xué)生常出現(xiàn)的問題是習(xí)慣于先確定行再確定列（先確定縱坐標(biāo)，再確定橫坐標(biāo)），這是學(xué)生閱讀習(xí)慣“干擾”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果。其實(shí)，我們并不用過分糾結(jié)數(shù)對(duì)的順序在生活中的合理性，數(shù)對(duì)表示位置應(yīng)關(guān)注的本質(zhì)不在兩個(gè)數(shù)誰先誰后的問題，而是一定要用兩個(gè)數(shù)的信息，才能確定一個(gè)人的位置，即二維平面上點(diǎn)的位置要用兩個(gè)參數(shù)來唯一的確定。因此在教學(xué)時(shí)筆者引導(dǎo)學(xué)生思考（圖1）：

同學(xué)們對(duì)自己在教室的位置的描述有什么共同點(diǎn)？

曹培英老師說“當(dāng)我們覺得數(shù)學(xué)的規(guī)定與學(xué)生的認(rèn)知有沖突時(shí)，十有八九是我們沒有真正理解數(shù)學(xué)?！睌?shù)對(duì)表示的順序有其數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性和發(fā)展性。利用數(shù)軸（數(shù)軸是一維空間的參照系）可以確定一維空間中一個(gè)點(diǎn)的位置，在二維空間中需要再取一個(gè)維度的參數(shù)才能確定點(diǎn)的位置。故而，由數(shù)軸發(fā)展為平面直角坐標(biāo)系，便有了先確定橫坐標(biāo)（列），再確定縱坐標(biāo)（行）的規(guī)定。教學(xué)時(shí)教師可以設(shè)置這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生感悟這種數(shù)學(xué)規(guī)定的“合理性”：

師：一年級(jí)的時(shí)候我們就曾經(jīng)學(xué)習(xí)過用數(shù)表示位置。當(dāng)同學(xué)排成一行時(shí)，我們可以用1，2，3，4……這樣的一個(gè)數(shù)表示一個(gè)同學(xué)的位置（圖2）。

師：當(dāng)同學(xué)們排成幾行時(shí)，我們就不能用一個(gè)數(shù)確定一個(gè)人的位置了，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)了這樣的一列同學(xué)。這時(shí)，我們要用同學(xué)所在列的信息，和行的信息共同確定一個(gè)人的位置（圖3）。

在此基礎(chǔ)上，三維空間需要再增加z軸上的坐標(biāo)才能確定點(diǎn)的位置。教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察生活進(jìn)行思考：“同學(xué)們，你們?nèi)ミ^菜鳥驛站取快件嗎？你有沒有注意過，我們的取件碼是三個(gè)數(shù)。為什么菜鳥驛站的取件碼需要三個(gè)數(shù)呢？”

（二）經(jīng)歷描述位置不確定的過程，體會(huì)參照系的價(jià)值

生活中位置的描述因觀察視角的不同而具有相對(duì)性，因而要實(shí)現(xiàn)位置表示的唯一確定，一定要建立確定的參照系。用數(shù)對(duì)表示位置即建立數(shù)對(duì)與點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，前提也是建立唯一確定的參照系。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由在不同參照系描述位置到確定的參照系描述位置的過程，感受參照系的價(jià)值，掌握參照系的規(guī)則。

師：剛剛我們對(duì)自己在教室中位置的描述都用到了兩個(gè)數(shù)，在數(shù)學(xué)上我們能不能用這樣的兩個(gè)數(shù)來表示位置呢？為了研究的方便我們請(qǐng)來了明明和他的同學(xué)。（圖4）明明在這個(gè)班的位置可以用這樣的一對(duì)數(shù)表示（4，2）。猜一猜哪個(gè)是明明？

學(xué)生在白板上勾畫出明明的位置，并說明自己是怎樣判斷的（可以畫出4個(gè)）。

師：這個(gè)班有4個(gè)明明?。ㄉΓ┠銈冋义e(cuò)了吧。是你們找錯(cuò)了還是我沒說清楚??？

師：我要說清楚什么條件你們就能準(zhǔn)確的找到明明？（哪個(gè)數(shù)表示行，哪個(gè)數(shù)表示列，行和列按怎樣的方向數(shù)）

以上的教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷了從不同的規(guī)則下描述位置不確定的“尷尬”，進(jìn)而體會(huì)到要描述大家可交流的位置信息，就要建立唯一確定的坐標(biāo)系。即確定原點(diǎn)和正方向及單位長度（由于小學(xué)階段只涉及正整數(shù)，所以坐標(biāo)系只限于第一象限，并且也不用考慮單位）。筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過推理掌握規(guī)則，發(fā)展推理能力。

師：這個(gè)同學(xué)的位置可以用數(shù)對(duì)（2，2）表示（圖5），通過這個(gè)數(shù)對(duì)你能找到明明（4，2）的位置并說出寫數(shù)對(duì)的規(guī)則嗎？

（三） 經(jīng)歷由座位圖到坐標(biāo)系的抽象過程，體會(huì)模型思想

數(shù)學(xué)是對(duì)客觀現(xiàn)象抽象概括后形成的科學(xué)語言和工具，因此數(shù)學(xué)教學(xué)不能只停留在生活場景中，而是要將這些生活現(xiàn)象進(jìn)一步抽象概括生成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并解釋生活。教學(xué)中，在用數(shù)對(duì)描述教室中的位置后，教師還要借助信息技術(shù)手段，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷坐標(biāo)系抽象、建構(gòu)的過程：將列和行對(duì)應(yīng)橫縱坐標(biāo)，將學(xué)生座位抽象成點(diǎn)。形成坐標(biāo)系模型后，再引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，還有哪些生活場景可以用此模型解釋。

師：如果把圖3中的同學(xué)變成一個(gè)個(gè)的點(diǎn)，你還能用數(shù)對(duì)表示這些點(diǎn)的位置嗎（圖6）？用數(shù)對(duì)表示點(diǎn)A、B、C的位置，D點(diǎn)和A、B、C組成一個(gè)長方形，D點(diǎn)的位置用哪個(gè)數(shù)對(duì)表示？

師：這一個(gè)個(gè)點(diǎn)可能是坐在教室的同學(xué)，還可能是中藥鋪中的一個(gè)個(gè)藥箱（圖7），還可能是公園中一個(gè)個(gè)的場館（圖8），還可能是幾何圖形中的點(diǎn)（圖9）。你想想，這一個(gè)個(gè)點(diǎn)還可能是什么……

建立模型思想是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，而且也是實(shí)現(xiàn)上述目的的基本途徑。教師要設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程。

（四）用數(shù)對(duì)描述圖形的運(yùn)動(dòng)變化，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想

坐標(biāo)系不僅限于表示點(diǎn)的位置，更本質(zhì)的在于描述幾何對(duì)象的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)，尤其是描述函數(shù)圖像。囿于小學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和思維水平，教學(xué)中不宜過多滲透函數(shù)知識(shí)。但是，就位置講位置未免又將富含“數(shù)學(xué)味”的內(nèi)容教成了“白開水”，錯(cuò)失了感受解析幾何數(shù)形結(jié)合思想精髓的良機(jī)。因此，教師可以設(shè)計(jì)一些適于學(xué)生年齡特點(diǎn)的有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生感悟坐標(biāo)系在表示圖形運(yùn)動(dòng)和性質(zhì)上的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)，感悟解析幾何數(shù)與形完美結(jié)合的妙處。

師：請(qǐng)位置為（3，1）（3，2）……（3，6）的同學(xué)站起來。我叫起的同學(xué)組成了什么圖形？

師：誰能像我這樣用數(shù)對(duì)叫起幾個(gè)同學(xué)組成一個(gè)幾何圖形？

在此基礎(chǔ)上，教師還可以引入含有字母的數(shù)對(duì)，讓學(xué)生想象圖形。如：想象（3，x）（x，x）等組成的圖形。還可以在抽象的坐標(biāo)系設(shè)計(jì)一些幾何圖形的位置及變化的練習(xí)題目。

如圖（圖10），三角形ABC為直角三角形，則C點(diǎn)的位置用數(shù)對(duì)表示為（? ? ? ? ）。

以上數(shù)學(xué)活動(dòng)可以讓固定的點(diǎn)的位置“動(dòng)起來”，學(xué)生在頭腦中將圖形與數(shù)之間進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換，發(fā)展直觀想象能力，感悟解析幾何的本質(zhì)。

總之，教師要深入挖掘蘊(yùn)含于“坐標(biāo)系”內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并基于學(xué)生的認(rèn)知水平進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

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