基于缺口知識理論的自助型解題研究
——以“幾何中點問題”分析為例

廣東省深圳市龍崗區(qū)天成學校(518172) 王全波

奧蘇伯爾指出,假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話,那么,我將一言以蔽之：影響學習的惟一最重要的因素,就是學習者已經知道了什么.解題過程中,解題者也是學習者,解題者從已知條件中連接現(xiàn)有知識,如定義、概念、性質、定理等常見結論.解不出的題目有這樣一個共性,就是現(xiàn)有知識和目標結論間存在間隙,如果要兩者互通互聯(lián),那么需要在這個區(qū)域尋找一個支點.為此我們建構了缺口知識理論,以缺口知識作為支點,它與現(xiàn)有知識、目標結論間形成兩個間隔區(qū)域,知識缺口區(qū)和知識發(fā)展區(qū),主體結構呈鏈式,既有正向邏輯推理,又有逆向知識回歸,如圖1 所示.

解題者的個體差異在兩個區(qū)域會有明顯差異,它直接產生不同的解題結果.我們也不難發(fā)現(xiàn),解題與學習之間是一對共同體,相互制約又相互促進.圖中的缺口知識不能僅僅是一個抽象的載體,而需要用符號、圖象等方式具體化,同時配備學習者個體的加工,讓知識保持續(xù)發(fā)展能力,成為再學習的寶貴資源.

1 搜索聯(lián)系缺口區(qū)知識

美國數(shù)學家哈爾莫斯(P.R.Halmos)說“數(shù)學的真正部分應該是問題和解,解題才是數(shù)學的心臟”[1].解一個題目真正的問題在哪里,需要我們要去發(fā)現(xiàn)、學習、加工和應用它,那么解題就會變得簡單.缺口知識作為解題的一個樞紐,搜索聯(lián)系缺它可以從五個維度進行.一是上位知識和下位知識,從知識的邏輯的上下位關系,如例1 中的等腰直角三角形的上位知識是等腰三角形和直角三角形, 再上位就是三角形.二是原理的意義,就是知識相關的性質、判定和推論的深入理解,如例1 等腰三角形性質三線合一的理解、等腰直角三角形邊角關系等都屬于原理范疇[2].三是同等級知識,學一個知識對比學習一類知識,這個維度的聯(lián)系直接拓寬了知識的覆蓋廣度,如一般三角形與平行四邊形、圓心角與圓周角等等.四是考題,好的考題可以使解題學習事半功倍,缺口知識的生成時,主動聯(lián)系考題可以縱向增加知識的深度.五是其他學科,與數(shù)學相關的學科非常多,這個維度更多地體現(xiàn)數(shù)學學習與實際問題的切實聯(lián)系,如物理、化學、地理、生物等學科中眾多有趣的問題,可以很好改善缺口知識的趣味性.缺口知識的建立,不是一次解題或一段學習就可以完成,根據(jù)解題者的不同,需要不同的周期和反復強化而搭建.

例1如圖1, ΔABC和ΔDEC都是等腰直角三角形,∠ACB= ∠DCE= 90°, 連接BD、AE, 若點M是BD的中點,連接CM.

圖1

求證：AE=2CM.

2 表征學段類缺口知識

表征(representation)是指在實物不在的情況下重新指代這一實物的任何符號或符號集[3].而表征方式的轉換確實對問題的解決有一定的輔助作用,成功的問題解決取決于問題表征方式的變換.學段內缺口知識對解題非常重要,對大部分人而言超出這個范圍或者用不常見知識去解題很難,解題所需的知識是熟悉的知識,方法是非特殊思維的方法,知識缺口區(qū)就具備這樣的屬性,下一步要做的就是缺口知識的清晰表征,以便能成功的解決問題.

表2 是對例1 中條件和結論的缺口知識表征,主要由圖象和符號兩部分組成,匯總的解題者自己對題目知識進行聯(lián)系加工,呈現(xiàn)結果因人而異.解題者可在自身知識經驗上,從聯(lián)系的五個維度,以搜索、查詢、摘錄和整理等方式,匯總成個性化的缺口知識表征成果.表征過程大致有兩個基本原則：一是簡單,解題者方便記憶,可以隨時列出;二是全面,不是將所有相關內容表示出來,而是能激發(fā)思考,產生記憶鏈接,激發(fā)知識再學習.

表2 題1 中條件和結論的缺口知識表征

3 自助型解題

數(shù)學的學習和解題是密不可分的,解題是學習最有效的檢驗方式.像題1 這樣的題目很多,但初中學段內的知識實際很有限的,研究諸如此類地典型題目很快就豐富了解題者的個人缺口知識庫存,適當收集整理,就匯編成可再學習,解題可查詢的個人工具書.工具書的關鍵詞在于“個人”,一定要解題者親身經歷感悟,輔助第三方的幫助,最終成為可遷移可深加工的資源.

至此,我們可以運用工具書進行自助解題,工具書在解題中變成知識和思維的載體.題目的解法并非現(xiàn)成,需要解題者進行主動篩選和再思考,解題者獲得成功的解題經驗就產生在這個過程中,而學習和解題的內驅力在一次次解題實驗中得到加強.接下來,就以兩個“幾何中點問題”的具體實例加以闡釋.

3.1 單知識補形解法

例1 的兩個已知知識點中,等腰三角形充當?shù)氖切畔鬟f的角色,告訴解題者有直角、腰相等、45°等信息.而中點充當?shù)氖撬季S觸發(fā)的角色,解題的突破口就在于此,用前文表征的中點缺口知識逐一進行解題的嘗試.對解題者而言,完成這樣的過程是相對容易的,因為本題用單一知識補形就可以完成解答,補充圖形分別缺口知識中是“倍長中線”和“中位線”,進而有如表3 兩種解法.

表3 例1 補形解法分析

3.2 多知識聯(lián)系解法

例2如圖2 所示, 正方形ABCD中BC= 6, 點E為BC的中點, 點P為邊CD上一動點, 連接AP, 過點P作AP的垂線交BC于點M,N為線段AP上一點, 且PN=PM,連接MN,取MN的中點H,連接EH,求EH的最小值.

圖2

例2 中已知條件用一段長文字進行了描述,綜合起來就等腰直角ΔPMN、斜邊MN上的中點和正方形ABCD三個條件,解法大致可以分四步完成.

第一步：聯(lián)系等腰三角形等腰直角ΔPMN和斜邊上的中點,連接PH,同時出現(xiàn)“三線合一”和RtΔ 中線兩種中點知識補形,觸發(fā)多角45°和∠PHM=90°的生成性條件,至此中點問題角度的思考基本結束,離得出結論還有差距.

第二步：其實不難發(fā)現(xiàn)還有正方形ABCD這個條件未使用,結合H是一個動點,考慮動點的軌跡問題,而初中階段內的軌跡常用的就直線、拋物線和圓.位置可聯(lián)系的已知條件僅剩正方形,結合圖形大致估計,可以篩選得到點H估計在正方形ABCD的對角線AC上.

第三步：連接HC,驗證點H的位置軌跡.逆向思考,若H在對角線AC上,則可以得到∠HCP=45°.只要結合前面信息,可以得到∠HCP=45°一切就順理成章.

第四步：向可查詢個人工具書提取資源.如圖3,由四邊形PHMC對角互補,得出四邊形頂點四點共圓,由同弧所對的圓周角相等得出∠HPM= ∠HCM= 45°,從而證明點H軌跡始終在AC上.當EH⊥AC時,EH取得最小值,依據(jù)數(shù)據(jù)計算即可.這一步中,我們再次印證了個人工具書需要學段內較全面的知識儲備,對知識有個人的表征,在實際解題中能夠自由提取,熟練運用的同時也完成了對知識的深加工.

圖3

4 評價性思考

自助型學習方式是一種新的想法,過程的實施需依托特定的條件.在解題實踐中,雖然已有相當數(shù)量的實例加以佐證,但是后期還有很多可研究的空間.

4.1 發(fā)展新的評估工具書

文中涉及因人而異的個人工具書,要求有較完善的學段內知識,它與學生筆記最大的區(qū)別是記錄缺口知識,工具書同時還具備發(fā)展性.需根據(jù)解題和學習進行及時評估,簡化已有的缺口知識,發(fā)展成個人技能.同時,當解題能力到達一個新的層次,又需要繼續(xù)發(fā)展知識,再次完成知識更新迭代,保持學習的可持續(xù)發(fā)展.

4.2 周期延時測評

在解題過程中,知識的清晰表征并不等同于知識的靈活應用.比如“幾何中點知識”,完成了文中題1 的解答,從某種程度上可以說,當時解題者對中點知識進行靈活的應用,但一個月或者半年后就不一定具備這種能力,那么就需要開展周期性延時測評.根據(jù)記憶遺忘曲線的理論,實踐中一般選擇在兩周左右進行解題再度測評.但實際上不同知識的周期應存在巨大差異,這也是一個初中學段內極有研究價值課題.

4.3 建立循環(huán)學習資源庫

對于單個知識或多知識聯(lián)系解題都需要典型題目,研究解題的一個重要目的就是回避題海戰(zhàn)術.同時,學生學習的內容是分學期按層次進行逐步展開,前文提到了周期性延時測評,如果跨學期或跨學年進行測評時,我們就需要建立循環(huán)學習資源庫.在相同的思維體系下,開展一題多解、多題同法和回歸知識的發(fā)展性學習,習得以缺口知識解題的學習方式,改善數(shù)學學習質量,提升學習能力和數(shù)學思維.