執(zhí)果索因法破解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)困境

【摘 要】推進(jìn)信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，實(shí)現(xiàn)教育思想、理念、方法和手段全方位創(chuàng)新，對(duì)于提高教育質(zhì)量、促進(jìn)教育公平、構(gòu)建學(xué)習(xí)型社會(huì)和人力資源強(qiáng)國(guó)具有重大意義。但目前由于資金和教師的觀念、培訓(xùn)等原因，信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)的融合還處于整合階段，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的主要形式，應(yīng)成為深度融合的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。研究者以軌跡（曲線(xiàn)）問(wèn)題為例，結(jié)合課題組的實(shí)驗(yàn)研究，探索破解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)困境的方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);幾何畫(huà)板;執(zhí)果索因法

【作者簡(jiǎn)介】羅宇軍，高級(jí)教師，河池市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事，河池市教育局兼職教研員。

【基金項(xiàng)目】河池市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“畫(huà)板技術(shù)介入下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究”（2020B-364） 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出，教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果[1]。2012年3月，教育部印發(fā)的《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃（2011—2020年）》首次提到了信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合[2]。以教育信息化帶動(dòng)教育現(xiàn)代化，是我國(guó)教育事業(yè)發(fā)展的戰(zhàn)略選擇。推進(jìn)信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，實(shí)現(xiàn)教育思想、理念、方法和手段全方位創(chuàng)新，對(duì)于提高教育質(zhì)量、促進(jìn)教育公平、構(gòu)建學(xué)習(xí)型社會(huì)和人力資源強(qiáng)國(guó)具有重大意義。但目前由于資金和教師的觀念、培訓(xùn)等原因，信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)的融合還處于整合階段，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的主要形式，應(yīng)成為深度融合的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)旨在向?qū)W生呈現(xiàn)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)，形成相應(yīng)的技能。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)往往經(jīng)過(guò)某種預(yù)先的組織、設(shè)計(jì)，模擬地創(chuàng)設(shè)一些有利于觀察的數(shù)學(xué)對(duì)象和問(wèn)題情境，促使學(xué)生在對(duì)實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化操作的過(guò)程中產(chǎn)生歸納假設(shè)，在分析、修改、驗(yàn)證猜想中形成認(rèn)知體驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)在做（建構(gòu)）數(shù)學(xué)中學(xué)（理解）數(shù)學(xué)、用（解釋?zhuān)?shù)學(xué)的一種探究性教學(xué)活動(dòng)[3]。 一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)狀調(diào)查

筆者所在的課題組利用問(wèn)卷星在網(wǎng)上對(duì)209個(gè)隨機(jī)樣本進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，樣本涵蓋了廣西大部分的地市、各個(gè)年齡段的教師，并且涉及廣西各個(gè)類(lèi)型的學(xué)校。

調(diào)查1：您在數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)嗎？

A.經(jīng)常 ? ? ? B.有時(shí)

C.很少進(jìn)行D.從未進(jìn)行

調(diào)查結(jié)果顯示，經(jīng)常使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)的教師只有4.31 ，說(shuō)明大部分教師在教學(xué)中幾乎不使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué);很少進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教師達(dá)到42.11 ，說(shuō)明雖然教育部在2018年已經(jīng)發(fā)布了《教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃》，但是教師在實(shí)際教學(xué)中使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的情況還是令人擔(dān)憂(yōu)。為了解形成這個(gè)現(xiàn)狀的原因，課題組又進(jìn)行了下面的調(diào)查。

調(diào)查2：您準(zhǔn)備一個(gè)課時(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件需要多長(zhǎng)時(shí)間？

A. 2小時(shí)以上B. 1～2小時(shí)

C. 0.5～1小時(shí)D. 0.5小時(shí)以?xún)?nèi)

數(shù)據(jù)表明，74.16 的教師準(zhǔn)備一個(gè)課時(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件需要2小時(shí)以上，這是教師很少進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的主要原因之一。為了解更深層次的原因，課題組繼續(xù)對(duì)教師進(jìn)行了訪(fǎng)談。

訪(fǎng)談結(jié)果表明，教師對(duì)軟件不熟悉，以及對(duì)課件制作方法感到有一定的困難。因此，要破解當(dāng)前數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的困境，必須從教師的培訓(xùn)和提升課件制作能力入手， 縮短課件制作的時(shí)間，提高課件制作的效率。

二、破解策略與對(duì)比實(shí)驗(yàn)分析

軌跡問(wèn)題是學(xué)生認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)的開(kāi)始，也是呈現(xiàn)曲線(xiàn)形成過(guò)程的必由之路，繞開(kāi)軌跡談曲線(xiàn)會(huì)讓學(xué)生“知其然而不知其所以然”。軌跡問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)問(wèn)題之一，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。因此，很多有經(jīng)驗(yàn)的教師都會(huì)以信息技術(shù)的融合方式用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)給學(xué)生呈現(xiàn)軌跡的形成過(guò)程?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在軌跡問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用非常廣泛，但是研究表明，教師在準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中遇到了很大的困難。因此，本文以軌跡（曲線(xiàn)）問(wèn)題為例，闡述如何破解高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的困境。

一般地，高中數(shù)學(xué)軌跡問(wèn)題大致可以分為兩類(lèi)。

（一）相關(guān)點(diǎn)類(lèi)

此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是待求軌跡的“動(dòng)點(diǎn)”隨已知軌跡的若干個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”（一般是1～2個(gè)）而運(yùn)動(dòng)，兩者之間存在數(shù)量上的關(guān)聯(lián)，大部分探究類(lèi)的軌跡問(wèn)題都屬于這一類(lèi)。

例1（人教版高中數(shù)學(xué)必修2第122頁(yè)，例5） 已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。

由于學(xué)生第一次接觸軌跡，因此，在教學(xué)中，教師首先要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)軌跡，經(jīng)歷軌跡的形成過(guò)程，理解軌跡的定義和特點(diǎn)，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)其他的軌跡奠定基礎(chǔ)。操作步驟如下。

步驟1：作出已知軌跡，在軌跡上任取已知點(diǎn)A。

步驟2：根據(jù)條件作出相關(guān)點(diǎn)M，使用幾何畫(huà)板技術(shù)的“追蹤”功能，對(duì)已知點(diǎn)A使用“移動(dòng)”功能呈現(xiàn)M點(diǎn)軌跡的形成過(guò)程（如圖1）。

（二）條件類(lèi)

此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足某一特定的條件，比如圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)等曲線(xiàn)問(wèn)題都屬于這一類(lèi)，破解了這一類(lèi)問(wèn)題就相當(dāng)于破解了大部分的高中數(shù)學(xué)的軌跡問(wèn)題。

例2 已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），D（3，0）的距離的比是0.5，求點(diǎn)M的軌跡方程。

對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，大多數(shù)教師的做法就是根據(jù)題目條件，構(gòu)造出軌跡。但實(shí)踐證明，這樣操作的難度非常大。筆者基于幾何畫(huà)板的研究，做出以下教學(xué)設(shè)計(jì) 。

步驟1：如圖2，在直線(xiàn)上構(gòu)造點(diǎn)A、C，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段AC的中點(diǎn)為點(diǎn)B。

步驟2：如圖3，以O(shè)（0，0）為圓心，CB為半徑構(gòu)造圓O，以D（3，0）為圓心，CA為半徑構(gòu)造圓D，兩圓交點(diǎn)為E、F，使得E、F滿(mǎn)足與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），D（3，0）的距離的比為12，再利用幾何畫(huà)板的“構(gòu)造”功能找出交點(diǎn)E、F，并“追蹤”交點(diǎn)E、F。

步驟3：如圖4，利用幾何畫(huà)板中使點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的功能，呈現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)軌跡。

筆者把這個(gè)問(wèn)題交給課題組兩位成員（分別記為實(shí)驗(yàn)A、控制B）進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)兩位教師都沒(méi)有在規(guī)定時(shí)間內(nèi)（24小時(shí)）完成。說(shuō)明直接根據(jù)條件找出軌跡是比較困難的，特別是當(dāng)條件改為“距離的積是12”時(shí)，問(wèn)題更是難以解決。

為了破解這一難題，課題組成員進(jìn)行了細(xì)致而深入的研究。研究發(fā)現(xiàn)，教師在解決軌跡（曲線(xiàn)）問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，最大的困難在于如何找到符合條件的軌跡，然而在教學(xué)過(guò)程中并不需要展示這個(gè)符合條件的軌跡是如何作出來(lái)的，而是只需要展示符合條件的點(diǎn)的軌跡（曲線(xiàn)），并且這個(gè)軌跡（曲線(xiàn)）上的點(diǎn)必須滿(mǎn)足題目的條件。于是筆者想到了證明不等式方法中的綜合法，并且基于綜合法的思想探尋制作課件的方法，我們稱(chēng)之為執(zhí)果索因法。具體操作如下。

步驟1：先根據(jù)題目條件推算出軌跡方程為（x+1）2+y2=4。

步驟2：如圖5，作出圓 （x+1）2+y2=4。

步驟3：在圓上任取一點(diǎn)M，連接線(xiàn)段MO，MD，利用“度量”工具度量線(xiàn)段的長(zhǎng)度，呈現(xiàn)長(zhǎng)度比為1∶2，根據(jù)數(shù)據(jù)表明符合條件，再利用幾何畫(huà)板的“隱藏”功能，將圓進(jìn)行隱藏。

步驟4：如圖6，“追蹤”點(diǎn)M軌跡，呈現(xiàn)符合條件的軌跡（曲線(xiàn)）。

為了驗(yàn)證這個(gè)方法的效果，課題組對(duì)實(shí)驗(yàn)A進(jìn)行了執(zhí)果索因法的相關(guān)培訓(xùn)，然后安排兩位實(shí)驗(yàn)教師進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)1 已知點(diǎn)M到定直線(xiàn)x=-1的距離和到定點(diǎn)F（1，0）的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程。

結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)A在10分鐘內(nèi)就能輕松求出軌跡方程，而控制B在2小時(shí)內(nèi)沒(méi)有完成。為了排除實(shí)驗(yàn)對(duì)象水平差異的因素，課題組對(duì)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行了交換，即對(duì)控制B也進(jìn)行了執(zhí)果索因法的相關(guān)培訓(xùn)，進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)2 已知點(diǎn)M到定點(diǎn)A（-1，0）的距離和到定點(diǎn)B（1，0）的距離之和為3，求點(diǎn)M的軌跡方程。

對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，兩個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)象都能夠在10分鐘內(nèi)完成。通過(guò)上面的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，充分說(shuō)明了執(zhí)果索因法能夠大幅縮短數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)備時(shí)間，降低數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的難度，并且能夠在很大程度上破解當(dāng)前數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)面臨的困境。用執(zhí)果索因法破解軌跡（曲線(xiàn)）問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)困境流程圖如圖7所示。

執(zhí)果索因法的靈感源于數(shù)學(xué)不等式的證明思路，它結(jié)合教師備課和上課的不同要求，巧妙繞開(kāi)軌跡的探求過(guò)程這一難題，降低了備課的難度，縮短了備課的時(shí)間，為破解軌跡（曲線(xiàn)）問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)困境提供了較好的方法。同時(shí)，調(diào)查結(jié)果還表明，要解決這個(gè)問(wèn)題需要老教師和年輕教師進(jìn)行相互合作，把老教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與年輕教師的信息技術(shù)能力相結(jié)合。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的重要形式，也是呈現(xiàn)知識(shí)形成過(guò)程的有效途徑。軌跡（曲線(xiàn)）問(wèn)題僅僅是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，其他內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的困境如何破解，還需要課題組進(jìn)行更深入的研究。

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（責(zé)編編輯：陸順演）