尋找數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)支點(diǎn),促進(jìn)知識(shí)自然生長(zhǎng)

安徽省淮北市淮海東路學(xué)校(235047) 閆先進(jìn)

阿基米德曾經(jīng)說過：“給我一個(gè)支點(diǎn),我就能撬起整個(gè)地球”,支點(diǎn)是杠桿原理中三要素中的一個(gè),離開了支點(diǎn),杠桿將無所適從.杠桿如此,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程又何嘗不是這樣.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是不斷學(xué)習(xí)新知的過程,任何新知都離不開舊知的支撐,沒有和舊知不發(fā)生關(guān)聯(lián)的新知.但由于教師的認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)、習(xí)慣不同,學(xué)生的基礎(chǔ)、心理、悟性不同,如何尋找學(xué)習(xí)新知最適宜的支點(diǎn),如何在支點(diǎn)上生長(zhǎng)出新知,將直接影響一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)效果,尤其影響學(xué)生的學(xué)習(xí)心理歷程.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011 版)明確指出“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),面向全體學(xué)生,注重啟發(fā)式和因材施教.”由于我國(guó)現(xiàn)行教材版本眾多,教材編寫者在編寫教材時(shí),更多考慮的是絕大多數(shù)人的一般情況和知識(shí)的一般規(guī)律.但實(shí)際上,我國(guó)地域遼闊,各地教學(xué)的基礎(chǔ)和能力存在較大差異,即使在同一個(gè)學(xué)校的不同班級(jí),學(xué)生的接受能力也不盡相同.為了更好的適應(yīng)每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展,就要求教師要了解教學(xué)實(shí)際和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ),創(chuàng)造性地使用教材,給學(xué)生營(yíng)造一個(gè)自然有趣的學(xué)習(xí)情景.

要得到理想的教學(xué)效果,支點(diǎn)即生長(zhǎng)點(diǎn)的選擇就顯得尤為重要.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011 版)明確指出“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué),要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)’與‘延伸點(diǎn)’.”好的生長(zhǎng)點(diǎn)一定是最接近學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū),它能讓學(xué)生有感而發(fā),有悱欲啟,給學(xué)生以強(qiáng)烈的“代入感”,激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望,獲得學(xué)習(xí)的成就感.

1 以原有認(rèn)知為支點(diǎn),讓知識(shí)生長(zhǎng)更自然

在講授“有理數(shù)的乘法”一課時(shí),上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版的由新時(shí)代數(shù)學(xué)編寫組編寫的《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)是以不同時(shí)間內(nèi)溫度計(jì)中溫度的變化為情景引入的,在以前的教學(xué)中,我發(fā)現(xiàn)由于這里存在兩個(gè)方向量,而七年級(jí)學(xué)生的理解力不夠,每次上到這,總有點(diǎn)牽強(qiáng),最后只能以規(guī)定來收?qǐng)?

怎樣處理教材才能讓學(xué)生學(xué)的更舒心自然呢? 這其實(shí)就是一個(gè)選擇支點(diǎn)的問題.考慮到學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加減法和小學(xué)乘法,我就設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)情景：

問題1：觀察下列算式：3×6=18,3×5=15,3×4=12,3×3=9,3×2=6

(1)從這列等式中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

(2)你能按照規(guī)律分別寫出這組式子前面和后面的三個(gè)式子嗎?

(3)你還能繼續(xù)寫下去嗎?

設(shè)計(jì)意圖：這樣設(shè)計(jì)的切入點(diǎn)是正數(shù)相乘,學(xué)生非常熟悉,并由一串式子暗含變化規(guī)律,自然由正數(shù)相乘,過渡到正數(shù)與0 相乘,正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘,而結(jié)果隨著式子的變化而變化的過程有可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加減法的問題,從而為下面的歸納法則作準(zhǔn)備.這種建立在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上的新知學(xué)習(xí)就變得自然流暢,水到渠成了.

問題2：觀察下列算式：(-3)×6=-18,(-3)×5=-15,(-3)×4=-12,(-3)×3=-9,(-3)×2=-6

(1)從這列等式中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

(2)你能按照規(guī)律分別寫出這組式子前面和后面的三個(gè)式子嗎?

(3)你還能繼續(xù)寫下去嗎?

設(shè)計(jì)意圖：在有理數(shù)加減變化的基礎(chǔ)上,由負(fù)正相乘過渡到負(fù)負(fù)相乘,看似拉長(zhǎng)了學(xué)習(xí)的距離,放慢了學(xué)習(xí)的速度,但自然流暢,化乘法為加減,從而為下面的歸納法則作出了充分的鋪墊準(zhǔn)備.

設(shè)計(jì)背景：由于我校學(xué)生的基礎(chǔ)較差,運(yùn)算能力不足,觀察分析能力欠缺,所以在設(shè)計(jì)時(shí),要盡量把支點(diǎn)放低,以更接近學(xué)生的熟知環(huán)境,讓學(xué)生能在輕松愉快的氛圍中,熟悉舊知,領(lǐng)悟新知,學(xué)習(xí)新知.字母表示數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),更是一個(gè)重點(diǎn),小學(xué)階段學(xué)生雖然接觸過字母表示數(shù),但認(rèn)識(shí)很膚淺.在學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后,學(xué)生熟知的數(shù)集發(fā)生了重大改變,字母的含義也有了更豐富的內(nèi)容.從具體數(shù)到字母表示的抽象數(shù),學(xué)生的認(rèn)知受到了很大的沖擊,這個(gè)質(zhì)的飛躍能否順利完成,取決于教師對(duì)教材的二次挖掘,即支點(diǎn)的選擇.

在課本中曾遇到如下的例題.

用代數(shù)式表示：

(1)把a(bǔ)本書分給若干名學(xué)生,若每人5 本,尚余3 本,求學(xué)生數(shù).

(2)2011年6月30 日,京滬高鐵客運(yùn)專線正式開通,從北京到上海,高鐵列車比動(dòng)車組列車運(yùn)行時(shí)間縮短了約3 小時(shí),假設(shè)北京到上海全程為skm,動(dòng)車組列車的平均速度為vkm/h,求高鐵列車運(yùn)行全程所需的時(shí)間.

由于學(xué)生剛接觸字母表示數(shù),還不能很好的理解含有字母參與的數(shù)量關(guān)系,考慮到學(xué)生在小學(xué)里有算術(shù)計(jì)算的基礎(chǔ),我就把支點(diǎn)設(shè)定為只含有具體數(shù)值的數(shù)學(xué)問題：

列出解決下列問題的算式：

(1)把33 本書分給若干名學(xué)生,若每人5 本,尚余3 本,求學(xué)生數(shù).

(2)2011年6月30 日,京滬高鐵客運(yùn)專線正式開通,從北京到上海,高鐵列車比動(dòng)車組列車運(yùn)行時(shí)間縮短了約3 小時(shí),假設(shè)北京到上海全程為1212km,動(dòng)車組列車的平均速度為180km/h,求高鐵列車運(yùn)行全程所需的時(shí)間.

設(shè)計(jì)意圖：這里只要求學(xué)生列出算式,目的是讓學(xué)生明確題中所包含的數(shù)量關(guān)系：(1)(33-3)÷5;(2)1212÷180-3

這時(shí),再讓學(xué)生用a替換(1)中的33,用s替換(2)中的1212,用v替換(2)中的180,然后再按照代數(shù)式的書寫要求,即可得到結(jié)果.最后帶來學(xué)生一起總結(jié)列代數(shù)式的一般方法：當(dāng)遇到數(shù)量關(guān)系不明確時(shí),不妨先把字母換成適當(dāng)?shù)臄?shù)(必須是符號(hào)實(shí)際意義的數(shù)),嘗試列出算式,然后再用字母替換對(duì)應(yīng)的數(shù),即可以列出代數(shù)式.這里其實(shí)體現(xiàn)了從抽象到具體,再?gòu)木唧w到抽象的一個(gè)螺旋式上升的認(rèn)識(shí)過程.這種做法充分考慮了學(xué)生在小學(xué)學(xué)段的認(rèn)知基礎(chǔ),有利于完成從算術(shù)到代數(shù)的過渡.

2 以數(shù)學(xué)模型為支點(diǎn),讓問題解決更流暢

例1(2020年安徽省中考數(shù)學(xué)第23 題)如圖1,已知四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上,AE=AD.EC與BD相交于點(diǎn)G,與AD相交于點(diǎn)F,AF=AB.

圖1

(1)求證：BD ⊥EC;

(2)若AB=1,求AE的長(zhǎng);

(3)如圖2,連接AG,求證：EG-DG=

圖2

分析：(1)易證ΔEAF∽= ΔDAB,而∠DAB= 90°,所以ΔDAB就可以看作ΔEAF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得到的,EF和DB分別是同一條線段旋轉(zhuǎn)前后的位置,因此,BD⊥EF,即BD⊥EC.這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的模型應(yīng)用.

(2) 因?yàn)锳B= 1, 所以AF=CD= 1; 設(shè)AE=x,則DF=x-1.因?yàn)锳E//CD, 所以由此可得解方程得x=舍去負(fù)值, 可得x=這是一個(gè)“8 字型”相似的模型應(yīng)用,當(dāng)然,同時(shí)也應(yīng)用了方程模型.

如下圖, 在線段EG上取點(diǎn)P, 使得EP=DG,在ΔAEP與ΔADG中,AE=AD, ∠AEP= ∠ADG,EP=DG, ∴ΔAEP∽= ΔADG(SAS), ∴AP=AG,∠EAP= ∠DAG, ∴ ∠PAG= ∠PAD+ ∠DAG=∠PAD+ ∠EAP= ∠DAE= 90°, ∴ΔPAG為等腰直角三角形,∴EG-DG=EG-EP=PG=

這里是等腰直角三角形模型和全等三角形模型的應(yīng)用.

“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型.”數(shù)學(xué)模型是刻畫現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)問題特有的一種數(shù)學(xué)語言,是一種特殊的數(shù)學(xué)符號(hào),數(shù)學(xué)模型既有“式模型”,也有“圖模型”.數(shù)學(xué)模型是由眾多的實(shí)例中抽象出來的一般規(guī)律,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的支撐點(diǎn).數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中,要充分重視,在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上及時(shí)總結(jié),并通過一題多變,多題一解,加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)與拓展.

3 以思想方法為支點(diǎn),讓知識(shí)遷移更有效

例2如圖,在ΔABC中,AD平分∠BAC,AE⊥BC,垂足為E.

(1)∠B=38°,∠C=70°.求∠DAE的度數(shù).

(2)∠DAE與∠C -∠B的數(shù)量關(guān)系如何? 并證明你的結(jié)論.

分析：這是一道八年級(jí)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中的一道題,它源自于課本,但又進(jìn)行了改造.原題只有第一個(gè)問題,這里在原題的基礎(chǔ)上,拓展出了第二問.把原來的具體數(shù)值的計(jì)算,抽象出第二問的一般性結(jié)論,變封閉性問題為開放性問題.但兩問中角度之間的數(shù)量關(guān)系是一樣的,要解決第二問,就必須充分理解第一問中的數(shù)量關(guān)系,然后,通過方法遷移,再結(jié)合代數(shù)式的化簡(jiǎn),就可以得出第二問的結(jié)論.

這道題給我們的啟示是：

(1)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的首要素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)抽象,但數(shù)學(xué)抽象并不是空中樓閣,無本之木,而是存在于數(shù)學(xué)具體和基本概念之中.作為一名數(shù)學(xué)教師,要時(shí)刻牢記數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),可以說,沒有離開核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法.像這道試題中,從具體數(shù)值的計(jì)算過渡到一般結(jié)論的推導(dǎo),就是數(shù)學(xué)抽象的體現(xiàn).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,每一個(gè)公式、性質(zhì)、定理的產(chǎn)生,都離不開具體數(shù)值的運(yùn)算或具體圖形的依托.因此,在平時(shí)教學(xué)中,教師要有目的的抓住機(jī)會(huì),搜尋機(jī)會(huì),創(chuàng)造機(jī)會(huì),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)不是一朝一夕你學(xué)會(huì)的,它需要長(zhǎng)期不斷地訓(xùn)練,由被動(dòng)行為到形成習(xí)慣,進(jìn)而變成自覺行為.

(2)課本習(xí)題的價(jià)值不僅僅在于鞏固已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)方法,作為教師,要努力挖掘習(xí)題背后隱藏的信息,認(rèn)真研究課本習(xí)題,及時(shí)把課本習(xí)題作為數(shù)學(xué)問題的生長(zhǎng)點(diǎn).通過變式訓(xùn)練,具體問題抽象化,表象問題本質(zhì)化,封閉問題開放化,從而使課本問題價(jià)值最大化.這也是減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)的有效途徑.

(3)在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),要注意數(shù)學(xué)方法的遷移.這道試題的前后兩問,雖然問題不同,但解決問題的方法是相同的.它們都是利用三角形中角的關(guān)系以及角的和差倍分,并按照一定的邏輯順序展開的.

(4)這道試題告訴我們,以具體數(shù)值的計(jì)算問題為生長(zhǎng)點(diǎn),我們可以抽象出一般性的結(jié)論.反過來,對(duì)于一些抽象的數(shù)學(xué)問題,我們同樣可以借助于具體數(shù)值的計(jì)算來尋求一般性的解決方法,再利用這種方法解決抽象的數(shù)學(xué)問題.

(5)翻閱課本,我們很容易發(fā)現(xiàn),其實(shí)很多習(xí)題都可以進(jìn)行類似的變化.如上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版的八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)第90 頁第5 題,原題如下：

已知：如圖,ΔABC中,∠A=64°.

(1)若ΔABC的兩個(gè)外角平分線BP、CP交于點(diǎn)P,求∠P的度數(shù).

(2) 如 果BP、CP分 別 是∠B、∠C的內(nèi)角平分線,求∠P的度數(shù).

(3) 如果BP、CP中一個(gè)是內(nèi)角平分線, 另一個(gè)是外角平分線,求∠P的度數(shù).

在充分理解這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)后, 我們可以把問題中的∠A的度數(shù)去掉,而把問題改為讓學(xué)生判斷∠P與∠A的關(guān)系.

這樣的變式訓(xùn)練,不僅可以更好地加深學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí),有效培養(yǎng)學(xué)生的字母運(yùn)算能力,訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力;而且這樣得出的結(jié)論也具有一般性,對(duì)于解決填空題、選擇題,將起到事半功倍的作用;同時(shí)在解決復(fù)雜問題時(shí),也可以提前預(yù)知可能出現(xiàn)的結(jié)論,大大減少解題的彎路,提高解題效率.

反思：卜以樓老師在他的《生長(zhǎng)數(shù)學(xué)》(2018年6月第一版)中指出：習(xí)題教學(xué)選擇的題,不一定就要是“大題”,但要選擇那些能夠讓數(shù)學(xué)思想方法貫穿在其中的經(jīng)典習(xí)題,供學(xué)生探究.這是學(xué)生根據(jù)題目條件自然產(chǎn)生的解題方法,并且這種方法還能遷移到類似的問題中去,讓學(xué)生解一題,懂一法,會(huì)一類.

支點(diǎn)可以說是已學(xué)的概念、性質(zhì),也可以是已有的經(jīng)驗(yàn)、方法、模型,選擇支點(diǎn)的一個(gè)原則就是要與需要解決的問題相接近,與解決問題的人的認(rèn)知相接近.支點(diǎn)是因人而異的.這里的人包括教師和學(xué)生, 支點(diǎn)的選擇既要包含教師的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、教育理念,同時(shí)也要考慮學(xué)生的認(rèn)知狀況以及知識(shí)本身所具有的特點(diǎn),因?yàn)榻虒W(xué)活動(dòng)歸根結(jié)底是教師與學(xué)生之間的雙邊活動(dòng).

支點(diǎn),也是學(xué)習(xí)以及解決問題的起點(diǎn).對(duì)于基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)校,要想有效提高教育教學(xué)成績(jī),就必須選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法,樹立以人為本的教育理念,尋找恰當(dāng)?shù)闹R(shí)生長(zhǎng)點(diǎn),使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中,看清數(shù)學(xué)的本來面目,自然地結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí),這樣學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就會(huì)有舉重若輕的感覺.長(zhǎng)此以往,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣有了,學(xué)習(xí)成績(jī)的提高也就順其自然了.