深度學(xué)習(xí)視角下習(xí)題課的設(shè)計(jì)與實(shí)踐*——以“解一元一次方程的習(xí)題課”為例

廣東省廣州市教育研究院(510000) 伍曉焰

廣東省廣州市南武實(shí)驗(yàn)學(xué)校(510000) 李 平

1 深度分析教學(xué)內(nèi)容及現(xiàn)狀,確立教學(xué)目標(biāo)

深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識(shí),理解學(xué)習(xí)的過(guò)程,把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法,形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級(jí)的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀,成為既有獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神,基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者,成為未來(lái)社會(huì)的主人.

在解一元一次方程的常規(guī)教學(xué)中,教師普遍側(cè)重于教學(xué)生快速正確地掌握解一元一次方程的一般步驟,往往出現(xiàn)重結(jié)果輕過(guò)程,重步驟輕原理和重形式手段輕內(nèi)在思想方法的情況,學(xué)生常處于淺層次學(xué)習(xí).造成這些局面主要有兩個(gè)教學(xué)誤區(qū),誤區(qū)一：將解方程等同于(含未知數(shù))計(jì)算,忽視解方程中蘊(yùn)涵的化歸思想;誤區(qū)二：解方程重算法輕算理,忽視等價(jià)變換與恒等變換的差異.如何改善教學(xué)以達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的? 在學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)解一元一次方程的基礎(chǔ)上,確立本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：(1)通過(guò)對(duì)一元一次方程解法的復(fù)習(xí)、題組練習(xí),明確解方程的基本目標(biāo)(使方程逐步轉(zhuǎn)化為x=a的形式),熟練掌握解一元一次方程的基本方法和步驟;(2)在解一元一次方程中理解算理,感受化歸思想以及程序化思想的運(yùn)用;(3)學(xué)會(huì)查找、分析及糾正解一元一次方程的常見(jiàn)失誤.

教學(xué)重點(diǎn)：正確解一元一次方程.

教學(xué)難點(diǎn)：理解并能運(yùn)用化歸思想解一元一次方程.

這樣的教學(xué)目標(biāo)體現(xiàn)了以學(xué)生發(fā)展為本的數(shù)學(xué)教育觀,不僅包含知識(shí)和技能,而且包括數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維、能力和理性精神.

2 深度備課,提升習(xí)題課立意

第一次集體備課,明確研討主題是如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí),從突出解一元一次方程的技能訓(xùn)練轉(zhuǎn)向突出化歸思想.

問(wèn)題1：解方程x+2=0;

問(wèn)題4：解方程x+5(2x-1)=3-2(-x-5);

第一次的教學(xué)設(shè)計(jì),表面上看是以5 個(gè)題構(gòu)成一個(gè)整體題組,由淺入深,逐層遞進(jìn),梯度變式,實(shí)際上是以工具性理解為出發(fā)點(diǎn)的設(shè)計(jì),可以達(dá)到解一元一次方程的技能訓(xùn)練的目的,但由于題目與題目之間孤立、缺乏聯(lián)系,思想性及開(kāi)放性不足.

第二次集體備課,嘗試將工具性理解改為以關(guān)系性理解為出發(fā)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì),適度增加開(kāi)放性,設(shè)計(jì)為“半開(kāi)放式+梯度題組”：

拓展1：解方程2x-|x+1|=3(原來(lái)的封閉性問(wèn)題改為拓展變式題);

拓展2：解方程2x2-3=5.

第三次集體備課,經(jīng)過(guò)深入探討,明晰本節(jié)習(xí)題課既要再次綜合提升學(xué)生解一元一次方程的技能,針對(duì)性處理解方程中的易錯(cuò)點(diǎn),還需要在解方程過(guò)程中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法,最終設(shè)計(jì)出“開(kāi)放+變式+反思題組”：

變式3：已知：,(1)求x2的值;(2)求x的值;

變式4：已知關(guān)于x的方程, 用含a,b的代數(shù)式表示.

通過(guò)一個(gè)母題,加上四個(gè)變式,從“淺母題”到“深變式”(見(jiàn)圖1),整體上呈現(xiàn)以“化歸”為核心的系列變式,前半部分突出“復(fù)習(xí)+糾錯(cuò)+拓展”的梯度變式(變式1),后半部分突出“承前+啟后+深度”的拓展變式(變式2～4),其中變式4的解含參數(shù)的一元一次方程對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題提出了更高的要求.

圖1

經(jīng)過(guò)三次集體備課,課堂教學(xué)設(shè)計(jì)從最初的工具性理解定位,到關(guān)系性理解定位,最終定位為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算,在解變式方程題組過(guò)程中通過(guò)分析、綜合、抽象和演繹等邏輯思維活動(dòng)中,引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展深度學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力.

3 深度剖析認(rèn)知困惑,梳理影響深度學(xué)習(xí)的因素

學(xué)生解方程過(guò)程中的認(rèn)知困惑,是影響學(xué)生能否進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的主要因素,需要教師在教學(xué)前進(jìn)行深度分析.從解一元一次方程過(guò)程中涉及的基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)看,首先,掌握算術(shù)四則混合運(yùn)算(運(yùn)算順序)是第一塊基石;其次,有理數(shù)混合運(yùn)算(出現(xiàn)負(fù)號(hào))是算術(shù)的“類比+化歸”結(jié)果;第三,整式加減(恒等變換)是有理數(shù)混合運(yùn)算的“類比+化歸”結(jié)果; 第四,等式的運(yùn)算是代數(shù)運(yùn)算的轉(zhuǎn)折點(diǎn),由“恒等變換”轉(zhuǎn)向“等價(jià)變換”;第五,解方程是“恒等變換+等價(jià)變換”的結(jié)合.因此,教師只有精準(zhǔn)分析學(xué)生認(rèn)知困惑點(diǎn),如去分母犯錯(cuò)的成因和不易理解運(yùn)用化歸思想的成因,才能有的放矢引導(dǎo)學(xué)生從淺層學(xué)習(xí)層次進(jìn)入深度學(xué)習(xí).

3.1 去分母

①方程右邊的-3 漏乘公分母10,以為-3 沒(méi)分母,故不需乘10 去分母;

②對(duì)等式性質(zhì)“兩邊同時(shí)乘”的“兩邊”理解存在誤區(qū),兩邊是指兩邊的各項(xiàng)而非其中一項(xiàng);

③不理解“等式的運(yùn)算”與“算式的運(yùn)算”差異,前者是等價(jià)變換,后者是恒等變換;

由此可見(jiàn),在備課時(shí)教師針對(duì)學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)表象,還原學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的心智推理路徑,結(jié)合學(xué)生依賴的對(duì)知識(shí)理解的程度,從而找出學(xué)生犯錯(cuò)的認(rèn)知邏輯真相,才能有效解決學(xué)生的認(rèn)知困惑問(wèn)題.

3.2 化歸思想

在解方程過(guò)程中,由于“題型”與“解題招式”對(duì)應(yīng)的客觀存在,學(xué)生往往將解方程看作解方程步驟的機(jī)械重復(fù),較少理解解方程過(guò)程中蘊(yùn)涵的算理和化歸思想.因此,本節(jié)課要從學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平和在歸納總結(jié)解方程步驟基礎(chǔ)上突出解題原理,微觀分析學(xué)生對(duì)化歸思想和“算式的運(yùn)算”(恒等變換)和“等式的運(yùn)算”(等價(jià)變換)的理解水平,才能有效引導(dǎo)學(xué)生從淺層進(jìn)入深度學(xué)習(xí).

4 深度進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐,促成深度學(xué)習(xí)

本節(jié)課的教學(xué)流程如下：

課前利用信息技術(shù)軟件,收集學(xué)生前測(cè)數(shù)據(jù),了解學(xué)生對(duì)一元一次方程解法的掌握情況,使習(xí)題課設(shè)計(jì)的訓(xùn)練題更適合所教班級(jí)學(xué)生的水平.

4.1 教學(xué)環(huán)節(jié)一：知識(shí)回顧

教師預(yù)設(shè)問(wèn)題：方程的解的形式是什么? 什么是解方程?方程的每一個(gè)步驟的依據(jù)是什么? 為什么要去分母? 能否改變各步驟的運(yùn)算順序? 如何檢查我們的計(jì)算是否正確?

引導(dǎo)學(xué)生回顧解方程的一般步驟：去分母——去括號(hào)——移項(xiàng)——合并同類項(xiàng)——系數(shù)化為1;解方程,要求學(xué)生說(shuō)出各步驟運(yùn)用的知識(shí);回顧方程解的形式,并說(shuō)出什么是解方程.

最后老師強(qiáng)調(diào)說(shuō)明,解方程的目的就是最終使方程變形為x=a(a為常數(shù))的形式,各種步驟都是為此而實(shí)施的,即在保持方程的左右兩邊的相等關(guān)系的前提之下,逐步使方程變形,從而使“未知”逐步轉(zhuǎn)化為“已知”.

意圖：此環(huán)節(jié)對(duì)解方程的本質(zhì)有比較透徹的認(rèn)識(shí),幫助學(xué)生樹(shù)立解方程的目標(biāo)意識(shí),洞悉算理,凸顯化歸思想,使得解一元一次方程不再僅是按照既定步驟進(jìn)行機(jī)械操作了,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的解方程、不等式打下了良好的思維方式基礎(chǔ).

4.2 教學(xué)環(huán)節(jié)二：分析錯(cuò)因

老師展示該題前測(cè)的答題情況,

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生指出錯(cuò)誤.

老師追問(wèn)：為什么“3”沒(méi)有乘10? 能否改變運(yùn)算的順序?各個(gè)步驟容易出錯(cuò)的地方有哪些?

引導(dǎo)學(xué)生分析歸納出此題易錯(cuò)點(diǎn)的原因,一是以為(-3)沒(méi)有分母, 故沒(méi)有乘公分母, 二是對(duì)化歸的依據(jù)：等式性質(zhì)(移項(xiàng)、去分母)的理解不準(zhǔn)確.

意圖：由學(xué)生前測(cè)題來(lái)設(shè)置問(wèn)題,通過(guò)實(shí)例進(jìn)行糾錯(cuò)讓學(xué)生學(xué)會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度分析問(wèn)題,清楚明白解一元一次方程各步驟的注意事項(xiàng),對(duì)解一元一次方程各步驟理解更加深刻.

4.3 教學(xué)環(huán)節(jié)三：整理反饋

師生活動(dòng)：教師將學(xué)生討論的易錯(cuò)點(diǎn)的結(jié)果進(jìn)行整合,梳理歸納出各步驟的注意事項(xiàng).

小結(jié)：解一元一次方程的一般步驟：去分母——去括號(hào)-——移項(xiàng)——合并同類項(xiàng)——系數(shù)化為1 一元一次方程.“轉(zhuǎn)化”依據(jù)：①等式性質(zhì)(移項(xiàng)、去分母); ②合并同類項(xiàng); ③去括號(hào)法則

解方程各步驟的注意事項(xiàng)：

步驟名稱注意事項(xiàng)去分母防止漏乘(尤其不含分母項(xiàng)),注意分子添括號(hào)去括號(hào)注意變號(hào),防止漏乘移項(xiàng)移項(xiàng)要變號(hào)合并同類項(xiàng)(ax=b,a/=0)計(jì)算仔細(xì),不出差錯(cuò)系數(shù)化為1分清分子和分母

意圖：通過(guò)小結(jié),易錯(cuò)點(diǎn)的錯(cuò)因分析總結(jié),將數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化,教學(xué)生學(xué)會(huì)歸納解一元一次方程過(guò)程中的易錯(cuò)點(diǎn),以及檢驗(yàn)方程解的應(yīng)用, 讓學(xué)生學(xué)會(huì)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度解決問(wèn)題,提高整合歸納知識(shí)的能力.

運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行課堂限時(shí)檢測(cè),通過(guò)數(shù)據(jù)分析,準(zhǔn)確、快速反饋學(xué)生解題情況.

意圖：檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)化、理解和掌握程度,進(jìn)一步鞏固一元一次方程的基本思路和步驟.

4.4 教學(xué)環(huán)節(jié)四：思維拓展

變式3：已知：(1)求x2的值;(2)求x的值;

變式4：已知關(guān)于x的方程用含a,b的代數(shù)式表示.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生代表嘗試用本節(jié)課所學(xué)的思想方法分析、解決問(wèn)題,說(shuō)出解題思路.

教師活動(dòng)：鼓勵(lì)學(xué)生用化歸思想來(lái)解決問(wèn)題,并與學(xué)生共同解決問(wèn)題.

意圖：設(shè)計(jì)變式題,讓含絕對(duì)值的方程、二次方程、含參數(shù)等不常見(jiàn)的問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生的思維,使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用化歸思想去解決問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)化歸思想解決問(wèn)題的作用.同時(shí),變式2 涉及分類討論思想的運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.變式3涉及整體思想來(lái)實(shí)現(xiàn)化歸,讓學(xué)生進(jìn)一步感受用數(shù)學(xué)思想來(lái)解決問(wèn)題的巧妙之處.

4.5 教學(xué)環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)

師生共同進(jìn)行課堂小結(jié)：

意圖：通過(guò)圖式歸納提升,進(jìn)一步體現(xiàn)化歸思想,直觀簡(jiǎn)潔地回顧題組,逐步把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單,把未知轉(zhuǎn)化為已知的演化過(guò)程.

課堂小結(jié)突出解一元一次方程的核心是化歸思想,即將一元一次方程轉(zhuǎn)化為.其中, 變式1 是將含分母方程轉(zhuǎn)化為不含分母方程;變式2 是將含絕對(duì)值方程通過(guò)分類討論轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值方程;變式3 是將一元二次方程通過(guò)整體思想轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的一元一次方程,再進(jìn)而求解;變式4 則是將含參數(shù)的方程,通過(guò)理解算理,靈活運(yùn)用解一元一次方程的步驟求解.這種精心設(shè)計(jì)的小結(jié)為學(xué)生溝通一次式三個(gè)知識(shí)體系的內(nèi)在轉(zhuǎn)化聯(lián)系形成提供運(yùn)用類比方式學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

5 習(xí)題課開(kāi)展深度學(xué)習(xí)的思考

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要途徑在于將淺層學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)為深度學(xué)習(xí),那么,成就深度學(xué)習(xí)的內(nèi)因和外因是什么? 如何從知識(shí)觀、學(xué)習(xí)觀和教學(xué)觀理解深度學(xué)習(xí),值得思考與探索.

5.1 教學(xué)價(jià)值決定高度

習(xí)題課的設(shè)計(jì)與教學(xué)不僅要解決問(wèn)題,而且還要刨根問(wèn)底追問(wèn)解決問(wèn)題背后的理念和數(shù)學(xué)思想,突出對(duì)思維本質(zhì)的追問(wèn),這是數(shù)學(xué)教育的價(jià)值所在.代數(shù)習(xí)題課教學(xué)中要以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想為立意,領(lǐng)悟算法中蘊(yùn)涵的算理為主線,從突出解方程程序化技能進(jìn)階到兼顧掌握解方程基本步驟又凸顯化歸思想,具體載體就是設(shè)計(jì)的從針對(duì)性練習(xí)到變式性練習(xí)再到綜合拓展性練習(xí),引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)知梯度和解決問(wèn)題路徑體驗(yàn)和內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法,實(shí)現(xiàn)全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的深度學(xué)習(xí).

5.2 題組設(shè)計(jì)決定質(zhì)量

習(xí)題課不是簡(jiǎn)單地做更多的習(xí)題以鞏固解題套路,好的題貴精不貴多,需要有明確的主題線索進(jìn)行串聯(lián)、變式和組合,如本課通過(guò)一個(gè)解方程母題的不斷變式,從解不含分母到解含分母的一元一次方程,從解不含參數(shù)到解含參數(shù)的一元一次方程,通過(guò)整體對(duì)比分析讓學(xué)生理解解方程的算理和算法,進(jìn)而深刻理解并運(yùn)用數(shù)學(xué)化歸思想提供了有效的內(nèi)化的途徑.本設(shè)計(jì)還有一個(gè)精妙之處,就是設(shè)計(jì)的題目通過(guò)適當(dāng)減少計(jì)算量,獲得了更多時(shí)間以增加學(xué)生的思維量,確保了深度學(xué)習(xí)的質(zhì)量.

為了達(dá)成高質(zhì)量的深度學(xué)習(xí),本節(jié)課的題目設(shè)計(jì)編排打破算術(shù)運(yùn)算、整式加減、解方程等知識(shí)點(diǎn)的割裂認(rèn)識(shí),實(shí)現(xiàn)了學(xué)生從算術(shù)到代數(shù)的順利過(guò)渡,形成學(xué)生整體綜合思維能力,它促使學(xué)生學(xué)習(xí)一元一次方程解法不僅僅是理解運(yùn)用等式性質(zhì)、合并同類項(xiàng)、去括號(hào)法則解方程,而是學(xué)習(xí)一種研究求未知數(shù)的新工具,學(xué)習(xí)一種如何運(yùn)用化歸思想研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式.

5.3 多元參與決定成效

對(duì)于解含分母方程易錯(cuò)點(diǎn),通常的處理方式是由老師講解糾錯(cuò),但學(xué)生只有親身經(jīng)歷“認(rèn)知困惑→重構(gòu)認(rèn)知→解決問(wèn)題”的過(guò)程才會(huì)產(chǎn)生深度學(xué)習(xí).本節(jié)課前部分教師根據(jù)前測(cè)數(shù)據(jù),準(zhǔn)確剖析學(xué)生對(duì)等式性質(zhì)中“兩邊”和“一邊”概念產(chǎn)生歧義性理解的犯錯(cuò)真相,然后將分析錯(cuò)因、易錯(cuò)點(diǎn)梳理等任務(wù)交給學(xué)生完成,達(dá)到了預(yù)期教學(xué)效果.

5.4 歸納提升決定發(fā)展

習(xí)題課的題目往往比較多,呈現(xiàn)方式、解題方法也變化多端,學(xué)生通過(guò)一節(jié)課學(xué)習(xí)到的不僅僅是一個(gè)又一個(gè)習(xí)題的解法和策略,更重要的是獲得持續(xù)發(fā)展的能力.本課歸納突出數(shù)與式的運(yùn)算、方程與含參方程的內(nèi)在聯(lián)系,促使學(xué)生在認(rèn)識(shí)代數(shù)知識(shí)上有新的提升和超越,促使學(xué)生理解代數(shù)式和解方程拓寬了解題思路,在整體綜合的意義上實(shí)現(xiàn)代數(shù)知識(shí)的融會(huì)貫通.

綜上所述,開(kāi)展深度學(xué)習(xí)是一個(gè)教學(xué)系統(tǒng)工程.在教研和教學(xué)具體實(shí)踐中,教師需要深度洞察學(xué)生的認(rèn)知困惑真相,依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特征結(jié)合現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論在預(yù)設(shè)與生成的師生互動(dòng)過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)的產(chǎn)生原過(guò)程和解題思路的探索過(guò)程;運(yùn)用教學(xué)心智將學(xué)生的認(rèn)知困惑點(diǎn)轉(zhuǎn)化為深度內(nèi)化知識(shí)的機(jī)會(huì),將最近發(fā)展區(qū)轉(zhuǎn)變?yōu)橥卣固嵘龑W(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)點(diǎn),將解題反思和單元?dú)w納轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生融會(huì)貫通知識(shí)塊內(nèi)在聯(lián)系的制高點(diǎn);運(yùn)用變式題形式精準(zhǔn)設(shè)計(jì)系統(tǒng)性題組,從數(shù)到字母、式再到含參方程形式逐步抽象的階梯遞進(jìn),從直接解題到間接解題再到轉(zhuǎn)化解題逐步復(fù)雜的階梯遞進(jìn),從方法選擇到靈活運(yùn)用再到優(yōu)化策略逐步(思維)高階的階梯遞進(jìn),促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從解決問(wèn)題到數(shù)學(xué)思想方法形成的心智進(jìn)化和跨越,感悟“簡(jiǎn)單題找方法,方法解復(fù)雜題”的一般性解題策略.因此,習(xí)題課開(kāi)展深度學(xué)習(xí)意味著從依賴題海戰(zhàn)術(shù)的粗放型方式轉(zhuǎn)向依靠教研的科學(xué)精準(zhǔn)發(fā)展方式提高教學(xué)質(zhì)量,它引發(fā)教師對(duì)“人的學(xué)習(xí)”的重新思考和洞見(jiàn),以實(shí)際行動(dòng)探索課堂教學(xué)如何有效開(kāi)展深度學(xué)習(xí)的路徑與策略.