模式直觀：小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)新轉(zhuǎn)向

任建波

摘要：運(yùn)算教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)之基礎(chǔ)，運(yùn)算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成部分。然而“機(jī)械地搬用運(yùn)算公式”等運(yùn)算教學(xué)的困境卻始終難以擺脫，導(dǎo)致其滋生了“只在運(yùn)算中教學(xué)運(yùn)算”的病癥，突出表現(xiàn)為與模式直觀的割裂。數(shù)學(xué)思維的“原始形態(tài)”“純粹數(shù)的直覺(jué)”等天然的教學(xué)價(jià)值，是模式直觀教學(xué)意蘊(yùn)的具體體現(xiàn)。當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)要想克服病癥，培養(yǎng)出具備良好思維品質(zhì)、扎實(shí)運(yùn)算技能和成熟運(yùn)算素養(yǎng)的人，迫切需要轉(zhuǎn)向模式直觀，探索常識(shí)性模式直觀、遷移性模式直觀、和諧性模式直觀和符號(hào)性模式直觀的價(jià)值和功能。

關(guān)鍵詞：模式直觀;運(yùn)算教學(xué);教學(xué)變革;學(xué)科核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2021）02A-0013-06

運(yùn)算教學(xué)是九年義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)之基礎(chǔ) [1]。運(yùn)算教學(xué)研究一直在進(jìn)行，但其困境卻始終難以真正擺脫。比如：“機(jī)械地搬用運(yùn)算公式”[2]，“在中低年級(jí)都把標(biāo)準(zhǔn)的豎式計(jì)算作為計(jì)算教學(xué)唯一的歸宿”[3]，學(xué)生計(jì)算無(wú)“策”缺“謀”[4]63，等等?？梢钥吹剑延醒芯繕O少觸及模式直觀。而真正的創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)推理過(guò)程，即數(shù)學(xué)思維的原始形態(tài)，充滿著模式直觀[5]2。另外，心理學(xué)和神經(jīng)學(xué)的研究結(jié)果表明，最有效的學(xué)習(xí)方法是左右腦并用，使用右腦進(jìn)行“整體的”“直覺(jué)的”“形象的”思維，同時(shí)使用左腦進(jìn)行“分析的”“邏輯的”思維[6]。這反映了當(dāng)下的運(yùn)算教學(xué)至少受限于兩點(diǎn)：一是對(duì)數(shù)學(xué)思維原始形態(tài)缺少全面把握;二是對(duì)人的全腦（特別是右腦）缺乏充分認(rèn)知。運(yùn)算教學(xué)滋生了“只在運(yùn)算中教學(xué)運(yùn)算”的病癥，突出表現(xiàn)為與模式直觀的割裂。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)對(duì)模式直觀的遺忘

模式直觀是一種比幾何直觀更為廣泛的直觀思維途徑，直觀并非一定離不開(kāi)幾何圖形。小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)選擇了對(duì)模式直觀的視而不見(jiàn)，導(dǎo)致其滋生病癥。

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中數(shù)學(xué)思維“原始形態(tài)”的離場(chǎng)

現(xiàn)代生物學(xué)的有關(guān)結(jié)論表明，人與生俱來(lái)的“直觀”的物質(zhì)基礎(chǔ)確實(shí)是存在的，這種東西至少以兩種方式存在：基因和大腦?！爸庇^并不是一成不變的，隨著經(jīng)驗(yàn)的積累其功能可能逐漸加強(qiáng)”“只有把‘先天的存在與后天的經(jīng)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，才能形成人的直觀能力。”[1]這說(shuō)明人的“直觀”的物質(zhì)基礎(chǔ)——基因和大腦的真實(shí)存在，是可以也應(yīng)該隨著人的經(jīng)驗(yàn)的不斷積累被激活與逐漸加強(qiáng)，直至形成人的直觀能力。數(shù)學(xué)思維的原始形態(tài)，充滿著模式直觀。我們通?？吹降淖鳛榻Y(jié)果的數(shù)學(xué)，只是“冰冷而美麗”的數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)[5]2。當(dāng)運(yùn)算教學(xué)聚焦在“程序”上，這種“程序”就會(huì)富含運(yùn)算的定義、法則、性質(zhì)、定理與規(guī)律，運(yùn)算學(xué)習(xí)必然要遵循上述“程序”所富含的元素與要求，運(yùn)算技能的形成只能靠“三算”能力的提升與運(yùn)算習(xí)慣的培養(yǎng)，運(yùn)算素養(yǎng)關(guān)照的也僅僅是在問(wèn)題解決過(guò)程中所體現(xiàn)出的運(yùn)算所賦予的支撐力度。也就是從運(yùn)算學(xué)習(xí)開(kāi)始，到運(yùn)算素養(yǎng)的形成，強(qiáng)化的是學(xué)習(xí)者如何嚴(yán)密地遵循“程序”所要求的一切。比如，在筆算整數(shù)加法時(shí)，就要遵循整數(shù)加法的法則，“數(shù)位對(duì)齊、個(gè)位加起、滿十進(jìn)一”。至于學(xué)習(xí)者面對(duì)具體筆算式子時(shí)由直觀認(rèn)知而產(chǎn)生的非遵循法則的算法，則可能不被認(rèn)可，無(wú)論結(jié)果正確與否、理由是否充分。這種“不被認(rèn)可”的數(shù)次重復(fù)，直接導(dǎo)致了學(xué)習(xí)者的自我懷疑，學(xué)習(xí)者個(gè)體充滿著模式直觀的思維的“原始形態(tài)”不僅未被激活，反而頻遭打擊。進(jìn)而，學(xué)習(xí)者為了保護(hù)學(xué)習(xí)自尊開(kāi)始控制自我思維“原始形態(tài)”的主動(dòng)暴露，降低“不被認(rèn)可”的風(fēng)險(xiǎn)，開(kāi)始主動(dòng)迎合運(yùn)算學(xué)習(xí)的“程序”，并盡力遵循其所富含的一切，直至學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)思維的“原始形態(tài)”所飽含的模式直觀悄然離場(chǎng)。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)與“純粹數(shù)的直覺(jué)”的割裂

龐加萊把對(duì)于代數(shù)概念的本能的接受能力稱為“純粹數(shù)的直覺(jué)” [8]5?！凹兇鈹?shù)的直覺(jué)”與簡(jiǎn)單、自然的算術(shù)運(yùn)算法則相關(guān)聯(lián)。完全脫離運(yùn)算的“數(shù)的直覺(jué)”是沒(méi)有意義的[8]6。同樣，缺少“數(shù)的直覺(jué)”參與的運(yùn)算學(xué)習(xí)是不完整的?！皵?shù)的直覺(jué)”與運(yùn)算學(xué)習(xí)的天然聯(lián)系，首先表現(xiàn)在“數(shù)的直覺(jué)”的思維準(zhǔn)備狀態(tài)與運(yùn)算素養(yǎng)所反映的思維品質(zhì)，二者同處于思維層面，體現(xiàn)從思維雛形走向思維成熟的一種階段性?！皵?shù)的直覺(jué)”是學(xué)習(xí)者在不受運(yùn)算法則、性質(zhì)、定理等束縛下而產(chǎn)生的一種本能的思維感覺(jué)和想象，是非常規(guī)的，還可能是跳躍式的。學(xué)習(xí)者的運(yùn)算素養(yǎng)體現(xiàn)的是面對(duì)真實(shí)性、個(gè)性化問(wèn)題時(shí)能夠相機(jī)選擇運(yùn)算程序或策略的能力，這種能力反映學(xué)習(xí)者思維的簡(jiǎn)潔與靈活。由于二者同處思維層面，需要在教學(xué)過(guò)程中不斷加強(qiáng)它們之間的銜接。另外，這種天然聯(lián)系還表現(xiàn)在，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)的積累，“數(shù)的直覺(jué)”可以逐漸形成一種能力，并將成為運(yùn)算能力的重要構(gòu)成部分。“數(shù)學(xué)唯一來(lái)源于直覺(jué)……這個(gè)直覺(jué)不過(guò)是一種能力，可以分別處理各種概念以及做出正規(guī)地出現(xiàn)于通常思維之中的那些推理?！盵8]8可見(jiàn)，“數(shù)的直覺(jué)”不僅可以做出概念之間的推理，還可以做出“通常思維之中的那些推理”，比如運(yùn)算過(guò)程中法則的遵循、定理的適用、策略的優(yōu)化。在從“數(shù)的直覺(jué)”發(fā)展成為運(yùn)算能力所包含的一個(gè)重要元素的過(guò)程中，若“數(shù)的直覺(jué)”不被喚醒與激活，這樣的運(yùn)算能力將是不完整的?，F(xiàn)實(shí)是，上述兩種天然聯(lián)系在教學(xué)實(shí)踐中并未受到重視：一是教學(xué)資源設(shè)計(jì)中少有學(xué)習(xí)者的思維準(zhǔn)備狀態(tài)的存在，預(yù)設(shè)較多的是學(xué)習(xí)者根據(jù)前置問(wèn)題做出規(guī)范應(yīng)答，而少有“數(shù)的直覺(jué)”;二是教學(xué)評(píng)價(jià)的指標(biāo)體系中，少有“數(shù)的直覺(jué)”作為指標(biāo)點(diǎn)或過(guò)程要素，更多的評(píng)價(jià)指向運(yùn)算的結(jié)果、方法與技巧性。這導(dǎo)致了小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)與“純粹數(shù)的直覺(jué)”的割裂。

（三）小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中模式直觀的缺失

與幾何直觀借助視覺(jué)感官不同，模式直觀則是借助抽象思維的層次而展開(kāi)。在較高層次的思維過(guò)程中，我們可以利用較低層次的直觀形象為背景構(gòu)建推理模式[5]1。模式直觀是人們對(duì)事物之間邏輯關(guān)系的一種比較直接的、形象的推斷和理解。從對(duì)整數(shù)四則運(yùn)算的概念學(xué)習(xí)開(kāi)始，到法則、規(guī)律，再到小數(shù)（分?jǐn)?shù)）四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)的恰恰是運(yùn)算學(xué)習(xí)的“間接性”與“邏輯性”。比如，四則運(yùn)算概念、法則、定理與規(guī)律的間接性，這種間接性體現(xiàn)在學(xué)習(xí)內(nèi)容的規(guī)定性，即所呈現(xiàn)的是“冰冷而美麗”的運(yùn)算知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)。這種“冰冷而美麗”的學(xué)術(shù)形態(tài)在進(jìn)入教學(xué)流程中也較少得到“直接”的改造。這種邏輯性更多地體現(xiàn)在運(yùn)算程序的嚴(yán)謹(jǐn)性上，即學(xué)習(xí)者必須按照既定的運(yùn)算順序、法則、定理與規(guī)律而展開(kāi)。然而運(yùn)算能力的培養(yǎng)、發(fā)展的過(guò)程是豐富的，由具體到抽象、由法則到算理、由常量到變量、由單向思維到逆向、多向思維[9]。一方面教材編排會(huì)嚴(yán)格遵循運(yùn)算能力發(fā)展的過(guò)程豐富性，從低年級(jí)段到高年級(jí)段，螺旋上升地編排、設(shè)計(jì)運(yùn)算學(xué)習(xí)內(nèi)容板塊;另一方面教學(xué)實(shí)施會(huì)嚴(yán)格遵循運(yùn)算能力發(fā)展的過(guò)程程序性，考慮運(yùn)算知識(shí)、方法、策略和思想等的前延后續(xù)、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。也就是在教學(xué)實(shí)踐層面：首先，學(xué)習(xí)者面對(duì)的是“嚴(yán)格遵循運(yùn)算能力發(fā)展過(guò)程豐富性”的“冰冷而美麗”的運(yùn)算知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)，學(xué)習(xí)者對(duì)內(nèi)容要素之間邏輯關(guān)系的一種比較直接的推斷和理解難以介入;其次，學(xué)習(xí)者面對(duì)的是“嚴(yán)格遵循運(yùn)算能力發(fā)展的過(guò)程程序性”的“基于各種前延后續(xù)、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)”的設(shè)計(jì)流程，學(xué)習(xí)者對(duì)內(nèi)容要素之間邏輯關(guān)系的一種比較形象的推斷和理解也難以發(fā)揮作用。最終造成模式直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中的遺憾缺失。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中模式直觀的教學(xué)意蘊(yùn)

面對(duì)“只在運(yùn)算中教學(xué)運(yùn)算”的病癥，運(yùn)算教學(xué)需要思考學(xué)習(xí)者模式直觀的被發(fā)現(xiàn)、被激活與主動(dòng)介入問(wèn)題，深度開(kāi)發(fā)模式直觀的學(xué)習(xí)價(jià)值，尋找新的學(xué)習(xí)路徑。

（一）數(shù)學(xué)思維的“原始形態(tài)”對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)價(jià)值

所謂模式直觀，是指通過(guò)相對(duì)比較具體的、先前已經(jīng)熟悉的、具有普遍協(xié)調(diào)感的、容易接近的模式作為背景，使得人們能夠進(jìn)一步把握和理解更加抽象、更為深刻的思維對(duì)象[5]1。小學(xué)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)是在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程[10]55。小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的過(guò)程是強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者對(duì)各種思維活動(dòng)的經(jīng)歷、探索和體驗(yàn)，這需要學(xué)習(xí)者良好的思維狀態(tài)作為根基。充滿著豐富的模式直觀的人之?dāng)?shù)學(xué)思維的“原始形態(tài)”，為小學(xué)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)提供了可能。

另外，深度學(xué)習(xí)追求一種高品質(zhì)、高效率的課堂教學(xué)，深度學(xué)習(xí)的主要價(jià)值在于通過(guò)學(xué)科核心內(nèi)容的重點(diǎn)探究過(guò)程，使學(xué)生在掌握學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力和問(wèn)題解決能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)科教學(xué)中的少量主題的深度覆蓋[10]53。深度學(xué)習(xí)的高品質(zhì)、高效率，集中體現(xiàn)在“少量主題的深度覆蓋”。“少量”意味著學(xué)習(xí)者所面對(duì)的學(xué)習(xí)資源是經(jīng)過(guò)加工設(shè)計(jì)、有效凝練的，這種“少量”必須能夠把握知識(shí)的脈絡(luò)體系與框架結(jié)構(gòu)?！吧疃取狈从车氖恰吧倭俊睂?duì)知識(shí)整體與本質(zhì)的涵蓋，更重要的，是體現(xiàn)學(xué)習(xí)者思維的參與程度、被激活程度與新思維的生長(zhǎng)性。人之?dāng)?shù)學(xué)思維的“原始形態(tài)”所飽含的豐富的模式直觀，是通過(guò)“少量”走向“深度”的天然載體。模式直觀在學(xué)科核心內(nèi)容的重點(diǎn)探究過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)習(xí)者直接、形象地明晰學(xué)科核心知識(shí)，有層次地不斷形成高階思維能力和問(wèn)題解決能力。

（二）“純粹數(shù)的直覺(jué)”對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)“整體性”學(xué)習(xí)的教學(xué)價(jià)值

最好的學(xué)習(xí)就是整體學(xué)習(xí)。有效的記憶和理解總是在一個(gè)整體的知識(shí)框架里頭，它能誘導(dǎo)別的知識(shí)，別的知識(shí)也可以誘導(dǎo)它[11]。綜合性是數(shù)學(xué)運(yùn)算的顯著特點(diǎn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不可能獨(dú)自發(fā)展，它總伴隨著邏輯思維能力、空間想象能力、推理能力的發(fā)展而發(fā)展[4]62。運(yùn)算學(xué)習(xí)的綜合性特點(diǎn)與促進(jìn)學(xué)習(xí)者開(kāi)展“整體性”學(xué)習(xí)不謀而合，“純粹數(shù)的直覺(jué)”摒棄碎片化，溝通運(yùn)算學(xué)習(xí)在一個(gè)整體性知識(shí)框架內(nèi)部的相互“誘導(dǎo)”，在運(yùn)算學(xué)習(xí)所需的不同的思維層次間螺旋上升，高一層次的思維展開(kāi)需要以低一層次的思維模式為基礎(chǔ)，這一較低層次的思維基礎(chǔ)即為模式直觀。學(xué)習(xí)者“純粹數(shù)的直覺(jué)”的教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)在兩個(gè)方面。一方面是對(duì)運(yùn)算教學(xué)中本質(zhì)的直接感知，即透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)。比如在教學(xué)“9加幾”時(shí)，把1+9=10，2+9=11，3+9=12……9+9=18這9道等式排成一列后，學(xué)習(xí)者通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，“和的個(gè)位數(shù)總是比第一個(gè)加數(shù)少1”，追問(wèn)：“為什么會(huì)少1？”或“這個(gè)1跑到哪里去了？”“這個(gè)1與9合成了10。”這就是“純粹數(shù)的直覺(jué)”透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)的一個(gè)例子，是建立在整體（9道等式組成一個(gè)有外在特征的一類現(xiàn)象）之上的運(yùn)算學(xué)習(xí)，是一次整體性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（在整體性的基礎(chǔ)上研究獨(dú)立性）。反之，若不借助整體的呈現(xiàn)，則較難發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并追問(wèn)其原因。另一方面是對(duì)運(yùn)算教學(xué)中不同事物（現(xiàn)象）之間聯(lián)系的直接感知，即在把握本質(zhì)的同時(shí)建立聯(lián)系（也是聯(lián)結(jié)，走向大概念）。還以“9加幾”為例，追問(wèn)“為什么會(huì)少1”還不是最后一問(wèn)。在學(xué)習(xí)者找到了這個(gè)原因之后（這當(dāng)然也是借助了整體性），還應(yīng)該進(jìn)一步探索：這一組（9道）等式之間有怎樣的聯(lián)系？這是從整體性出發(fā)的另一個(gè)視角（在整體性的基礎(chǔ)上研究關(guān)聯(lián)性），以第1道等式為觀察基點(diǎn)，用第2道、第3道……第9道與之對(duì)比，包括第1個(gè)加數(shù)的比較、第2個(gè)加數(shù)的比較、和的比較，還包括運(yùn)算符號(hào)的比較、加數(shù)個(gè)數(shù)的比較，等等。發(fā)現(xiàn)一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)增加（或減少）幾，和就增加（或減少）幾。若運(yùn)算教學(xué)探索能如此進(jìn)行，運(yùn)算學(xué)習(xí)促成的思維迭代與聯(lián)結(jié)將不再困難，充滿無(wú)限可能。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的“模式”轉(zhuǎn)向

張廣祥、張奠宙將模式直觀初步分為四類：常識(shí)性模式直觀、遷移性模式直觀、和諧性模式直觀和符號(hào)性模式直觀[5]1。以下?lián)朔诸悾謩e闡述相關(guān)實(shí)踐。

（一）常識(shí)性模式直觀的教學(xué)探索

常識(shí)性模式直觀是指人們借助一般的生活實(shí)踐做背景，隨著生活經(jīng)驗(yàn)的積累而被固定下來(lái)的、廣為接受的推理過(guò)程[5]2。運(yùn)算學(xué)習(xí)可以利用生活經(jīng)驗(yàn)中被固定的、廣為接受的推理過(guò)程展開(kāi)新的理解與學(xué)習(xí)，是更直接的、更形象的思維生長(zhǎng)過(guò)程。比如，在探索“減法各部分之間的變化規(guī)律”時(shí)，可以將被減數(shù)看作是倉(cāng)庫(kù)里原有物體的數(shù)量，減數(shù)是被拿走物體的數(shù)量，差就是剩下物體的數(shù)量。這樣可以得到且容易理解以下三種情況：若被減數(shù)（倉(cāng)庫(kù)原有的）不變，減數(shù)（被拿走的）增加（或減少），則差（剩下的）就減少（或增加）;若減數(shù)（被拿走的）不變，被減數(shù)（倉(cāng)庫(kù)原有的）增加（或減少），則差（剩下的）就增加（或減少）;若差（剩下的）不變，被減數(shù)（倉(cāng)庫(kù)原有的）增加（或減少），則減數(shù)（被拿走的）就增加（或減少）。這樣借助生活中的常識(shí)性經(jīng)驗(yàn)使得原本非常抽象且難以理解的三種變化關(guān)系就變得更加容易理解，這就是常識(shí)性模式直觀在發(fā)揮作用。

（二）遷移性模式直觀的教學(xué)探索

人類的抽象思維，需要有較低層次的、相對(duì)具體、形象化的實(shí)際背景作為支撐。同時(shí)人們又不斷地將已經(jīng)比較熟悉的情景，遷移到較高的思維層次，這樣有助于產(chǎn)生新的、更為抽象的推理，這是遷移性模式直觀[5]3。這種遷移突出表現(xiàn)為，運(yùn)算學(xué)習(xí)過(guò)程中新知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)的尋找與建立。比如，在小數(shù)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)整數(shù)四則運(yùn)算的概念、法則、性質(zhì)和規(guī)律的遷移性運(yùn)用。以“小數(shù)加法”的學(xué)習(xí)為例，首先對(duì)整數(shù)加法法則進(jìn)行回顧，在經(jīng)歷了對(duì)小數(shù)加法的探索后，發(fā)現(xiàn)小數(shù)加法與整數(shù)加法的法則有一致性，整數(shù)加法法則對(duì)學(xué)習(xí)者而言是“比較熟悉的情景”（或較低思維層次），而小數(shù)加法法則則是在此基礎(chǔ)上通過(guò)遷移而產(chǎn)生的新的推理（從整數(shù)加法的邊界向小數(shù)加法的突破）。生長(zhǎng)點(diǎn)即為從原來(lái)的“數(shù)位對(duì)齊”變成了“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”。

（三）和諧性模式直觀的教學(xué)探索

“美學(xué)觀念”在理解符號(hào)及其運(yùn)算的學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮重要作用。我們能夠通過(guò)模式直觀，用“美學(xué)的”“和諧的”“合理的”思考方式，幫助學(xué)生理解這些規(guī)則。這是和諧性的模式直觀[5]4，這也是數(shù)學(xué)美的一種體現(xiàn)。比如，在探究圖1這道試題時(shí)，可以采用化繁為簡(jiǎn)的策略，從最簡(jiǎn)單的9×9=18開(kāi)始觀察（如圖2）。

從上往下看，隨著兩個(gè)因數(shù)的變化（即9的個(gè)數(shù)的增加），積也隨之發(fā)生變化（9與0的增加）。整體上看，這個(gè)圖呈三角形形狀，是有美感的;積隨著因數(shù)的變化而變化的規(guī)律又呈現(xiàn)一種和諧美;在分析前面幾道式子乘積規(guī)律的基礎(chǔ)上探索最終的結(jié)果，又是合理的。再比如，借助天平作為實(shí)物模型來(lái)理解方程的“平衡性”，也體現(xiàn)了和諧性模式直觀的教學(xué)價(jià)值。等號(hào)的平衡關(guān)系是方程的核心思想[2]。等號(hào)從連接運(yùn)算結(jié)果，到表示一種平衡關(guān)系、一種等價(jià)關(guān)系，是由算術(shù)思想到代數(shù)思想的轉(zhuǎn)變。學(xué)習(xí)者借助如何保持天平的平衡來(lái)理解等號(hào)兩邊必須同時(shí)增加（或減少）相同的數(shù)量，才能保證等號(hào)兩邊的平衡。這既是和諧的，又是合理的，否則天平（等式）的平衡必將遭到破壞。這反映了和諧性模式直觀在發(fā)揮作用。

（四）符號(hào)性模式直觀的教學(xué)探索

被固定下來(lái)的符號(hào)與算式已經(jīng)發(fā)展成為數(shù)學(xué)中的“直觀模式”，它們?cè)跀?shù)學(xué)思維中所發(fā)揮的作用與它們外在形式的簡(jiǎn)潔優(yōu)美是分不開(kāi)的。這一來(lái)自代數(shù)中的模式直觀，我們歸諸為符號(hào)性模式直觀[5]4。模式直觀是建立代數(shù)想象力的基礎(chǔ)[5]1，符號(hào)性模式直觀的教學(xué)價(jià)值突出體現(xiàn)在其簡(jiǎn)潔性與符號(hào)化。像等差數(shù)列求和公式，運(yùn)算律的字母表達(dá)式等，是結(jié)果化的符號(hào)性模式直觀，其過(guò)程化的教學(xué)價(jià)值主要體現(xiàn)在對(duì)符號(hào)（或算式）的探索與聚焦過(guò)程中的比較、評(píng)價(jià)、建模等方面。比如，在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的周期時(shí)，呈現(xiàn)情境圖后讓學(xué)生表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)，有用漢字的“藍(lán)花、黃花、紅花、紅花，藍(lán)花、黃花、紅花、紅花……”，有用圖畫(huà)的“△、□、○、○，△、□、○、○……”，有用數(shù)字的“1、2、3、3，1、2、3、3……”，有用字母的“A、B、C、C，A、B、C、C……”，等等。接著出示問(wèn)題“第15盆是什么顏色的花？”這時(shí)有先發(fā)現(xiàn)4盆為一組，用除法算式15÷4=3（組）……3（盆）得到答案。這個(gè)除法算式也是問(wèn)題解決的模型。再比如，學(xué)習(xí)加法結(jié)合律時(shí)，情境圖呈現(xiàn)的是“28個(gè)男生跳繩，17個(gè)女生跳繩，23個(gè)女生踢毽子”，所求問(wèn)題是“跳繩和踢毽子的一共有多少人？”可得兩種求法，（28+17）+23和28+（17+23），因?yàn)檫@兩種求法的結(jié)果相同，可以將這兩個(gè)式子寫(xiě)成等式，即（28+17）+23=28+（17+23）。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等號(hào)的左右兩邊有哪些相同點(diǎn)，有哪些不同點(diǎn)。據(jù)此個(gè)案提出猜想，“先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變?！苯又鴮?xiě)出更多具有上述特征的等式。當(dāng)寫(xiě)出的等式既符合上述特征，又驗(yàn)證相應(yīng)的猜想，則可以嘗試表達(dá)出規(guī)律是什么?？梢允菨h字描述：（甲+乙）+丙=甲+（乙+丙），可以是畫(huà)圖描述：（△+□）+○=△+（□+○），可以是字母描述：（a+b）+c=a+（b+c），等等。經(jīng)過(guò)比較，選用字母來(lái)描述加法結(jié)合律最簡(jiǎn)潔、最直觀。

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