對高中《選修4-5》“絕對值不等式”一章的修改建議*——從練習(xí)冊參考答案的一處錯誤說起

廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)(526100) 程華生

《選修4-5 不等式選講》是人民教育出版社出版的,A 版,2007年1月第2 版,2016年12月第21 次印刷的.

我們采用的配套練習(xí)冊,書名是：《金版學(xué)案高中同步輔導(dǎo)與檢測》,該書是人民教育出版社和廣東高等教育出版社聯(lián)合出版,《高中同步輔導(dǎo)與檢測》編寫組編寫,該書是經(jīng)廣東省中小學(xué)教輔材料評議委員會審核通過(2016年).

在使用練習(xí)冊的過程中,發(fā)現(xiàn)了一處錯誤.

在練習(xí)冊第13 頁右上方有個第10 題.

題目為：求函數(shù)f(x)=|x-5|-|x+3|的最大值,并求出取最大值時x的范圍.

與該練習(xí)冊配套的參考答案如下：

解：f(x)=|x-5|-|x+3|≤|(x-5)-(x+3)|=8,當(dāng)且僅當(dāng)(x-5)(x+3) ≤0,即-3 ≤x≤5 時,等號成立.所以當(dāng)-3 ≤x≤5 時,f(x)=|x-5|-|x+3|取得最大值為8.

參考答案有嚴(yán)重錯誤,誤人子弟.

給出正確答案：

解：方法一：f(x)=|x-5|-|x+3|≤|(x-5)-(x+3)|=8,當(dāng)且僅當(dāng)(x-5)(x+3) ≥0 且|x-5|≥|x+3|時等號成立.?x≤-3,則f(x)的最大值為8,f(x)取最大值時,對應(yīng)的x的取值范圍為：x≤-3.

方法二：y=f(x) =|x -5| - |x+ 3|=f(x)的圖象如下圖：

明顯可見,f(x)的最大值為8,f(x)取最大值時,對應(yīng)的x的取值范圍為：x≤-3.

我想,編者給出的參考答案之所以有錯誤,估計是對課本《選修4-5 不等式選講》第14 頁最上面的不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|的“等號成立”的條件模糊不清導(dǎo)致的.

不等式|a| - |b|≤|a -b|≤|a|+|b|有重要價值和廣泛應(yīng)用,我建議將其修改完善后,取名為“推論1”.

建議“推論1”的表述如下：

推論1如果a,b是實數(shù),那么|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.左邊的等號：當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0 且|a|≥|b|時,等號成立.右邊的等號：當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0 時,等號成立.

并且,我還建議對課本第12 頁的“定理1”進(jìn)行修改完善,修改完善后,將會更好地為廣大師生服務(wù).

我建議修改完善后的“定理1”,表述如下：

定理1如果a,b是實數(shù),那么|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.左邊的等號：當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0 且|a|≥|b|時,等號成立.右邊的等號：當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0 時,等號成立.

如果對“定理1”進(jìn)行修改完善,下面這些題目,就可以迎刃而解了.

練習(xí)題1：求函數(shù)y=f(x) =|x+4|-|3-x|的最大值,并求出f(x)取最大值時,對應(yīng)的x的取值范圍.

解：方法一：y=f(x) =|x+ 4| - |3-x|≤|(x+ 4) + (3- x)|= 7.當(dāng)且僅當(dāng)(x+4)(3- x) ≤ 0 且|x+ 4|≥|3- x|時 等 號 成立.?x≥3,則f(x) 的最大值為7,f(x) 取最大值時, 對應(yīng)的x的取值范圍為：x≥3.

方法二：y=f(x) =|x+ 4| - |3- x|=的圖象如下圖：

明顯可見,f(x)的最大值為7,f(x) 取最大值時, 對應(yīng)的x的取值范圍為：x≥3.

小結(jié)：方法一用到了“定理1”的左半部分：|a|-|b|≤|a+b|.當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0 且|a|≥|b|時,等號成立.

練習(xí)題2：求函數(shù)y=f(x) =|x+2|+|4-x|的最小值,并求出f(x)取最小值時,對應(yīng)的x的取值范圍.

解：方法一：y=f(x) =|x+2|+|4-x|≥|(x+2)+(4-x)|= 6.當(dāng)且僅當(dāng)(x+2)(4-x) ≥0 時, 等號成立.(x+2)(4-x) ≥0 解得：-2 ≤x≤4.則f(x)的最小值為6,f(x)取最小值時,對應(yīng)的x的取值范圍為：-2 ≤x≤4.

方法二：y=f(x) =|x+ 2|+|4- x|=的圖象如下圖：

明顯可見：f(x)的最小值為6,f(x)取最小值時,對應(yīng)的x的取值范圍為：-2 ≤x≤4.

小結(jié)：方法一用到了“定理1”的右半部分：|a+b|≤|a|+|b|.當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0 時,等號成立.

有了修改完善后的“推論1”,就可以避免練習(xí)冊的編者也會犯下的嚴(yán)重錯誤,就可以非常順利地解答如下題目：

練習(xí)題3：求函數(shù)y=f(x) =|x-4|-|x+2|的最大值,并求出f(x)取最大值時,對應(yīng)的x的取值范圍.

解：方法一：y=f(x) =|x -4| - |x+2|≤|(x -4)-(x+ 2)|= 6.當(dāng)且僅當(dāng)(x -4)(x+ 2) ≥ 0 且|x -4|≥|x+ 2|時, 等 號 成立.?x≤-2,則f(x)的最大值為6,f(x)取最大值時,對應(yīng)的x的取值范圍為：x≤-2.

方法二：y=f(x) =|x -4| - |x+ 2|=的圖象如下圖：

明顯可見：f(x)的最大值為6,f(x) 取最大值時, 對應(yīng)的x的取值范圍為：x≤-2.

小結(jié)：方法一用到了“推論1”的左半部分：|a|-|b|≤|a-b|.當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0 且|a|≥|b|時,等號成立.

練習(xí)題4：求函數(shù)y=f(x) =|x+3|+|x-2|的最小值,并求出f(x)取最小值時,對應(yīng)的x的取值范圍.

解：方法一：y=f(x) =|x+3|+|x-2|≥|(x+3)-(x-2)|= 5.當(dāng)且僅當(dāng)(x+3)(x-2) ≤0 時, 等號成立.(x+3)(x-2) ≤0 解得：-3 ≤x≤2.則f(x)的最小值為5,f(x)取最小值時,對應(yīng)的x的取值范圍為：-3 ≤x≤2.

方法二：y=f(x) =|x+ 3|+|x -2|=的圖象如下圖：

明顯可見：f(x)的最小值為5,f(x)取最小值時,對應(yīng)的x的取值范圍為：-3 ≤x≤2.

小結(jié)：方法一用到了“推論1”的右半部分：|a- b|≤|a|+|b|.當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0 時,等號成立.

在“絕對值不等式”一章里面,修改完善后的“定理1”、“推論1”有極其重要的價值,有極其廣泛的應(yīng)用,使用頻率極高,有必要將其熟記于心.

定理1如果a,b是實數(shù),那么|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.左邊的等號：當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0 且|a|≥|b|時,等號成立.右邊的等號：當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0 時,等號成立.

推論1如果a,b是實數(shù),那么|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.左邊的等號：當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0 且|a|≥|b|時,等號成立.右邊的等號：當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0 時,等號成立.

當(dāng)“定理1”、“推論1”放在一起的時候,非常具有對稱美,很容易記下來.