“百雞問題”及其衍生問題

1 百雞問題簡介

所謂百雞問題，是指下面這道中國古代數(shù)學(xué)題：

雞翁一，值錢五;雞母一，值錢三;雞雛三，值錢一.凡百錢，買雞百只.問雞翁、母、雛各幾何？

用現(xiàn)在的語言表述就是：公雞5元1只，母雞3元1只，小雞1元3只.用100元錢買100只雞.問公雞、母雞、小雞各買多少只？

百雞問題是《張丘建算經(jīng)》中的最后一題.張邱建，北魏清河（今河北邢臺市清河縣）人，是公元5世紀著名的大數(shù)學(xué)家.《張丘建算經(jīng)》成書于公元466年到公元485年之間，現(xiàn)傳本有92個問題.該書在最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算、不定方程的求解以及等差數(shù)列相關(guān)問題的求解等方面，具有獨到的見解.百雞問題是《張邱建算經(jīng)》中的一個世界著名的不定方程問題.該書給出了這個問題的三組解：（1）公雞4只，母雞18只，小雞78只;（2）公雞8只，母雞11只，小雞81只;（3）公雞12只，母雞4只，小雞84只.

自張邱建以后，中國數(shù)學(xué)家對百雞問題的研究從來沒有間斷過，百雞問題幾乎成了不定方程的代名詞，從宋代到清代圍繞百雞問題的數(shù)學(xué)研究取得了許多成就.百雞問題不僅在中國幾乎盡人皆知，而且在國外也有較大影響.

2 百雞問題的解法

關(guān)于百雞問題的解法，《張丘建算經(jīng)》中只提到：“雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益（增加）三，即得.”但他并沒有給出更具體的解法.現(xiàn)在我們通過解不定方程的方法來求出這個問題的解.

3 與百雞問題相關(guān)的一些問題

在《張丘建算經(jīng)》之后，出現(xiàn)了許多與百雞問題相類似的問題，其中有些問題是后人自行編擬出來的，而有些問題卻有明顯的改變痕跡.現(xiàn)在我們挑選出其中的幾例，與讀者共同分享.

1.“百人搬磚”問題（選自《趣味歌詞古體算題選》，作者：潘有發(fā)，臺灣九章出版社1995年出版）.

百人搬百磚，男子一搬八，婦女一搬三，小孩三搬一.請問各幾人，各搬幾塊磚？不準列方程，不準用比例，只許用心算，看誰算得快！

參照百雞問題的解法，運用不定方程當然可以求解這個問題，但題目要求我們“用心算”.

根據(jù)已知條件我們可以進行如下分析：一個男人比一個女人多搬5塊磚;三個女人比三個小孩多搬8塊磚.因為人數(shù)和磚數(shù)都必須是正整數(shù)，所以，應(yīng)該先從小孩算起，小孩的人數(shù)應(yīng)該是3的倍數(shù).假設(shè)小孩有90人（也可以設(shè)小孩有60人，75人，87人等，只要是3的倍數(shù)即可，然后再逐一否定），搬磚30塊，那么剩下70塊要由10人來搬.若這10人都是女人，則只能搬30塊，此時剩下的40塊磚無人搬.因為每個男人比每個女人多搬5塊，所以，只要把其中的8個女人對換成男人，則剩下的40塊磚恰好分給8個男人搬.

所以，該問題的答案是：男人8人，每人搬8塊磚，共搬磚64塊;女人2人，每人搬3塊磚，共搬磚6塊;小孩90人，每3人搬1塊磚，共搬磚30塊.

2.“千錢百雞”問題（選自程大位原著，梅轂成編《增刪算法統(tǒng)宗》）.

今有千文買百雞，五十雄價不差池，草雞每個三十足，小者十文三個知.

用現(xiàn)在的語言表述就是：現(xiàn)有1000元錢去買100只雞，公雞每只50元，母雞每只30元，小雞3只10元.問公雞、母雞、小雞各買多少只.

這道題與百雞問題沒有本質(zhì)區(qū)別，只是錢的總數(shù)與每種雞的價錢都增加到原來的10倍.仿照百雞問題，通過解不定方程可得三組解：公雞4只，母雞18只，小雞78只;公雞8只，母雞11只，小雞81只;公雞12只，母雞4只，小雞84只.

3.“百馬百瓦”問題.

一百匹馬馱一百塊瓦，大馬馱三塊瓦，小馬馱兩塊瓦，兩個馬駒馱一塊瓦.問大馬、小馬、馬駒各幾匹？

五十多年前，筆者讀小學(xué)時，先父就曾經(jīng)給我出過這道題，但具體出處不太清楚.

設(shè)大馬x匹、小馬y匹、馬駒z匹，根據(jù)已知條件有方程組： x+y+z=100，3x+2y+12z=100.

解這個不定方程可得下面6組解：

4.“和尚幾人”問題（選自程大位《算法統(tǒng)宗》）.

一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭.小僧三人分一個，大小和尚各幾丁.

“和尚幾人”問題比百雞問題少了一個條件，從而使得其解法也簡單許多.通過求解一個一元二次方程，就可以很容易地求出答案來.程大位在《算法統(tǒng)宗》中曾經(jīng)給出一個不用方程的漂亮解法.其解法如下：

因為1個大和尚吃3個饅頭，3個小和尚吃1個饅頭，所以，1個大和尚和3個小和尚共吃4個饅頭.把1個大和尚和3個小和尚看成一組，100個和尚共分為25組.由于每組有1個大和尚和3個小和尚，因此25組有25個大和尚，75個小和尚.

5.“百錢買百?！眴栴}.

據(jù)傳，清代嘉慶皇帝曾仿照“百雞問題”編了一道“百牛問題”給大臣們做：有銀百兩，買牛百頭，大牛一頭十兩，小牛一頭五兩，牛犢一頭半兩.問大牛、小牛和牛犢各買多少頭？

答案：買大牛1頭，小牛9頭，牛犢90頭.

6.“幾人吃飯”問題.

在馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》中有一個與百雞問題類似的問題，就是下面這個“幾人吃飯”問題：

有30個人，其中有男人、女人和小孩，在一家小飯館吃飯花了50先令.每個男人花3先令，每個女人花2先令，每個小孩花1先令.問男人、女人和小孩各多少人？

仿照百雞問題，通過解不定方程可得下面9組解：

觀察上面的“百雞問題”“千錢百雞問題”“百馬百瓦問題”和“幾人吃飯問題”的答案不難發(fā)現(xiàn)，在每一個問題的所有答案中，x的值所構(gòu)成的數(shù)列是一個等差數(shù)列;同樣，y的值所構(gòu)成的數(shù)列和z值所構(gòu)成的數(shù)列也都是一個等差數(shù)列.

與百雞問題相關(guān)的問題，當然不止上面所羅列的這些.要想進一步了解更多的問題，讀者可以查閱相關(guān)的資料;如果有興趣，也可以自行編擬一些與之相關(guān)的問題.不論是自行求解，還是在課余時間與朋友交流、探討，都是一件很有意義的事情.

參考文獻

[1]徐品方，徐偉.古算詩題探源[M].北京：科學(xué)出版社，2008.9

作者簡介 司志本（1959—），男，河北興隆人，教授.曾被授予河北省優(yōu)秀教師，獲國家曾憲梓教育基金會教師獎;有170余篇數(shù)學(xué)論文發(fā)表.