帶兩對(duì)對(duì)稱(chēng)平板的圓柱繞流問(wèn)題研究

張雪嬌, 劉官?gòu)d,2

(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022;2.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)中心,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

繞流現(xiàn)象是生活生產(chǎn)和工業(yè)工程中非常普遍的現(xiàn)象,無(wú)論是氣體還是液體繞流都會(huì)對(duì)物體產(chǎn)生一定的影響[1-4]。因此,研究繞流現(xiàn)象具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。目前,關(guān)于圓柱繞流的研究在數(shù)值和實(shí)驗(yàn)上都有許多成熟的結(jié)果[5-8]。此外,人們一直致力于研究具有簡(jiǎn)單邊界的物體繞流。Zhou等[9]對(duì)帶有上游分流板的圓柱體周?chē)牧鲃?dòng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。紀(jì)雪林等[10]對(duì)橢圓柱繞流問(wèn)題進(jìn)行了分析,得出了橢圓柱周?chē)鲌?chǎng)的壓強(qiáng)和速度的一些特征。

與圓柱繞流運(yùn)動(dòng)相比,帶有板的圓柱繞流運(yùn)動(dòng)要復(fù)雜得多,這是由于板與圓柱之間相互影響,并且板包含端點(diǎn)。本文研究了無(wú)粘性不可壓縮流體的帶有兩對(duì)對(duì)稱(chēng)平板的圓柱繞流運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。該模型的實(shí)際應(yīng)用也非常廣泛,海底石油鉆井平臺(tái)就是一個(gè)典型例子。對(duì)于具有復(fù)雜邊界物體的繞流運(yùn)動(dòng),使用奇點(diǎn)迭代方法和鏡像法很難求出此種復(fù)雜繞流問(wèn)題的復(fù)勢(shì)函數(shù)。因此,根據(jù)復(fù)勢(shì)函數(shù)的特征,用復(fù)變方法中的保角變換[11]來(lái)得出本文所研究問(wèn)題的復(fù)勢(shì)函數(shù),然后利用復(fù)變方法得到速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)。進(jìn)行對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)本文的研究結(jié)果與實(shí)際流動(dòng)非常吻合。

1 問(wèn)題陳述

速度為V∞、流動(dòng)沖角為α的無(wú)粘性不可壓縮均勻流體繞帶有兩對(duì)對(duì)稱(chēng)平板的圓柱體流動(dòng)。圓柱的半徑為R,平板的長(zhǎng)度分別為a-R和c-R。流體做平面運(yùn)動(dòng),并把該平面看作物理平面z,設(shè)在z平面的流動(dòng)是平面定常無(wú)旋的且不考慮環(huán)量。流動(dòng)形式如圖1所示,分析該流場(chǎng)的速度和壓力分布。

圖1 物理平面zFig.1 Physical plane z

2 基本方程

2.1 無(wú)粘性不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)

無(wú)粘性不可壓縮流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)是真實(shí)流體運(yùn)動(dòng)在一定條件下的簡(jiǎn)化,其研究具有重要的實(shí)際意義。無(wú)粘性不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足連續(xù)性方程[12]

divv=0

(1)

和運(yùn)動(dòng)方程

(2)

其中v是流體速度,Fb是質(zhì)量力,ρ是流體密度,p是流體壓強(qiáng)。此外,還應(yīng)滿(mǎn)足邊界條件。顯然這組方程是非線性的,而且速度和壓強(qiáng)耦合,直接求解比較困難。

?2φ=0。

(3)

這是一個(gè)拉普拉斯方程,在一定的邊界條件下可以求解。對(duì)于正壓流體和體力有勢(shì)的情況,當(dāng)流動(dòng)無(wú)旋時(shí),有拉格朗日積分

(4)

這樣,無(wú)粘性不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的基本方程組變?yōu)?/p>

?2φ=0,

(5)

(6)

邊界條件視具體邊界而定。方程(5)是拉普拉斯方程,數(shù)學(xué)上已有許多方法可求其通解。當(dāng)流體在流動(dòng)過(guò)程中,各場(chǎng)變量不隨z方向發(fā)生變化時(shí),其流動(dòng)可看作是平面流動(dòng),本文只討論平面無(wú)旋流動(dòng)。

2.2 不可壓縮流體平面運(yùn)動(dòng)的流函數(shù)

如果流體做平面運(yùn)動(dòng),取此平面為x-y平面,則連續(xù)性方程可以寫(xiě)為[12]

(7)

對(duì)于平面流動(dòng),流體渦量ω只有z軸方向上的分量,記為ω=ωk。從而有ω=-?2ψk,又可以寫(xiě)為

ω=-?2ψ。

(8)

且在無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的情況下,方程(8)化為

?2ψ=0。

(9)

于是,對(duì)于本文所討論的無(wú)粘性不可壓縮流體的平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),流函數(shù)ψ(x,y)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程。

2.3 平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的復(fù)勢(shì)

無(wú)粘性不可壓縮流體的平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)可以引進(jìn)速度勢(shì)函數(shù)φ或流函數(shù)ψ來(lái)求解,且從上述討論可知道其滿(mǎn)足拉普拉斯方程。根據(jù)定義,在直角坐標(biāo)系中有[12]

(10)

即這兩個(gè)調(diào)和函數(shù)還滿(mǎn)足柯西-黎曼條件。因此它們可以組成一個(gè)解析函數(shù),即

W(z)=φ(x,y)+iψ(x,y),

(11)

2.4 流場(chǎng)中的速度及壓強(qiáng)分布

平面運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中任意一點(diǎn)處的流體速度大小為

(12)

流場(chǎng)中任意一點(diǎn)處的壓強(qiáng)p可由伯努利方程求出

(13)

其中V∞、p∞、ρ∞分別為均勻來(lái)流的速度、壓強(qiáng)和密度。此處定義壓強(qiáng)系數(shù)[12]

(14)

以此來(lái)描述流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布。

3 帶兩對(duì)對(duì)稱(chēng)平板的圓柱繞流問(wèn)題的解析解

3.1 基本思想

如果C*是半徑為r的圓,則ζ平面上的復(fù)勢(shì)函數(shù)為[12]

(15)

W*(ζ)=W*(F-1(z))=W(z)。

(16)

3.2 保角變換和復(fù)勢(shì)函數(shù)

對(duì)于圖1所示的流動(dòng)問(wèn)題,利用如下保角變換[11]

(17)

(18)

該逆變換把z平面上帶兩對(duì)對(duì)稱(chēng)平板的圓柱的外部區(qū)域映射到ζ平面上單位圓的外部區(qū)域,如圖2所示。

圖2 輔助平面ζ Fig.2 Auxiliary plane ζ

(19)

分離W(z)的實(shí)部和虛部,有

(20)

3.3 速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)

從(20)式,可得φ(x,y)和ψ(x,y)分別為

(21)

(22)

其中:θ,β,k1和k2與上述相同。由此可見(jiàn)速度勢(shì)函數(shù)φ(x,y)和流函數(shù)ψ(x,y)與θ,β,k1和k2是相關(guān)的。

根據(jù)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的定義,令φ(x,y)=const,可以得到等勢(shì)線。同理,令ψ(x,y)=const,可以得到流線。再由(12)式-(13)式,根據(jù)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)可以得到壓強(qiáng)系數(shù),并且可以據(jù)此分析流場(chǎng)的速度和壓強(qiáng)分布。

4 數(shù)值算例

4.1 速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的計(jì)算

(23)

(24)

根據(jù)θ和β的不同取值,將物理平面z(除圓柱外)分為幾個(gè)不同區(qū)域,如圖3所示。

圖3 幾個(gè)不同區(qū)域Fig.3 Several different areas

為了保證物理平面z和輔助平面ζ的一一對(duì)應(yīng),需要對(duì)k1和k2的值進(jìn)行討論,在區(qū)域1至區(qū)域5取k1=k2=1,在區(qū)域6至區(qū)域10取k1=k2=0。

(25)

(26)

同理,可以得到其他9個(gè)區(qū)域的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù),不再贅述。

4.2 流線圖和等勢(shì)線圖

根據(jù)每個(gè)區(qū)域中流函數(shù)的表達(dá)式,令ψ(x,y)=const并取適當(dāng)?shù)腸onst值,可以繪制出每個(gè)區(qū)域的流線圖,進(jìn)而可以得到完整的流線圖,如圖4所示。類(lèi)似地,可以得到完整的等勢(shì)線圖,如圖5所示。

圖4 完整流線圖 圖5 完整等勢(shì)線圖Fig.4 Complete streamline diagram Fig.5 Complete equipotential line diagram

由圖4可知,流動(dòng)情況與實(shí)際流動(dòng)相符,在點(diǎn)(-1,0),(1,0),(0,-i)和(0,i)沒(méi)有流線通過(guò),因此這四個(gè)點(diǎn)處的流體速度為0 m/s。在大約(0,-2.1i)和(0,2.1i)處,流線垂直于豎直方向的平板,因此這兩點(diǎn)的流體速度也為0 m/s。這些點(diǎn)稱(chēng)為流場(chǎng)的駐點(diǎn)。流線在(-2,0),(2,0)和大約(0,-3.5 i),(0,3.5 i)點(diǎn)處匯集,因此理論上在這些點(diǎn)處的流體速度是無(wú)窮大的,這些點(diǎn)稱(chēng)為流場(chǎng)的奇點(diǎn)。如圖5所示,物體附近的等勢(shì)線垂直于平板,遠(yuǎn)離物體的等勢(shì)線逐漸變直。

4.3 壓強(qiáng)系數(shù)

不同區(qū)域的壓強(qiáng)系數(shù)不相同,從圖3可以看出,水平板的下側(cè)在區(qū)域7中,因此可以利用區(qū)域7的勢(shì)函數(shù),根據(jù)(12)式-(14)式,可以得出位于區(qū)域7中的水平板下側(cè)的壓強(qiáng)系數(shù)為

(27)

然后,繪制出區(qū)域7中水平板下側(cè)的壓強(qiáng)系數(shù)圖,如圖6所示。類(lèi)似地,可以繪制出區(qū)域7中的圓柱表面的壓強(qiáng)系數(shù)圖,如圖7所示。

從圖6和圖7可得,在x=-1和x=0處cp=1,這是cp的最大值。表明壓強(qiáng)也達(dá)到最大值2 000+p∞,在這里的流體速度是0 m/s。大約在x=-1.77處,cp=0,壓強(qiáng)等于p∞,速度等于V∞=2 m/s。在x=-2處,cp=-∞,壓強(qiáng)為負(fù)無(wú)窮大,速度為無(wú)窮大。這與流線圖反映的流動(dòng)情況一致。

圖6 區(qū)域7中水平板下側(cè)的壓強(qiáng)系數(shù)圖 圖7 區(qū)域7中圓柱表面的壓強(qiáng)系數(shù)圖Fig.6 Pressure coefficient diagram of the lower Fig.7 Pressure coefficient diagram of side of the horizontal plate is in area 7 cylindrical surface in the area 7

同理,可得其他區(qū)域的壓強(qiáng)系數(shù)圖,進(jìn)而分析出特殊點(diǎn)處的壓強(qiáng)和速度,此處不再贅述。

5 幾種流動(dòng)沖角取其他值的情形

5.1 流動(dòng)沖角α=0

(28)

(29)

同理,可得到其他幾個(gè)區(qū)域的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù),并繪制流線圖和等勢(shì)線圖,如圖8和圖9所示。

圖8 α=0時(shí)的流線圖 圖9 α=0時(shí)的等勢(shì)線圖Fig.8 Streamlines diagram of α=0 Fig.9 Equipotential lines diagram of α=0

如圖8、圖9所示,在這種情況下,水平平板對(duì)流場(chǎng)沒(méi)有影響。在點(diǎn)(-1,0),(1,0),(0,-i)和(0,i)沒(méi)有流線經(jīng)過(guò),這四個(gè)點(diǎn)的流體速度為0 m/s。在點(diǎn)(-2,0)和(2,0)處,流線垂直于水平平板,這兩點(diǎn)的流體速度也為0 m/s,這些點(diǎn)稱(chēng)為流場(chǎng)的駐點(diǎn)。流線在(0,-3.5 i)和(0,3.5 i)處匯集,理論上在這些點(diǎn)處的流體速度是無(wú)窮大的,這些點(diǎn)稱(chēng)為流場(chǎng)的奇點(diǎn)。

利用相同的方法,繪制區(qū)域7和區(qū)域9中y軸左側(cè)和圓柱表面的壓強(qiáng)系數(shù)圖,如圖10所示。

根據(jù)圖10(a)和(c),并結(jié)合計(jì)算,可知大約在y=±3.6處,cp取最小值負(fù)無(wú)窮大,這表明此處的速度為無(wú)窮大,壓強(qiáng)為負(fù)無(wú)窮大。通過(guò)圖10(b),可知在y=0和y=±1處,cp取最大值1,此時(shí)壓強(qiáng)也取最大值2 000+p∞,流體速度為0 m/s。這與流線圖中的結(jié)果一致。

圖10 區(qū)域7和區(qū)域9中的壓強(qiáng)系數(shù)圖Fig.10 Pressure coefficient diagram in regions 7 and 9

5.2 流動(dòng)沖角

與上述算例相同,這種情形下區(qū)域1中的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為

(30)

(31)

流線圖和等勢(shì)線圖如圖11-圖12所示。流線圖中,在點(diǎn)(-1,0),(1,0),(0,-1)和(0,1)處沒(méi)有流線,表明當(dāng)流體流過(guò)這些點(diǎn)時(shí),流體速度等于0 m/s。在(0,-3 i)和(0,3 i)處,流線垂直于豎直平板,這兩點(diǎn)的流體速度也為0 m/s,這些點(diǎn)稱(chēng)為流場(chǎng)的駐點(diǎn)。在(-2,0)和(2,0)處流線匯集,此處的流體速度等于無(wú)窮大,這兩個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為流場(chǎng)的奇點(diǎn)。流動(dòng)形式與實(shí)際情況相符。

圖11 α=π/2時(shí)的流線圖 圖12 α=π/2時(shí)的等勢(shì)線圖 Fig.11 Streamlines diagram at α=π/2 Fig.12 Equipotential lines at α=π/2

區(qū)域4和區(qū)域7中的平板和圓柱表面的壓強(qiáng)系數(shù)如圖13所示。從圖13(a)可知,在x=-2處,cp=-∞,這表明此處的流體速度為無(wú)窮大,壓強(qiáng)為負(fù)無(wú)窮大。從圖13(b)可知,在x=±1和x=0處,cp=1,這是cp的最大值。此處壓強(qiáng)也取最大值2 000+p∞,流體速度為0 m/s。這與流線圖中的結(jié)果一致。

6 十字型平板繞流問(wèn)題

6.1 保角變換、速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)

下面研究無(wú)粘性不可壓均勻流體的十字型平板繞流問(wèn)題。流動(dòng)形式如圖14所示。

保角映射退化為

(32)

(32)式的逆映射為

(33)

該逆映射把十字型平板外部區(qū)域映射到單位圓外部區(qū)域,如圖15所示。

(34)

分離W(z)的實(shí)部和虛部,得到速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)如下

(35)

(36)

其中γ是(x2-y2+c2)+i2xy的輻角,k1=0或1。λ是(x2-y2-a2)+i2xy的輻角,k2=0或1。

6.2 數(shù)值算例

(37)

(38)

其中:γ是(x2-y2+4)+i 2xy?X1′+iY′的輻角,k1=0或1;λ是(x2-y2-1)+i 2xy?X2′+iY′的

輻角,k2=0或1。根據(jù)γ和λ的不同取值,將平面分成如圖16所示的幾個(gè)區(qū)域,并且在區(qū)域1-區(qū)域5令k1=k2=1,在區(qū)域6-區(qū)域10令k1=k2=0。

圖16 不同區(qū)域Fig.16 Different regions

(39)

(40)

同理,還可以得出其他區(qū)域的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù),并繪制出流線圖和等勢(shì)線圖,如圖17和圖18所示。如流線圖所示,原點(diǎn)處不存在流線,并且在(0,-1.25 i)和(0,1.25 i)處流線垂直于平板,因此這三個(gè)點(diǎn)處的流體速度均為0 m/s。在(-1,0),(1,0),(0,-2 i)和(0,2 i)處流線匯集,這表示此處的流體速度等于無(wú)窮大。

圖17 流線圖 圖18 等勢(shì)線圖Fig.17 Streamline diagram Fig.18 Equipotential line diagram

區(qū)域7中物體表面的壓強(qiáng)系數(shù)如圖19所示,在x=-1處,cp=-∞,這表明此處流體速度為無(wú)窮大,壓強(qiáng)為負(fù)無(wú)窮大。在x=0處,cp=1,這是cp的最大值。此處壓強(qiáng)也達(dá)到最大值2 000+p∞,速度為0 m/s。這些均與流線圖的結(jié)果一致。

圖19 區(qū)域7中水平平板的壓強(qiáng)系數(shù)圖Fig.19 Pressure coefficient diagram of horizontal plate in area 7

7 結(jié)論

本文通過(guò)共形映射方法,研究了無(wú)粘性不可壓縮均勻流體繞帶兩對(duì)對(duì)稱(chēng)平板的圓柱和十字型平板流動(dòng)的問(wèn)題?？梢缘玫揭韵陆Y(jié)果：

(1) 在流場(chǎng)駐點(diǎn)處,流體速度為0,壓強(qiáng)達(dá)到最大值;

(2) 在流場(chǎng)奇點(diǎn)處,流體速度是無(wú)窮大,壓強(qiáng)是負(fù)無(wú)窮大;

(3) 當(dāng)均勻來(lái)流的方向平行于平板時(shí),平板對(duì)流場(chǎng)無(wú)影響;

(4) 不同的流動(dòng)沖角對(duì)壓強(qiáng)系數(shù)的影響不同,對(duì)流場(chǎng)中壓強(qiáng)和速度的影響也不同。

這些結(jié)果為后續(xù)研究提供了理論基礎(chǔ),從流線圖和等勢(shì)線圖可以看出,本文的流動(dòng)情況與實(shí)際流動(dòng)情形吻合較好。