初中數(shù)學“思維體驗學習”的實踐與反思

陳吉 張愛平

【摘 要】 數(shù)學思維體驗學習是數(shù)學體驗學習的一種，是通過觀察與分析、猜想與驗證等“抽象”思維而獲得的一種體驗.在教學中，要面向全體學生創(chuàng)設合適的思維體驗活動，引導學生在思維體驗學習過程中學會解決驅(qū)動性問題，經(jīng)歷“實際問題—數(shù)學問題—數(shù)學問題的解—實際問題的解”的數(shù)學建模過程，感悟數(shù)學思想方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學思維能力.

【關(guān)鍵詞】 思維體驗;數(shù)學建模;分類討論;數(shù)形結(jié)合;類比

數(shù)學體驗學習是學習者置身某種場合（或虛擬場合）和情景參與特定的數(shù)學活動，親歷具體的操作過程，感受數(shù)學對象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，領(lǐng)悟思想方法，獲取活動經(jīng)驗，提升關(guān)鍵能力的一種學習方式，既包括通過動手“操作”而產(chǎn)生的“操作體驗”，也包括通過抽象“思維”而產(chǎn)生的“思維體驗”[1].根據(jù)江蘇省第五批精品培育課題暨江蘇省教育科學規(guī)劃十三五重點資助課題“初中數(shù)學體驗校本課程的開發(fā)研究”的研究要求，課題組老師開設了“用二次函數(shù)解決問題”的數(shù)學思維體驗學習課，力求探索數(shù)學思維體驗學習的經(jīng)驗和規(guī)律，發(fā)展學生數(shù)學能力.

1 背景

課題組所研究的數(shù)學體驗學習，主張在數(shù)學課堂教學過程中要能調(diào)動學生學習的積極性，將被動學習變成主動體驗學習的過程，學生在學習活動中借助教師的引導從行為和感情上直接參與到教學活動中來，通過自身的體驗、親歷來認識、建構(gòu)知識.現(xiàn)代學習觀強調(diào)學生學會學習有4個標準，其中的第4個標準就是“能很好地將所學的知識應用于實踐，即會用”.在實際學習過程中，學生對于方程、不等式、函數(shù)等等這些知識點的概念或者運算的掌握不困難，而運用它們?nèi)ソ鉀Q實際問題則是學習的難點.關(guān)注學生體驗學習，尤其是思維體驗學習的過程，可以較好地提高學生學習的品質(zhì)，以“二次函數(shù)的應用”的學習為例，在數(shù)學建模的過程中，感悟數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比等多種數(shù)學思想方法的思維體驗過程，可以幫助學生學會用數(shù)學的思維方式解決問題、認識世界，提高學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界的能力，力求數(shù)學學科育人.本節(jié)課的課堂設計，不僅要實現(xiàn)“二次函數(shù)的應用”應達成的教學目標，還要把“數(shù)學思維體驗”貫穿于整個課堂，也就是說，課堂目標的達成，重、難點的解決，都不是通過教師單一的講授完成，而是要通過教師對學生的引導、學生親歷的“思維體驗”而完成.選擇怎樣的問題才能更好的讓學生既能從“思維體驗”入課，又能讓“思維體驗”貫穿整節(jié)課是關(guān)鍵.經(jīng)過多次討論，最終確定以“用長60m的籬笆圍成矩形場地，怎樣圍場地的面積最大？最大面積是多少？”這個問題為“思維體驗學習”的主問題，基于以下幾點思考：（1）這個問題的結(jié)論學生通過小學的學習已經(jīng)知道，但是，“知其然”，更要“知其所以然”，這就向?qū)W生提出了一個新的需要解決的問題——“為什么？”（2）要解決這個問題，首先需要學生基于以往的學習經(jīng)驗，選擇合適的數(shù)學方法，這就是“數(shù)學建?！钡倪^程，也是學生的第一步“數(shù)學思維體驗”.（3）用“二次函數(shù)”的知識解決求最值的實際問題，能不能取到？在什么時候取到？這是從“數(shù)學問題的解”到“實際問題的解”的過程，需要“檢驗”，檢驗什么？怎樣檢驗？這其中需要學生運用分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，這是第二步“數(shù)學思維體驗”，同時也為下面的變式——改變墻長，埋下伏筆.

2 教學過程分析

2.1 思維體驗活動

問題：用長60m的籬笆圍成矩形場地，怎樣圍場地的面積最大？最大面積是多少？

變式：有一堵長為am（a<60）的墻，利用這堵墻和長為60m的籬笆圍成一個矩形場地，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？

追問1：利用墻和籬笆可以“怎樣圍”？請畫出設計示意圖.

追問2：按圖1①的設計方案，求出矩形場地的最大面積.

追問3：按圖1③的設計方案，求出矩形場地的最大面積.

思考：有一堵長為60m的墻，利用這堵墻和長為am的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？

效果分析 第一個“問題”，是所有學生都能直接說出答案的一個問題，所以，解題的重、難點是探究獲取答案的過程，并且在探究的過程中體驗從“實際問題—數(shù)學問題”的建模思想、用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)最值的解決過程、從“數(shù)學問題的解—實際問題的解”的檢驗過程.通過“問題”的解決，學生基本掌握了“實際問題—數(shù)學問題—數(shù)學問題的解—實際問題的解”的“用二次函數(shù)解決實際問題”的基本方法和注意點.接著給出“變式”，增加一堵小于籬笆長度的墻，導致第一個“追問”的產(chǎn)生，也是引導學生經(jīng)歷“分類討論”思想的體驗的過程，追問2和追問3既是對追問1的求解，也是在墻長為一個字母a表示的條件下，經(jīng)歷借助“分類討論”和“數(shù)形結(jié)合”思想求最值的過程.“思考問題”讓學有余力的學生能夠?qū)⒆约和ㄟ^這節(jié)課的“體驗”獲取的解決問題經(jīng)驗進一步調(diào)用.

2.2 思維體驗學習過程

師：前面我們學習了用方程（組）、不等式（組）這樣一些數(shù)學方法解決實際問題，那么除了方程（組）、不等式（組）以外，還有沒有其他的一些數(shù)學方法解決實際問題呢？來看這樣的一個問題：用長60m的籬笆圍成矩形場地，怎樣圍場地的面積最大？最大面積是多少？

生1：圍成正方形面積最大.設長為x米，面積為y平方米.由題意可知，寬為（30-x）米，y=x（30-x）=-x2+30x=-（x-15）2+225.當x=15時，y有最大值，最大值為225.

效果分析 對“為什么圍成正方形面積最大”這個問題的研究，教師在巡視的過程中，發(fā)現(xiàn)學生的解決辦法不止一種，有畫圖形的，有列表格的，有用方程解決的，也有直接想到用函數(shù)解決的，學生不同的解法充分體現(xiàn)出對“建?！彼枷肜斫馑降牟煌?

師：請回答下面幾個問題.

問題1：用了什么方法來解決問題？

生1：設這個題目的一個變量為x，用二次函數(shù)解決.

師：要解決的是一個什么問題？

生1：一個求面積的實際問題.

師：怎么想到把這個實際問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題來解決？

生1：這個實際問題中有許多變量，其中矩形的面積隨長和寬的變化而變化，因為已知了矩形的周長，如果設長為x，可以表示出寬，用寬和長的積表示面積，這樣就建立了面積和長之間的關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系.

問題2：為什么是二次函數(shù)？

生1：因為矩形面積是長和寬決定的，即面積=長×寬.

問題3：利用了函數(shù)的什么知識點解決實際問題？

生1：利用函數(shù)的性質(zhì)，可以找出x在取一個特殊值時y取最大值，從而求出面積的最大值.

師：求出來的這個最大值是什么的最大值？

生1：是函數(shù)的最大值.

師：而我們要求的是什么？

生1：面積的最大值.

師：從函數(shù)的最大值到面積的最大值，還需要做什么？

生1：通過檢驗，確定函數(shù)的最大值是否是實際問題的最優(yōu)解.

師：x=15符合實際意義嗎？生1：符合.

師：所以函數(shù)的最大值就是面積的最大值.

效果分析 通過師生對話，充分呈現(xiàn)思維體驗學習的過程，學生1的解題過程完整、規(guī)范.結(jié)合前面教師的巡視，只有少部分學生能夠想到建立“函數(shù)”去解決這個問題，那么，對于大多數(shù)的學生來說，這個題目為什么用二次函數(shù)去解決？什么情況下可以建立函數(shù)關(guān)系去解決？是需要去解決的問題，也是需要去體驗的思維過程的問題;此外，該學生在解題的時候沒有“檢驗”的意識，需不需要檢驗？為什么要檢驗？怎么檢驗？也是這節(jié)課要經(jīng)歷的重要的思維體驗過程.通過教師問題的引導，逐步梳理了用二次函數(shù)解決問題的基本過程.這里教師也可設置問題：“請解釋你的解題步驟以及為什么這么做？”把研究的過程完全交給學生，讓學生更充分的感悟研究過程中的“思維體驗”過程.

變式：有一堵長為am（a<60）的墻，利用這堵墻和長為60m的籬笆圍成一個矩形場地，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？

師：題目的條件做了怎樣的改變？

生2：多了一堵墻.

師：墻有什么作用？

生2：墻可以代替一部分籬笆.

師：利用這堵墻和籬笆，圍成一個矩形的場地，有哪些圍法？請畫一畫設計示意圖.

生2：如圖1，一共畫了4個圖.

師：這四幅圖是否都需要？

生3：按照籬笆的使用情況①和②是一樣的，③和④是一樣的，所以可以去掉②，④，保留①，③，有2種不同的圍法.

師：這2種圍法有什么不同？

生3：如圖2，題設條件a小于60，a的長度不會超過籬笆的長度，所以墻可以作為籬笆的一部分，可以分為2種情況：“一邊靠墻”和“一邊包含墻”.

師：一邊靠墻，即平行于墻的籬笆的長度不能超過墻的長度，0

師：x=a是比較特殊的一種情況，就正好圍到墻的端點.

效果分析 對“變式”問題涉及示意圖的完成，大多數(shù)的學生都是在所圍成的矩形“一邊靠墻”的情況下改變一組鄰邊的長做不同的設計，很少有學生想到“一邊包含墻”的另一種情況.這就反映出學生對“墻長am（a<60）”這個條件所起到的作用沒有進行充分的思考，更沒有進行“分類討論”的意識，同樣的問題也出現(xiàn)在后面最值的求解過程中.所以，仔細審題，對題目的所有條件充分了解并思考，特別是對“字母參數(shù)”分類意識的培養(yǎng)，是學生進行“思維體驗”的重點.學生3和學生4對2種不同情況的設計及自變量的取值范圍的確定，思路清晰，經(jīng)歷了“思維體驗”的過程.

師：請根據(jù)對前面問題研究的方法和經(jīng)驗，完成圖2矩形最大面積的求解.

生5：因為a小于60，所以應該先把a的取值范圍討論清楚，這里可以把a替換成一個常數(shù)考慮.

師：a小于60可以取到多少個值？

生5：無數(shù)個，可以用特殊值來代替.比如10，20，30，40.

師：把字母a用一個特殊的值來代替，可以發(fā)現(xiàn)什么？

生6：當a取不同的特殊值時，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)最大值的取值情況不一樣.

師：如何思考？

生6：可以這樣思考：

師：對于一般的函數(shù)最值問題，轉(zhuǎn)化為實際問題的最優(yōu)化問題，要注意“檢驗”.為什么這樣進行分類？

師：分類的關(guān)鍵是什么？

生8：關(guān)鍵是判斷二次函數(shù)的頂點的橫坐標是否滿足0

師：結(jié)合圖象直觀幫助分析題意，借助圖象解決函數(shù)的最大值問題，從而解決實際問題的最優(yōu)化問題，用到了什么數(shù)學思想方法？

生8：數(shù)形結(jié)合的思想方法.

效果分析 學生提出的把a的值用一個特殊值代替，經(jīng)歷“從特殊到一般”“從一般到特殊”的思維體驗過程，感受歸納、演繹的推理過程，理解解決問題的數(shù)學思想方法;“函數(shù)的最值”和“實際問題的最值”之間的關(guān)系，從“數(shù)學問題的解”到“實際問題的解”的“檢驗”過程，是“用數(shù)學”的重要體現(xiàn);利用函數(shù)圖象分析a對最大值的影響，即“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想的應用，在教學中加強了“特殊”到“一般”“數(shù)學問題”到“實際問題”“分類討論”“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學思想方法的體會和應用，加深了對“數(shù)學思維”的體驗. 圖7

師：對于一邊包含“墻”（圖7）的情形，如何解決？

師：這里主要運用了什么方法？

生9：類比一邊靠“墻”的解決過程，通過建立模型，確定字母a的分類標準，利用函數(shù)性質(zhì)和圖象直觀，解決第二種情形.

效果分析 類比是一種邏輯推理方法，根據(jù)兩種事物某些特征上的相似，做出它們在其它特征上也可能的相似的結(jié)論.這里學生完整經(jīng)歷了“一邊靠墻”的探究過程，而“一邊包含墻”的探究過程和前一種情形一定有相似之處，故而可以讓學生獨立思考，經(jīng)歷“建立模型—觀察圖象—分類討論—性質(zhì)分析”的探究過程，實現(xiàn)思維體驗過程的遷移，提升學生解決問題的能力.

3 反思

3.1 “思維體驗學習”需要提出驅(qū)動性問題

數(shù)學家哈爾莫斯說過：“問題是數(shù)學的心臟”.在數(shù)學思維體驗學習過程中，教師要以“提問”的方式啟發(fā)學生的思維，讓學生形成一定的思維模式思考和解決問題.對課堂問題的設置源于課堂的教學目標和學情，要提出具有驅(qū)動性的問題，即問題要“有廣度”“有深度”.“有廣度”是指問題要有開放性，使學生有更多的思考空間，一個數(shù)學問題的解決方法往往不止一種，開放性的問題可以更好的培養(yǎng)學生思維的廣度;“有深度”是指問題的提出不僅僅是為了找到這個問題的答案，而是要找到解決這個問題的方法，有深度的問題才能更好的培養(yǎng)學生思考的習慣，養(yǎng)成歸納總結(jié)解決問題的思想方法的習慣，提出有廣度、深度的問題，就可以提出驅(qū)動性的問題.在本節(jié)課中，預設了一個主問題和一個變式問題，通過追問的方式，將大問題分解為若干個子問題，層層遞進，在子問題解決的過程中獲得基本策略，豐富活動經(jīng)驗，從而提高數(shù)學思維體驗學習的品質(zhì).

3.2 “思維體驗學習”可以發(fā)展學生的數(shù)學思維能力

數(shù)學思維是人腦和數(shù)學對象交互作用并按照一般思維規(guī)律認識數(shù)學規(guī)律的思維過程.在數(shù)學教學中要滲透數(shù)學思想方法，要教給學生有用的解決問題策略.解決問題策略的掌握、數(shù)學思想方法的運用，必須通過自己的體驗與感悟，方能真正了解其本質(zhì)和意義，才能形成自己獨特的認知策略.對數(shù)學思想方法的滲透不是標簽式、告知式，而是讓學生在活動過程中積累、感悟.思維體驗學習讓學生經(jīng)歷“實際問題—數(shù)學問題—數(shù)學問題的解—實際問題的解”的過程，在本節(jié)課中，學生經(jīng)歷了建立數(shù)學模型過程中的從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合、類比等數(shù)學思想方法的體驗和應用，積累用數(shù)學思想方法解決實際問題的基本活動經(jīng)驗，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力.

3.3 “思維體驗學習”要面向全體學生

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）指出：“教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎，面向全體學生.”[2]本節(jié)課的思維體驗學習過程中，把對學生思維習慣的培養(yǎng)貫穿于整個課堂時，對一部分自主學習能力較強、學習自覺性較高的孩子來說，無論是對他們學習習慣的培養(yǎng)，還是學習能力的提升，都有很好的作用.但在教學中，對于數(shù)學能力較弱的孩子，就會產(chǎn)生課堂聽課效率低、課堂內(nèi)容聽不懂的問題，問題的設置梯度再小一些，使得更多的學生能夠在問題串的引導下學會思考，在大多數(shù)學生都出現(xiàn)疑惑的地方能夠及時發(fā)現(xiàn)，并針對學生的疑惑點及時準確的提出能夠幫助他們繼續(xù)思考下去的問題，數(shù)學思維體驗學習需要面向全體學生，從而實現(xiàn)讓不同的學生有不同的收獲.

參考文獻

[1]張愛平，沈雪英.融入數(shù)學體驗活動的教學實踐與思考——以“做一個角等于已知角”為例[J].數(shù)學通報，2019，58（4）：33-35.

[2]錢德春，戴回娟.預設與生成齊驅(qū) 過程與結(jié)果并重[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2019（5）：2-5.