二項式定理的深度學(xué)習(xí)

廣東省廣州市廣州中學(xué)(510000) 林俊平

1 (a+b)n 的展開式是什么?

探究：如何利用兩個計數(shù)原理得到(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4的展開式? 繼而猜想一下(a+b)n的展開式是什么?

(1)根據(jù)乘法公式將(a+b)2,(a+b)3展開,并將各項系數(shù)用組合數(shù)表示,有下列結(jié)論：

②(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3.

(2)類比上述方法,將(a+b)4展開,你能得到什么?

(a+b)4= (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的各項都是4次式, 即展開式應(yīng)有下面形式的各項：a4,a3b,a2b2,ab3,b4,展開式各項的系數(shù)：上面4 個括號中, 每個都不取b的情況有1 種, 即C04種,a4的系數(shù)是C04; 恰有1 個取b的情況有C14種,a3b的系數(shù)是C14, 恰有2 個取b的情況有C24種,a2b2的系數(shù)是C24, 恰有3 個取b的情況有C34種,ab3的系數(shù)是C34,有4 都取b的情況有C44種,b4的系數(shù)是C44,∴(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34a3b+C44b4.

(3)將(a+b)n展開呢?

2 歸納總結(jié),二項式定理

(a+b)n=C0nan+C1nanb+···+Crnan-rbr+···+Cnnbn(n ∈N?),該定理有什么特征?

接著伯虎像是順著小趙的話乘勝追擊一般，遲疑片刻再開口。但他先嘆息一聲，接著說：“安文浩，這就是我剛剛本來想告訴你的第二件事。經(jīng)過昨天這事之后，五大巨頭現(xiàn)在已經(jīng)徹底對我們南極集團忍耐不下去了……就在昨天，五大巨頭在夜間緊急宣布聯(lián)盟，表面上是為了抵抗這個攻擊，但實際上，五大巨頭幾乎聯(lián)合了所有的物聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的公司，卻唯獨就是沒有聯(lián)合我們……”

(1)(a+b)n的展開式的各項都是n次式,即展開式應(yīng)有下面形式的各項：an,anb,··· ,an-rbr,··· ,bn,

(2)展開式各項的系數(shù)：

上邊有n個括號,則每個括號都不取b的情況有1 種,即C0n種,an的系數(shù)是C0n;

恰有1 個取b的情況有C1n種,anb的系數(shù)是C1n,……;

恰有r個取b的情況有Crn種,an-rbr的系數(shù)是Crn,……;

有n個都取b的情況有Cnn種,bn的系數(shù)是Cnn;

∴(a+b)n=C0nan+C1nanb+···+Crnan-rbr+···+Cnnbn(n ∈N?),這個公式所表示的定理叫二項式定理,右邊的多項式叫(a+b)n的二項展開式.

(3)它有n+1 項,各項的系數(shù)Crn(r=0,1,··· ,n)叫二項式系數(shù).

(4)Crnan-rbr叫二項展開式的通項,用Tr+1表示,即通項Tr+1=Crnan-rbr.

下面重點介紹一下課本上沒有明說而很多師生容易忽視的一種簡單明了的解題方法：用組合知識如何求某一項的系數(shù)? 尤其是括號里面有三項或三項以上的時候求展開式中的某一項時優(yōu)勢特別明顯.

例1求(x2+4x-5)4的展開式中x一次項的系數(shù)

(1)通常解法分析：要把上式展開,必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來,看成一項,才可以用二項式定理展開,然后再用一次二項式定理,也可以先把三項式分解成兩個二項式的積,再用二項式定理展開.

解：(法一)

顯然,上式中只有第四項中含x的項,∴展開式中含x的項的系數(shù)是C34·4·(-5)3=-2000.

(法二)：

∴展開式中含x的項的系數(shù)是-C3454+C3453=-2000.

(2)組合知識解法：x的一次項是：C14(4x)C33(-5)3即系數(shù)為C144(-5)3=-2000.

用這個組合數(shù)解法簡潔快捷,優(yōu)勢特別明顯,這就是課本深度學(xué)習(xí)的好處,而且教會了學(xué)生知識遷移能力.

例2求(x2-x-y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為____.

解：方法一,利用二項展開式的通項公式求解．

(x2-x-y)5=(x2-x)-y5, 含y2的項為T3=其中(x2-x)3中含x5的項為C13x4·(-x)=-C13x5.所以x5y2的系數(shù)為-C25C13=-30.

方法二,利用組合知識求解．

(x2-x-y)5為5 個x2- x-y之積, 其中某兩個括號里面取-y, 剩下的3 個取括號中某兩個括號里面取x2, 剩下的1 個括號里面取-x即可, 所以x5y2的系數(shù)為-C25C23=-30.

例3(3-2x-x4)·(2x-1)6的展開式中,含x3項的系數(shù)為____.

解：由排列組合知識可知, 展開式中x3項的系數(shù)為3×C3623(-1)3-2×C4622(-1)4=-600.

例4(1+)(1-x)6的展開式中x2的系數(shù)為____.

例5(x-y)(2x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為____.

解：當(dāng)前一個括號中取出x時,其系數(shù)為C35·22= 40,當(dāng)前一個括號中取出-y時,其系數(shù)為-C25·23=-80.所以x3y3的系數(shù)為-80+40=-40.

例6(x-2y)2(x2+x-3)5的展開式中x3y2的系數(shù)為____.

解：x3y2的系數(shù)為C22(-2)2·C15C14(-3)3+C35(-3)2=-1800,用組合知識求解這一類題目就是對課本知識的深度思考和理解.