齒輪副耦合參數(shù)對齒輪間隙非線性系統(tǒng)運動特性的影響研究

曾凡靈，陸昌年

（安徽職業(yè)技術學院 汽車工程學院，安徽 合肥 230011）

目前貨車變速箱傳動系統(tǒng)中，齒輪傳動仍是最重要的動力和運動傳遞形式。而變速箱震動與異響是變速箱傳動過程中的主要故障形式，其直接影響車輛安全性及舒適性。因此，變速箱系統(tǒng)的震動與異響問題仍是大家持久討論的課題。

在變速箱工程實際應用中，由于齒輪嚙合側隙（簡稱側隙）的存在，可能導致在輕載荷下系統(tǒng)響應波動較大的情況。因此，通常將變速箱齒輪副系統(tǒng)簡化為間隙非線性動力系統(tǒng)來研究。

該動力系統(tǒng)不僅包含側隙參數(shù)因素，還包含周期性變化嚙合剛度、潤滑系統(tǒng)阻尼、綜合傳遞誤差等多種參數(shù)因素，這些參數(shù)的耦合作用對齒輪間隙非線性系統(tǒng)影響較大。本文建立單自由度間隙時變模型，研究耦合參數(shù)對系統(tǒng)的影響。

1 單自由度間隙時變模型及非線性動力系統(tǒng)方程

針對含多耦合參數(shù)的變速箱齒輪系統(tǒng)，建模時我們采用了集中質量法。即系統(tǒng)由兩個集中質量塊、無質量的彈簧元件、阻尼元件組成。建模時進行如下處理：假設齒輪副系統(tǒng)的傳動軸、支撐軸承的剛度有足夠大；不考慮運動時由支承軸承所產(chǎn)生的摩擦的影響；齒輪之間的嚙合力始終作用在嚙合線方向上［1］。綜上所述，單對齒輪副系統(tǒng)的動力學模型如圖1所示。

圖1 單對齒輪副系統(tǒng)動力學模型

其中m1，m2為主從齒輪副質量，I1，I2為轉動慣量，r1，r2為基圓半徑，T1，T2為扭矩，θ1，θ2為角位移，e（t）為切向綜合誤差，ck為嚙合阻尼，fˉh為嚙合位移。

引入量綱“1”化處理后，綜合推導分析，含齒輪側隙的非線性動力系統(tǒng)運動方程為：

其中，x是量綱“1”化處理后齒輪傳遞誤差；ξ是齒輪副嚙合阻尼比；ε是一階諧波分量與平均嚙合剛度之比；f h(x)是輪齒嚙合的間歇傳遞函數(shù)；ωh,ωw是齒輪副系統(tǒng)內(nèi)部和外部激勵頻率；φh0φw0是齒輪副系統(tǒng)內(nèi)部和外部激勵的初始相位；Fˉ,ΔF是齒輪副切向作用力平均值、波動值；e是量綱“1”化處理后綜合誤差［2］。

齒輪副嚙合側隙對單自由度間隙非線性運動影響較大，輪齒嚙合的間歇傳遞函數(shù)f h(x)可表達為：

結合式（1）、式（2）分析發(fā)現(xiàn)，齒輪副系統(tǒng)方程屬于多參數(shù)耦合的非線性動力系統(tǒng)。系統(tǒng)方程包含以下特點：齒輪副嚙合剛度具有時變性；由傳遞誤差引起的系統(tǒng)內(nèi)部激勵對系統(tǒng)產(chǎn)生振動影響；綜合考慮了齒輪副嚙合表面產(chǎn)生的摩擦和可變阻尼特性；齒輪副嚙合傳遞函數(shù)具有間歇性的特征。因此，研究系統(tǒng)方程的參數(shù)變化對非線性系統(tǒng)響應的影響，找出參數(shù)之間的耦合關系，為齒輪選材、加工、裝配提供理論依據(jù)是具有實際意義的。

2 非線性動力系統(tǒng)特性全局分析方法

非線性動力系統(tǒng)分析方法有全局分析法、局部分析法。其中，全局分析法主要描述隨參數(shù)變化系統(tǒng)的整體性變化，能很好地研究參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響。其中常用的方法有最大Lyapunov指數(shù)法、分岔圖法，兩種方法獲得結果能夠相互映證。

2.1 分岔理論及分叉圖

分岔理論用來研究動力系統(tǒng)由于參數(shù)的改變而引起解的拓撲結構和穩(wěn)定性變化的過程。當系統(tǒng)參數(shù)持續(xù)變化時，在某一數(shù)值處，系統(tǒng)解的拓撲結構發(fā)生突變，或定性性質發(fā)生改變，這一現(xiàn)象稱為分岔現(xiàn)象［3］。

設含參數(shù)的系統(tǒng)為：

式（3）中，x∈U?R n，是系統(tǒng)狀態(tài)變量，μ∈J?R m，是系統(tǒng)參數(shù)。當μ持續(xù)變化時，在μ=μ0處（其中：μ0∈J），系統(tǒng)響應的拓撲結構發(fā)生突變，即系統(tǒng)出現(xiàn)分岔。μ0為系統(tǒng)的分岔值，在μ∈J?R m的參數(shù)空間中，存在若干μ0、μ1......分岔值，這些參數(shù)集合組成分岔集。系統(tǒng)在x-μ空間形成的隨參數(shù)μ變化的圖形即為分岔圖。

分岔圖呈現(xiàn)特點為：當系統(tǒng)響應為n周期運動，分岔圖空間顯示為n條隨參數(shù)變化的曲線；當系統(tǒng)響應為混沌運動，分岔圖空間顯示為隨參數(shù)變化的眾多數(shù)列點；若存在某分叉值μ0使得系統(tǒng)發(fā)生分叉，分岔圖空間顯示為間斷性跳躍點；往往擬周期運動是周期運動向混沌運動的過渡，有些擬周期與陣發(fā)性混沌不易區(qū)分，可采用局部分析法進行具體分析。

2.2 Lyapunov指數(shù)數(shù)值計算及最大Lyapunov指數(shù)圖

為了進行Lyapunov指數(shù)數(shù)值計算，將系統(tǒng)模型式（1）轉化為狀態(tài)方程，即：

在(X,X?)系統(tǒng)狀態(tài)空間中，對于數(shù)值計算的初始狀態(tài)t0時刻進行極小的線擾動δX1(t0)，擾動在極短時間內(nèi)，隨t近似按||δX1(t0)||eσ(t-t0)的規(guī)律變化，式中σ是常量，取值與初始時刻t0有關。

因為：

所以：

于是，Lyapunov指數(shù)能描述系統(tǒng)任意相鄰軌線間的平均指數(shù)發(fā)散程度。為了獲得系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，只要分別計算出不同的初始時刻t0對應的σ，然后求算數(shù)平均值。

基于以上理論，實際應用時，只需在一條相軌線附近不斷地進行擾動。擾動后，計算比值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，此時對應最大Lyapunov指數(shù)>0；反之，比值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，對應最大Lyapunov指數(shù)≤0。因此，利用最大Lyapunov指數(shù)可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

研究隨參數(shù)變化時的最大Lyapunov指數(shù)所獲得圖形，即為最大Lyapunov指數(shù)圖，從該圖中可觀察到全局參數(shù)變化范圍內(nèi)的系統(tǒng)運動響應特征。

3 耦合參數(shù)對系統(tǒng)運動特性的影響分析

依據(jù)建立的齒輪副動力模型（見圖1）及動力方程（式1、式2），采用全局分析方法，研究耦合參數(shù)對系統(tǒng)運動特性的影響。在本次研究中，將不考慮系統(tǒng)外載荷的周期變化，視其為某一定值［4］。無特殊要求，系統(tǒng)計算的初始值從x0=[0,0]T開始迭代。

3.1 載荷比對系統(tǒng)運動特性影響及結論

載荷比定義為：F?=Fˉ/ΔF，它體現(xiàn)為系統(tǒng)外部激勵產(chǎn)生的外力矩的切向作用力平均分量與內(nèi)部激勵引起的波動分量的比，其大小反映了齒輪副系統(tǒng)的承載情況［5］。通過對系統(tǒng)大量仿真結果的綜合考慮，選擇外部激勵參數(shù)Fˉ=0.1不變，讓內(nèi)部激勵參數(shù)在ΔF=0.05~0.5范圍變化，則F?=2.0~0.2；其 他 參 數(shù) 取 值：ε=0.1，b h=0.6，ωh=1.0，ζ=0.05。通過Simiulink仿真軟件計算，獲得系統(tǒng)隨內(nèi)部激勵ΔF變化的分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)圖，如圖2和圖3所示。通過分析圖2、圖3，映證兩圖結果特性的一致性。在ΔF=0.05~0.18范圍內(nèi)，隨著ΔF的增加，系統(tǒng)響應出現(xiàn)周期（1、2、3、4周期）或擬周期（擬2、擬3、擬4周期）運動，且ΔF在0.1，0.15處出現(xiàn)周期分岔現(xiàn)象；ΔF≥0.18后，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)，且在混沌區(qū)域0.25，0.32附近，存在較窄的穩(wěn)定周期窗口。

圖2 隨內(nèi)激勵ΔF的分岔圖

圖3 隨內(nèi)激勵ΔF的最大Lyapunov指數(shù)圖

結果分析：變速箱齒輪系統(tǒng)在高速重載情況下，即（F?=2.0~0.55，ΔF=0.05~0.18）系統(tǒng)內(nèi)部激勵較小，外部激勵起主導作用，系統(tǒng)響應為穩(wěn)態(tài)周期或擬周期運動；變速箱齒輪系統(tǒng)在高速輕載情況下，即（F?≤0.55，ΔF≥0.18）系統(tǒng)內(nèi)部激勵較大，其起主導作用，系統(tǒng)響應為混沌運動，即系統(tǒng)出現(xiàn)較強烈震動現(xiàn)象。結果映證了變速箱在高速輕載下工作，易產(chǎn)生較強烈的震動，極易降低車倆的安全性及行駛舒適性。因此研究變速箱高速輕載狀態(tài)下，耦合參數(shù)對系統(tǒng)的影響特性成為本次研究的重點。

3.2 變速箱高速輕載下阻尼比變化對系統(tǒng)運動特性影響

重點研究變速箱高速輕載下（其中F?=0.5，ΔF≥0.18表示高速輕載），阻尼比變化對系統(tǒng)全局特性的影響。系統(tǒng)參數(shù)選?。篎ˉ=0.1，ΔF=0.2，ε=0.1，b h=0.6，ωh=1.0，仿真系統(tǒng)阻尼比在ζ=0.03~0.17范圍的分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)圖，結果如圖4和圖5所示。結合圖4、圖5分析，在ζ=0.03~0.068范圍，系統(tǒng)響應為混沌運動特性，但存在一ζ=0.0395~0.0475較窄范圍，系統(tǒng)響應為多周期運動特性；在ζ≥0.068范圍，系統(tǒng)響應為穩(wěn)定的2周期或擬2周期運動特性。

圖4 隨ζ變化的分岔圖

圖5 隨ζ變化的最大Lyapunov指數(shù)圖

結果分析：變速箱高速輕載下，系統(tǒng)選取小阻尼比容易導致箱體產(chǎn)生震動；選取大阻尼比，能夠獲得箱體的平穩(wěn)運動。因此變速箱高速輕載下，增大系統(tǒng)阻尼比，即調整阻尼系統(tǒng)特性，可促進變速箱系統(tǒng)的穩(wěn)定運動。

3.3 變速箱高速輕載下齒頻比變化對系統(tǒng)運動特性影響

變速箱高速輕載下參數(shù)選取同前（F?=0.5），系統(tǒng)參數(shù)選取：ε=0.1，b h=0.6，ζ=0.05，仿真系統(tǒng)齒頻比在ωh=0.4~2.0范圍的分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)圖，結果如圖6和圖7所示。結合圖6、圖7分析，在ωh=0.4~0.865的低齒頻范圍，系統(tǒng)響應為穩(wěn)定的周期或擬周期特性；在ωh=0.865~1.8的高齒頻范圍，尤其在ωh=1.0（即齒頻等于系統(tǒng)固有頻率）附近，系統(tǒng)響應全局觀察為混沌特征，但在混沌區(qū)域內(nèi)又存在若干個窄周期窗口；齒頻在避過系統(tǒng)固有頻率后，即ωh≥1.8時，系統(tǒng)響應又回歸為周期或擬周期狀態(tài)。

圖6 隨ωh變化的分岔圖

圖7 隨ωh變化的最大Lyapunov指數(shù)圖

結果分析：變速箱系統(tǒng)在低齒頻參數(shù)激勵下或避開系統(tǒng)固有頻率的高頻激勵下，系統(tǒng)運動響應特征均體現(xiàn)為穩(wěn)定的周期或擬周期特性；系統(tǒng)在齒頻等于系統(tǒng)固有頻率附近的激勵下，系統(tǒng)響應為混沌運動或不穩(wěn)定的擬周期特性。變速箱在實際高速輕載情況下運動時，經(jīng)常會出現(xiàn)強烈的震動或異響現(xiàn)象。因此，為滿足變速箱系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，在變速箱齒輪設計及選材時，就需要著重研究齒頻如何避開變速箱系統(tǒng)的固有頻率。

3.4 變速箱高速輕載下側隙變化對系統(tǒng)運動特性影響

齒輪側隙概念：對于圓柱直齒輪副之間的間隙，一般指齒輪齒側之間的裝配間隙。側隙的大小，一方面是由齒輪加工的精度等級決定的，另一方面是由安裝誤差、熱變形、磨損等因素引起的［6］。測量側隙大小時，均指在嚙合線上進行的。

變速箱高速輕載下的參數(shù)同上，系統(tǒng)參數(shù)選取ε=0.1，ωh=1.0，ζ=0.065，仿真系統(tǒng)側隙在b h=0~1.1范圍的分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)圖，結果如圖8和圖9所示。結合圖8、圖9分析，b h=0~0.212范圍，系統(tǒng)運動響應屬于周期運動或擬周期特性；b h=0.212~0.355范圍，系統(tǒng)運動響應屬于混沌運動特性，但在混沌區(qū)域存在較窄的周期窗口；b h=0.355~0.492范圍，系統(tǒng)運動響應屬于周期或擬周期特性；b h=0.492~0.728范圍，系統(tǒng)運動響應屬于混沌運動特性，但在混沌區(qū)域也存在窄周期窗口；b h=0.728~1.100范圍，系統(tǒng)運動響應屬于周期運動特性。由此可見，在b h=0~1.1范圍，可能是裝配間隙的控制或齒側間隙的磨損，致使側隙b h增大；隨側隙增大，系統(tǒng)的響應特征為：“周期—混沌—周期—混沌—擬4周期”的交替變化，而不是直線狀態(tài)變壞。

圖8 隨側隙b h變化的分岔圖

圖9 隨側隙b h變化的最大Lyapunov指數(shù)圖

側隙影響結果分析：高速輕載下，側隙數(shù)值較小時，系統(tǒng)運動狀態(tài)為穩(wěn)定的周期運動，映證了齒輪副初始裝配間隙下，系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性；隨著側隙數(shù)值增大，系統(tǒng)運動狀態(tài)為混沌特征，映證了齒輪側隙磨損后，系統(tǒng)震動與異響增大；更大的側隙數(shù)值，使得系統(tǒng)運動出現(xiàn)擬4周期運動，即映證齒輪側隙磨損過大，齒輪間呈現(xiàn)反方向較規(guī)律的輕微碰撞［7］。這一結果驗證了變速箱系統(tǒng)在高速輕載下，側隙的變化對齒輪副系統(tǒng)的影響是強非線性的。

4 結語

變速箱高速輕載（ΔF=0.05~0.18）下，耦合參數(shù)選配在以下范圍：阻尼比0.068≤ζ≤0.17，齒頻比ωh=0.4~0.865，側隙b h=0~0.212，能夠保證變速箱齒輪副系統(tǒng)運動平穩(wěn)。綜合以上三耦合參數(shù)對系統(tǒng)的影響發(fā)現(xiàn)，其中側隙與阻尼比耦合對高速輕載的變速箱影響最為復雜，選配或調控合理的側隙和阻尼，能夠較好抑制系統(tǒng)的震動。如果通過增加系統(tǒng)阻尼，則需提高變速箱齒輪副潤滑系統(tǒng)的油壓，在設計環(huán)節(jié)應予以重視；如果采用裝配時控制裝配間隙，則需提高齒輪加工及安裝精度。